在線參數辨識和擴展卡爾曼算法的鋰離子電池SOC估算研究

李博文，王順利，于春梅，李建超，謝 偉

(1.西南科技大學信息工程學院，四川 綿陽 621010； 2.綿陽市產品質量監督檢驗所(國家電器安全質量監督檢驗中心)，四川 綿陽 621000； 3.四川華泰電氣股份有限公司，四川 遂寧 629000)

0 引言

能源安全和環境保護在國家的發展規劃中具有重要的地位。尋求可循環、低污染的新能源代替傳統的化石燃料，已經成為各國關注的焦點[1]。鋰離子電池以其能量密度高、使用壽命長和輸出功率大等優點，已經在新能源領域獲得長足的發展，受到人們的廣泛關注[2]。鋰離子電池作為能量的載體，其狀態的實時監測越來越受到重視。能否準確估計鋰離子電池荷電狀態(state of charge,SOC)決定了電池性能能否充分使用[3]。荷電狀態的準確估計很大程度上取決于根據電池工作特性建立的等效模型。由于鋰離子電池內部結構復雜，在復雜工況下使用常常表現出強烈的非線性，使得傳統的等效模型難以完全表征鋰離子電池的工作特性[4]。因此，針對鋰離子電池工作特性建立的等效電路模型，采用合適的算法進行SOC估算，實現對鋰離子電池的實時狀態監測，對提高算法精度具有重要意義。

目前，常見的鋰離子電池模型有電化學模型、神經網絡模型和等效電路模型等[5]。而常用的SOC估算算法有卡爾曼濾波算法、粒子濾波法和神經網絡算法等。考慮到鋰離子電池在復雜動力工況下使用，其狀態監測往往受到環境噪聲的影響[6]。加之電池內部復雜的化學反應、工況下電流和溫度多變，電池材料多次循環使用導致電池老化等問題，使得傳統的算法難以得出實時可靠的荷電狀態值[7]。近年來，由于研究的不斷深入和技術的革新，針對鋰離子電池的在線估計難和估計精度較低等問題，在傳統的算法的基礎上提出了新的改進方法[8-9]。本文針對影響荷電狀態準確估計的等效模型的影響因素問題，根據鋰離子電池的二階RC等效模型，基于含有遺忘因子的遞推最小二乘法(recursive least squares method with forgetting factor,FFRLS)算法和擴展卡爾曼(extended Kalman filter ,EKF)算法，對動態應力測試(dynamic stress test ,DST)工況下進行在線參數辨識和SOC估算，實現對電池的特性的準確、有效估計。

1 理論分析

1.1 等效模型及狀態方程建立

SOC被定義為電池剩余電量與額定容量的比值。其通常用安時積分法表示：

(1)

式中：SOC0為電池初始狀態的SOC值；Q為電池的額定容量；i(t)為電池瞬時脈沖電流大小；η為庫倫效率；Δt為采樣時間周期。

考慮到實際工程需要，在滿足要求的情況下，鋰離子電池的動態等效電路模型不應由復雜的電池模型來表征。為了提高參數識別的準確性，選擇如圖 1所示的二階RC等效電路模型。該模型能夠充分描述鋰離子電池的充放電狀態，有助于反映基于最小二乘法的參數識別精度。

圖1 二階RC等效電路模型Fig.1 The second-order RC equivalent circuit model

圖1中：UL為電池端電壓；Uoc為電池的開路電壓；Ro為電池的歐姆內阻；Rp為電池極化內阻；Cp為電池極化電容；Rc為電池濃差電阻；Cc為電池濃差電容。

當RC電路具有零輸入響應時，通常認為兩個RC電路的放電電流是相同的。通過鋰離子電池模型獲得的系統方程是連續時間模型，并且需要表征每個時刻的狀態。每個t時刻的狀態如式(2)所示。

(2)

式中:τc為極化效應時間常數；τp為濃差效應時間常數。

1.2 參數辨識

1.2.1 離線參數辨識

參數辨識的精度使得SOC估算受到影響。電池單次恒流脈沖循環充放電過程如圖 2所示。

圖2 單次恒流脈沖循環充放電圖Fig.2 Schematic diagram of charge and discharge of single constant current pulse cycle

根據式(1)結合模型加以分析，當RC網絡處于零輸入狀態時，可以獲得電池狀態表達式：

(3)

采用多線性擬合原理，結合實際工況數據用于分析電池的實時狀態，能夠實現對鋰離子電池的離線參數辨識。

圖2中：AB為放電區域；RC網絡處于零響應狀態；BD為擱置區域；RC網絡處于零輸入狀態。

電壓從B點突然上升，該突變是由歐姆內阻引起的[10]。根據鋰離子電池特性結合等效電路模型分析，可以計算歐姆電阻Ro。

(4)

根據鋰離子電池充放電下RC網絡結合式(1)分析，在此基礎上對試驗放電數據擬合u(t)曲線進行多線性擬合分析，可以獲得基于RC網絡的零輸入響應下Cc、Rc、Rp和Cp的參數值，如式(5)所示。

u(t)=uoc(soc)-up(t)-uc(t)=uoc(soc)-

(5)

1.2.2 最小二乘法原理

最小二乘法以其易于理解和快速收斂而被廣泛應用于系統識別領域。基于最小二乘法的在線參數辨識可以根據實時采集到的電池信息更新電池模型參數，使得模型更加契合當前電池特性表示，從而有效提高模型精度。含有遺忘因子的遞推最小二乘法算法原理如式(6)所示。

y(k)=φ(k)θ(k)T+e(k)

(6)

式中：φ(k)為觀測向量；θ(k)為待估計參數向量；e(k)為觀測噪聲向量。

(7)

經典的最小二乘法隨著算法數據的迭代次數變長，增益K(k)和矩陣方差P(k)變得越來越小。FFRLS算法增加遺忘因子(λ)來減弱之前迭代的影響，以提高算法的在線估計能力。算法的收斂速度和跟蹤能力取決于遺忘因子(λ)的大小，如式(8)所示。

(8)

(9)

考慮到在二階RC鋰離子電池等效模型中，需要辨識的模型參數為Ro、Rp、Cp、Rc和Cc。根據最小二乘法原理并結合式(9),可以得出觀測向量和待估參數向量分別為：

(10)

FFRLS算法實現如圖3所示。

春到梅山處處香，秋臨棲霞片片紅。春入梅花山賞梅，夏臨玄武湖觀荷。泛舟玄武湖賞荷，漫步夫子廟觀燈。夫子廟燈火齊放，玄武湖扁舟同行。夫子廟盞盞燈如晝，棲霞山片片楓似火。桃紅柳綠莫愁湖，鳥語花香紫金山。梅花山踏雪尋梅觀勝景，秦淮河泛舟賞月醉風光。望秦淮河水纏纏綿綿，觀東郊園林郁郁蔥蔥。登明城墻賞金陵勝景，攀紫金山觀石城風光。春雨蒙蒙百花爭艷，秋風瑟瑟群菊盛開。

算法主要由上部的初始階段和下部的更新階段構成。通過預設初始值進行參數計算和相關矩陣的迭代更新，實現對工況下鋰離子電池的在線參數辨識。本文經過反復計算驗證，當遺忘因子為0.98時，系統參數辨識精度最高。

1.3 擴展卡爾曼原理

鋰離子電池由于放電倍率、溫度以及內部復雜的化學反應，呈現出非線性狀態。EKF算法在卡爾曼算法的基礎上運用泰勒式求取雅克比矩陣進行線性化處理，能夠更加精確地實現SOC的估算[11]。通常基于EKF算法的鋰離子電池等效模型表示為：

圖3 FFRLS算法實現示意圖Fig.3 FFRLS algorithm implementation diagram

(11)

式(2)中的Uoc可以由SOC表示。結合式(11)，針對所選取的二階等效模型，選取[SOCk+1Up,k+1Uc,k+1]T作為狀態變量，將等式離散化，可以列出其狀態空間方程:

(12)

結合式(11)與式(12)進行分析，可以化簡得到相關矩陣：

(13)

式中：Ak為狀態轉移矩陣；Bk為輸入增益矩陣；Ck為量測轉移矩陣；Dk為前饋系數矩陣。

對于上述狀態空間模型表達式，運用卡爾曼濾波算法進行狀態預測估計。其中，預測階段狀態估計值和協方差的遞推關系式為：

(14)

(15)

圖4 EKF算法實現流程圖Fig.4 Flowchart of EKF algorithm implementation

2 試驗分析

2.1 參數辨識

本文選擇中航鋰離子電池進行試驗,電池的標稱容量為50 Ah，實際容量為48.54 Ah。在25 ℃下，對電池進行混合動力充放電(hybrid pulse power characterization,HPPC)試驗，單次HPPC工步為以1 C(電流為50 A)恒流放電10 s、擱置40 s、以1 C(電流為50 A)恒流充電10 s、再擱置。將鋰離子電池以1 C恒流放電6 min。在10個SOC的脈沖循環之間均間隔40 min。HPPC試驗電壓與電流變化曲線如圖5所示。

圖5 HPPC試驗電壓與電流變化曲線Fig.5 HPPC experimental voltage and current change curves

根據對每個階段的放電曲線進行分析，并結合式(4)運用多線性擬合法，實現對鋰電池的等效模型的參數辨識。不同SOC狀態下的模型參數如表1所示。

表1 不同SOC狀態下的模型參數Tab.1 Model parameters under different SOC states

循環放電結束擱置后的電池基本處于穩定狀態，此時的電壓可以視為當前SOC所對應的開路電壓(open circuit voltage,OCV)值。從表 1可以看出，二階RC模型內部參數隨著SOC變化在一定范圍內波動，若需要得到較精確的模擬程度，則需要得到各參數和SOC之間的關系。

2.2 HPPC仿真分析

為了驗證鋰離子電池的參數辨識精度，引入HPPC實際工況電流和電壓，構建基于安時積分法的SOC仿真電壓的模型。選擇相關離線辨識參數與SOC值的曲線關系來表征實際放電過程的電池內部特性變化。電壓仿真誤差曲線如圖6所示。

圖6 電壓仿真誤差曲線Fig.6 Voltage simulation error curve

從圖 6可以看出，實際電壓和模擬電壓變化曲線的誤差基本穩定在0.05 V。仿真試驗結果表明，通過參數識別得到的參數辨識值，能夠用于表征實際工況條件下的鋰離子電池工作特性。

2.3 動態應力測試仿真分析

為驗證FFRLS算法對鋰電池參數辨識在線估算的可行性，選擇相同的中航三元鋰電池為試驗對象，根據實際的用戶使用工作環境和要求，建立DST工況實驗。工況條件下模擬用戶以0.25 C、0.33 C、0.5 C進行斷續的恒流放電工作，以0.25 C、0.33 C進行斷續的恒流充電工作，并進行循環工作測試。動態應力測試(dynamic stress test,DST)試驗電壓與電流變化曲線如圖7所示。

圖7 DST試驗電壓與電流變化曲線Fig.7 DST experimental voltage and current change curves

根據FFRLS算法原理，結合DST工況試驗數據進行鋰離子電池等效模型的在線參數辨識。選擇電壓電流變化較為穩定可靠的前半段進行分析處理，獲得仿真下的鋰離子電池辨識參數。在線辨識參數變化曲線如圖 8所示。

圖8 在線辨識參數變化曲線Fig.8 Online identification parameter change curves

從圖8可以得出，參數在線辨識與根據HPPC試驗數據進行多線性原理分析獲得的參數辨識數據相接近。結合式(1)進行分析，將在線辨識獲取的影響因子在實際電流工作條件下表征電壓。在線辨識參數電壓仿真如圖9所示。

從圖9可以看出，基于FFRLS算法實現鋰離子電池在線參數辨識獲取的Ro、Rp、Cp、Rc和Cc的數值，能夠仿真實際的電壓情況，相對誤差在2%以內。

為了驗證利用FFRLS算法估計電池SOC的精度，在DST動態工況下，采用EKF算法結合FFRLS進行SOC估計，顯示算法仿真模型估算SOC結果與實際值的對比情況。EKF估算SOC曲線如圖10所示。由圖10可知，DST工況下EKF算法對于實際SOC有較好的跟蹤仿真能力，算法估算SOC的相對誤差大約在0.3%。

圖9 在線辨識參數電壓仿真圖Fig.9 Online parameter identification voltage simulation diagram

圖10 EKF估算SOC曲線Fig.10 EKF algorithm to estimate SOC renderings

利用FFRLS在線參數辨識可以提高計算精度，但系統噪聲與電池實際工況下存在的放電問題，使得圖10(b)產生一定的誤差波動。在線參數辨識下由于電池在工況條件下，相關參數會發生波動，如圖8所示，會導致SOC估算精度出現較大誤差。

3 結論

精確的SOC估計對于鋰離子電池管理系統至關重要。模型參數和系統噪聲等因素都會降低SOC的估算精度。本文提出基于FFRLS算法對二階RC模型進行在線參數辨識來獲取實時的電池參數，避免了由于參數擬合不精確引起的誤差。運用DST工況試驗采用EKF算法進行SOC估計。仿真結果表明，FFRLS能夠正確表征鋰離子電池在線參數辨識，與實際工況下相比較誤差在1.5%以內。結合EKF算法能夠有效表征SOC估算精度，相對誤差在-0.3%～+0.3%以內。基于FFRLS算法和EKF算法的在線SOC辨識系統，具有較高的估計精度。