寶劍鋒從磨礪出
——一道中考數學適應性考試綜合題的命制回顧

陳江嵩

(浙江省樂清市樂成第一中學 325600)

隨著評價機制改革深入，中考試題的命制也更關注數學思想的滲透及學生數學核心素養的發展，以函數與幾何為背景的綜合題越來越占據主導.筆者與同行分享參與2018年樂清市中考適應性考試綜合題的命制過程中所體現的數學思想與核心素養.

一、試題呈現

如圖1，Rt△ABC，CA⊥BC，AC=4，在AB邊上取一點D，使AD=BC，作AD的垂直平分線，交AC邊于點F，交以AB為直徑的⊙O于G，H，設BC=x.

(1)求證：四邊形AGDH為菱形；

(2)若EF=y,求y關于x的函數表達式；

(3)連結OF，CG.

①若△AOF為等腰三角形，求⊙O的面積；

本題屬于動態探案型綜合題，先通過動點B，帶動直角三角形ABC變化，引起直角三角形外接圓的變化，巧妙地將圓與三角形、菱形有機的結合在一起.又通過引入另一動點D，通過AD的中垂線的位置改變，引起菱形AGDH的形變，增加題目的探究性.考生在解題過程中始終要抓住變化中的不變量，對邏輯推理能力有較高的要求.但通過(1)(2)小題的鋪墊后，又有利于輔助考生找到這種不變量.總體上，三個問題看似獨立，但相互關聯，層層深入，逐步遞進.

二、命制過程

1.命題立意體現知識與能力并重

本題位于試卷最后一題，雙向細目表要求設計一個與“圖形與幾何”有關的綜合性探索問題，其問題的解決涉及初中數學知識的方方面面，要求注重核心知識的覆蓋面，立足考查圖形基本性質與學生基本能力，包含圖形認識、幾何計算、合情推理及動態性問題的探索.試題的考查應有層次，要設計一定量適度綜合，適度開放，以及有一定探索性的試題，使不同學習程度的學生均有機會發揮自己的真實水平.命題組定出方案：從教材中選取合適素材進行改編，設計動圓與其他圖形相結合的動態探究性綜合題，用動點帶動一組線的變化，動中有靜，變中有不變，分層設問，逐步遞進，將三角形、四邊形、圓、三角函數、方程、軸對稱初中數學的核心知識融為一體，要求不同層次學生能夠通過閱讀理解、推理計算、分類討論等方式進行一定程度地研究，無論是對知識掌握的要求還是對數學思考能力、邏輯推理能力都要有較高要求，力求體現了“知識與能力并重，思想與方法交融”的特點.

2.素材選取

浙教新版《義務教育教科書·數學》九年級上冊第90頁例1：如圖2，等腰三角形ABC的頂角∠BAC為50°，以腰AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，求弧BD，弧DE和弧AE的度數.

由AB是圓的直徑聯想到圓周角定理及其推論，嘗試連結AD，BE，推得AD⊥BC，問題轉化為等腰三角形和直角三角形的性質問題，進而求這些弧的度數，能靈活運用轉化思想在提升學生數學運算和邏輯推理能力上至關重要.此例題涉及核心知識面廣，設計意圖直指數學運算和邏輯推理能力診斷，值得深入研究.命題組確定以此例題為素材通過放寬條件或增加動態元素來編制幾何探索問題.

3.成稿過程

(1)由靜化動提升推理能力需求

由靜化動，動中求定，經歷從變化的動態幾何圖形中探尋等量關系有助于培養學生空間想象能力，進一步考查學生思維嚴密性，體現分類討論思想，這是思維層次的飛躍，無疑是邏輯推理能力再提升.以例1為基礎，改變設置條件讓其中某個直角三角形三邊確定，將另一個直角三角形的一個頂點改為在某條直線上的動點，隨著動點的運動，相關的直角三角形會發生形變，帶動它的外接圓也隨之改變，這樣此圓與圖中某些線段的交點位置也會發生改變，根據這樣的命題思路將幾何問題與相對應的幾何圖形進行適當的調整，形成初稿：

如圖3，在Rt△AEC中，AC⊥EC，EC=3，AC=4，點B是EC延長線上一點，以AB為直徑的⊙O交直線AE于點D，設BC=x.

①用含x的代數式表示AD的長；

②若△ABE是等腰三角形，求AD的長.

(2)添加元素適應思維層次需求

命題組審查后認為初稿雖能體現幾何探索題的基本要求，但作為試卷的最后一題的綜合題，設問要層層遞進，難度成階梯上升，初稿的第①問還需要降低難度，使學生容易找到切入口.命題組通過討論確定在第①和第②問前再設計一個切入點低的問題，將原來的①和②改為②和③.完成新加入的第①問設計后，又感覺問題從整體上還存在一些問題：分類討論思想的考查過多，設問點牽扯線段AD過多顯得單一，圖形還不夠豐富飽滿，考查的核心知識有重復，不能夠全面考查學生的綜合能力，命題組決定做優化處理.

在線段上增加一個動點，并引入垂直元素，讓設問點間有聯系且豐富多樣，增強問題的綜合性，考查的思想方法更加多樣，其中還將部分線段隱去，幾何圖形重新做了再調整，形成了第二稿：

如圖4，Rt△ABC，CA⊥BC，AC=4，在AB邊上取一點D，使AD=BC，作AD的垂直平分線，分別交AC，CB于點F，M，交以AB為直徑的⊙O于G，H，設BC=x.

①當x=3時，求EH的長；

②若EF=y,求y關于x的函數關系式；

③連結OF，CG.

(ⅰ)若△AOF為等腰三角形，求⊙O的面積；

(ⅱ)若0

設置AD=BC的條件，確定線段上的動點D受制于點B的運動，由BC

(3)增減線段兼顧全面體現數學美

從知識內容上說，第二稿考查的知識內容是豐富了一些，但對于一個綜合題而言只有三角形沒有四邊形問題，總感覺知識的覆蓋面不夠，從關聯性上看，第①問對于第②、第③問缺少關聯.于是命題組建議利用圓的軸對稱性，連結HA、AG、GD、DH，獲得四邊形AGDH，可以考慮對四邊形AGDH設問，學生可以利用第①題的結論，根據幾何圖形的特征，尋得線段間的相互關系和等角間相互轉換，為第③問作好鋪墊.根據以上思路形成第三稿：

如圖5，Rt△ABC，CA⊥BC，AC=4，在AB邊上取一點D，使AD=BC，作AD的垂直平分線，分別交AC，CB于點F，M，交以AB為直徑的⊙O于G，H，設BC=x.

①求證：四邊形AGDH為菱形；

②若EF=y，求y關于x的函數關系式；

③連結OF，CG.

(ⅰ)若△AOF為等腰三角形，求⊙O的面積；

(ⅱ)若0

(4)問題設問指向明確突顯本質

三、體會

基于學生數學素養需求合理設計問題突顯教育公平.根據雙向細目表初步確定考查的核心知識，還要考慮學生的基本能力和學生數學素養提升，力求知識與能力并重.編制的題目首先要考慮問題的科學性、適標性、有效性和難易性，還要讓編制問題應具有解法多樣性.成題后作為編題者自己要認真從各個角度思考，探尋方法的多樣性，探尋方法還不局限于學生現有知識體系，應該要包括學生后續要學的內容和思想，甚至那些對初中生不作要求的研究方法，如前述第(3)問中求CG的長可以用不同方法構造直角三角形求解，還有可以運用余弦定理或托勒密定理求解.比較各種方法，要充分考慮問題設計不能出現對已學過高中內容或參加過競賽拓展學習的學生有明顯優勢，問題設計考慮要基于初中學生的數學思維與數學思想的需求，在試卷的命題設計上體現教育公平.如若出現上述不符合命題初心的問題要考慮改變題目的條件與設問方式，使初中生能夠用他們所學的知識解決，著重滿足學生需求的思維.