數學問題解決背后的腦科學

李曉東

小華和小明在同一個跑道上跑步，他們跑得一樣快，但小華比小明后起跑。當小華跑了5圈時，小明跑了15圈。當小華跑到30圈時，小明跑了多少圈？對于這種本該用加法解決的問題，很多學生卻錯誤地給出（15÷5）30=90（圈）的比例答案。

兒童在很小的時候就有了加法思維，如明白多與少的意思，懂得與同伴公平地分配零食和玩具，上小學后則進一步學習了加減運算。加法思維是基于絕對量的考量，比例思維是基于相對量的思考，要求同時對幾個數量關系進行比較，比例思維比加法思維更為復雜與困難。兒童在小學低段就熟練地掌握了加減法，到6年級才學習比例，但為什么學生反而在加法上犯了比例錯誤呢？一種觀點認為，這是由于問題的呈現形式造成的。比如，學生在學習比例推理時，遇到的問題總是以缺值形式呈現的，即在問題中，依次給出a、b、c三個數，要求求出第四個數x，使得a/b=c/x，或者a/c=b/x。學生在長期的練習中，錯誤地將這種問題呈現形式與比例推理建立了聯結，形成了一種錯誤的直覺，即只要見到這種題型就會激活比例推理的方法。心理學上把這種錯誤的直覺叫啟發式偏差。

人的大腦在加工信息時存在兩種系統：一種是啟發式系統，一種是分析式系統。前者是基于直覺的，其特點是快速、整體或全局的，無需努力。在很多情況下，這種策略是有效的，但有時會產生誤導;后者則是緩慢、費力的，需要分析式策略，但總會得出正確答案。任何年齡的個體，在解決問題時，頭腦里都是多種知識、多種策略并存并彼此競爭的。通常兒童和成人都會優先采用啟發式策略，當啟發式與問題沖突時，必須抑制住啟發式的誤導，才能啟動分析式系統正確解決問題。

我們課題組采用負啟動實驗范式做過一項研究，實驗流程（見圖1）。負啟動的實驗邏輯是，如果在前一階段需要抑制某種策略，那么在接下來的階段需要重新激活該策略時則需要付出代價，表現為反應時的延長或錯誤率上升。該研究比較了大、中、小學生在兩種條件下的表現：測試條件下先完成加法問題（啟動項）再完成比例問題（探測項）;控制條件下先完成中立問題再完成比例問題。結果發現與控制條件相比，學生在測試條件下在比例問題上的錯誤率更高、反應時更長，說明要克服比例推理的誤導需要抑制控制的參與。研究還發現，學生除了在缺值形式的加法問題上需要抑制比例策略外，在非符號的圖片推理形式的加法任務上也同樣需要抑制比例推理的誤導。

先前知識的熟練掌握也可能成為一種誤導性策略，從而干擾后續知識的學習。例如，在不同國家的學生中都發現了自然數偏差現象，即把自然數規則錯誤地遷移到有理數上。自然數偏差有三種，一種是大小比較，也叫整數偏差。如學生在學習分數時會誤認為3/5 < 3/8，因為5<8; 學習小數時，誤認為0.23>0.5，因為23>5，或者認為越長的小數越大。第二種是密度問題。自然數，數字是離散的、偽連續的，任意數字之后都有一個確切的數字，比如數字1后是數字2，數字2后接數字3。任意兩個不相等自然數之間的數字個數是有限的，例如數字1和數字3之間，有且僅有一個自然數2。有理數是沒有這個特性的，一個特定的有理數后面是沒有確切的數的，而且兩個有理數之間是有無數個數的。研究發現，學生對理解有理數的密度問題感到困難。例如，9年級的學生有一半以上的學生認為在3/8和5/8之間有一個數。第三種是算術運算偏差。對于自然數來說，加法和乘法運算總會使結果變得更大，進行減法和除法運算時，結果總會變得更小;但對于有理數，這條規則卻不一定適用，如0.49<9 。我們最近的研究發現，學生比較不一致分數時（即分母大分數小）需要抑制自然數偏差的誤導，表現為更長的反應時，腦電的研究也證明在比較不一致分數時需要抑制控制的參與。在判斷有理數不等式是否成立時，也需要抑制“加法和乘法使結果變大，減法和除法使結果變小”的誤導性策略。

此外，在其他一些數學問題上，學生也容易受到直覺的誤導。學生常認為面積大的圖形，其周長也長。我們設計了兩種任務，一種是一致性任務，面積和周長協變，即面積大、周長長（如圖2）;一種是不一致任務，面積大、周長小（如圖3）。結果發現學生完成不一致任務時，需要抑制“面積大、周長長”的誤導性策略。

學生在不一致任務上失敗會不會是因為他們沒有探測到問題與策略之間的沖突而不是抑制失敗？為了回答這個問題，我們先讓學生分別做一道一致題和一道不一致題，然后讓他們對自己的答案做自信心判斷。其邏輯是如果學生能夠探測到沖突，那么當他們錯誤地使用了誤導性策略時，相比于正確解答的情況其自信心會下降。結果發現在一致題上做對、不一致題做錯的學生對于不一致題的自信是低于一致題的;而一致和不一致題都做對的學生對不一致題的自信是高于一致題的。說明學生是能夠探測到沖突的，那些在不一致題目上正確的學生因為探測到了沖突對自己的答案就更加自信。因此，我們可以得出結論，學生之所以在不一致問題上失敗，是因為他們不能有效抑制誤導性策略或過度學習的知識。研究還發現，學生的工作記憶容量與學生解題的錯誤率是呈顯著負相關的，這說明學生不能抑制啟發式偏差可能與工作記憶資源不足有關。

這些研究表明，過度學習可能是一把雙刃劍：一方面熟能生巧，遇到同類問題時可能會迅速解決問題;但是當眼前的問題與過去學習的內容只是表面相似而本質不同時，過度學習的知識就成為一種啟發式偏差妨礙問題的解決。教師應了解抑制功能在學生學習過程中的重要性，抑制不僅意味著抵抗外源性的干擾，抑制頭腦中的誤導性知識與策略同樣重要。同時，研究也表明對學生加強元認知、工作記憶等認知能力訓練有助于克服啟發式偏差。