改進(jìn)的突然對稱擴(kuò)散水躍方程

寧利中,張 珂,寧碧波,田偉利，渠亞偉

(1.西安理工大學(xué)， 陜西 西安 710048； 2.嘉興學(xué)院, 浙江 嘉興 314001；3.上海大學(xué), 上海 200444)

泄洪消能是我國水利樞紐工程建設(shè)中的關(guān)鍵性技術(shù)問題。根據(jù)有關(guān)實(shí)際工程資料統(tǒng)計(jì)，其造價(jià)約占工程總造價(jià)的40%～50%。因此消能防沖設(shè)施十分重要。在整個(gè)過程中，消能是主要手段，防沖是輔助措施。對于具體的水流條件、地形地質(zhì)條件、泄水建筑物的形式與布置等，如何才能夠提供一個(gè)有效的高消能效率區(qū)，這是人們解決各種泄洪消能問題的關(guān)鍵。對于不同的泄洪消能形式，雖然具體的消能防護(hù)控制標(biāo)準(zhǔn)或設(shè)計(jì)準(zhǔn)則不盡相同，但解決問題的基本途徑是一致的。水躍的研究長期受到學(xué)者的關(guān)注[1-8]。

最簡單的情況是水平渠底等寬二元渠道中的水躍。Belanger于1928年忽略能量損失應(yīng)用能量方程建立水躍方程，沒有成功，10年后，他改用動(dòng)量方程給出了二元渠道中的水躍共軛水深比的顯式解。最近幾十年，由于工程建設(shè)的需要和技術(shù)手段的進(jìn)步，對水躍的研究有了較大的發(fā)展。由于消力池的幾何形狀取決于地形的條件，經(jīng)常被布置為擴(kuò)散式。從而引起了學(xué)者對擴(kuò)散水躍的研究。擴(kuò)散水躍可分為水平渠底漸擴(kuò)明渠段中的水躍[9-13]和突然擴(kuò)散段中的水躍[14-21]。文獻(xiàn)[15,17-18]對突擴(kuò)式水躍進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。郭子中[1]在用動(dòng)量方程計(jì)算共軛水深時(shí)忽略了始端突然擴(kuò)大壁面壓強(qiáng)的影響，后來發(fā)現(xiàn)始端突然擴(kuò)大壁面平均水深的影響較大，引入各種假設(shè)[14,19-21]，用動(dòng)量方程計(jì)算共軛水深時(shí)仍然存在誤差。因此，搞清楚始端壁面平均水深已經(jīng)成為保證利用動(dòng)量方程計(jì)算共軛水深精度的關(guān)鍵。最近，又有學(xué)者[22-24]就漸擴(kuò)消力池水力特性進(jìn)行了研究。本文通過分析，研究了突然對稱擴(kuò)散水躍共軛水深的水力特性。發(fā)現(xiàn)突然對稱擴(kuò)散水躍始端擴(kuò)散斷面的回流平均水深h3可以表示為躍前斷面水深h1和躍后斷面水深h2的函數(shù)。根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)資料，給出了回流平均水深表達(dá)式中系數(shù)α隨著突擴(kuò)比β變化的函數(shù)關(guān)系式。根據(jù)動(dòng)量原理建立了突然對稱擴(kuò)散水躍共軛水深方程。本文建議的方程能夠很好的與實(shí)驗(yàn)吻合一致。在已有的計(jì)算方法中，本文方程與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均誤差和最大誤差最小。因此，本文方程可以應(yīng)用到實(shí)際問題的水力計(jì)算。

1 回流平均水深

圖1是水平底突擴(kuò)式水躍的流動(dòng)示意圖。h1、h2為躍前、躍后斷面水深，h3為回流區(qū)平均水深，b、B為上游、下游渠槽寬度。按照圖1的流動(dòng)示意圖通過動(dòng)量原理建立水躍方程時(shí)必須考慮始端水深，如圖2所示。

圖1 突擴(kuò)式水躍示意圖

圖2 突擴(kuò)斷面回流區(qū)水深示意圖

h3=h1+αh2

(1)

α=-0.0512β2+0.3267β-0.0653

(2)

將式(2)代入式(1)就確定了回流區(qū)平均水深。顯然，式(1)既反映了躍前斷面水深，躍后斷面水深對回流區(qū)平均水深的影響，也反映了突擴(kuò)比β對回流區(qū)平均水深的影響。

圖3 系數(shù)α與突擴(kuò)比β的關(guān)系

2 突然擴(kuò)散水躍的共軛水深方程

對于圖1的流動(dòng)進(jìn)行分析時(shí)假定：

(1) 躍前與躍后兩斷面上的水流為漸變流。

(2) 忽略摩擦阻力。

基于上述假定，對圖1的躍前與躍后兩斷面在流動(dòng)方向應(yīng)用動(dòng)量原理，有

(3)

式中:Q為流量,γ為水的重度,g為重力加速度，v1、v2為躍前、躍后斷面的平均流速,α01、α02為躍前、躍后斷面動(dòng)量修正系數(shù),P1為躍前斷面的動(dòng)水總壓力,P2為躍后斷面的動(dòng)水總壓力，P3為水躍始端擴(kuò)散斷面上的動(dòng)水總壓力。

根據(jù)假定(1)，動(dòng)水壓力服從靜水壓力分布，則

(4)

(5)

(6)

根據(jù)連續(xù)性原理，有

Q=v1h1b=v2h2B

(7)

考慮假定(2)，有

α01=α02=1.0

(8)

將式(4)至式(8)代入式(3)，得

(9)

(10)

式(10)即為改進(jìn)回流平均水深假設(shè)條件下突然擴(kuò)散水躍的共軛水深方程。

3 突然擴(kuò)散水躍方程(10)的驗(yàn)證

方程(10)可以通過迭代法或者試算法求解。由于計(jì)算機(jī)的普及，方程(10)可以很快通過迭代法求解。方程(10)的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[17，20]實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較如圖4所示。

圖4 方程(10)的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較

不同突擴(kuò)比情況下方程(10)的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[17,20]實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差分析如表1所示。由表1可以看出，最大平均誤差發(fā)生在β=3.0的情況下。最大誤差發(fā)生在β=2.0的情況下。

表1 不同突擴(kuò)比時(shí)計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差

對于不同假定情況下理論方程的計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)[17,20]實(shí)驗(yàn)結(jié)果的的平均誤差和最大誤差分析如表2所示。可以看出，文獻(xiàn)[19]理論方程的計(jì)算結(jié)果平均誤差和最大誤差最大。文獻(xiàn)[14]理論方程的計(jì)算結(jié)果平均誤差次之。文獻(xiàn)[20]理論方程的計(jì)算結(jié)果最大誤差次之。本文理論方程(10)的計(jì)算結(jié)果平均誤差為6.105%，最大誤差是25.767%。在已有的研究成果中，本文方程與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均誤差和最大誤差最小，精度最高。因此，本文方程可以應(yīng)用到實(shí)際工程的水力計(jì)算。

表2 不同方程計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差

4 結(jié) 論

(1) 突然對稱擴(kuò)散水躍始端擴(kuò)散斷面的回流平均水深h3可以表示為躍前斷面水深h1和躍后斷面水深h2的函數(shù)，即h3=h1+αh2。根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)資料，系數(shù)α可表示為突擴(kuò)比β函數(shù)，其關(guān)系式為:

α=-0.0512β2+0.3267β-0.0653。

(2) 根據(jù)動(dòng)量原理建立了突然對稱擴(kuò)散水躍共軛水深的理論方程，方程的形式為：

(3) 突然對稱擴(kuò)散水躍共軛水深方程的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較說明，本文給出的方程能夠很好的與實(shí)驗(yàn)吻合一致。在已有的研究成果中，本文方程與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均誤差和最大誤差最小。因此，本文方程具有較高的精度，可以應(yīng)用到實(shí)際問題的水力計(jì)算。