結構力學課程“3W3E”教學法

程 斌, 向 升

(上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240)

結構力學是土木工程專業的核心課程，在整個專業培養方案中屬于承上啟下的關鍵一環，是高數、物理、理論力學、材料力學等基礎知識的綜合應用，對于培養學生在后續專業課程學習中的興趣和能力發揮著至關重要的作用。在工程專業教育認證新體系中，結構力學通常支撐著設計解決方案、職業規范、個人和團隊、終身學習等多個方面的畢業要求指標點，對于土木工程專業人才培養目標的達成也極其關鍵。但是，結構力學作為一門經典的力學類課程，同樣存在著知識涵蓋面廣、理論性強、內容抽象、應用靈活等顯著特點，尤其在課時非常有限的情況下，如何將最基本、最重要的知識以簡單、高效甚至有趣的方式傳授給學生，同時通過對學生解題技巧和創新思維的訓練，實現工程應用能力的提升，始終是結構力學任課教師需要思考的問題。

近年來，高校科教人員為提升結構力學課程的教學質量，進行了多方面的探索[1-2]。例如：在教學內容方面，提倡增強實踐性和趣味性，以激發學生的學習興趣[3-4]；探討自主式教學、研究性教學、信息化教學的可行性，提倡構建以學生為主導的教學模式，以提高學生學習的主觀能動性和自主學習能力[5-8]；從教學目標的角度，提倡重視概念分析能力和工程直覺的培養，以加深對工程概念的理解，提高學生的綜合素養[9-11]。

上海交通大學土木工程專業結構力學教學團隊在多年實踐的基礎上，探索出了一套以問題需求為導向、強化基本概念方法、注重創新思維訓練同時兼顧工程應用的 “3W3E”教學法，取得了較好的教學效果，可供兄弟院校教師同仁參考。

一、“3W3E”教學法

所謂“3W3E”教學法，是指針對結構力學中的知識點或方法，以Why、What、How、Evolution、Examples、Engineering六個要素(即“3W3E”)為核心模塊的特色教學方法。圖1為“3W3E”教學法的構成圖，具體包括以下部分。

(1)Why

“Why”模塊首先講述為什么要學習這部分內容，即對相關知識或方法的必要性和意義作用進行介紹。具體通過典型案例的分析，說明已有知識或方法在解決此類問題上存在的局限性，從而引出學習該內容的意義所在。“Why”模塊通過案例式引導，可有效激發學生的學習興趣，明確其學習目標。

(2)What

“What”模塊重點介紹基本概念，同時輔以重要的理論推導，從數學、物理、力學等原理上闡明相關知識或方法的適用性和先進性。“What”模塊可幫助學生從宏觀層面建立對所講授內容的整體認識，并掌握其中所蘊含的原理和本質，從而為接下來的學習打下基礎。

(3)How

“How”模塊所關注的是如何采用該方法對具體問題進行分析，將完整介紹相關方法的實施步驟，并對整個分析過程中的關鍵環節及其注意事項進行重點解析。通過“How”模塊的學習，學生對于“Why”模塊所提出的問題已可以找到解決方案，也基本掌握了運用該方法解決問題的方法。

(4)Evolution

Evolution意指發展歷程。該模塊按時間先后順序對所講授知識或方法的提出、修正直到完善的整個過程進行介紹，以幫助學生更好地掌握相關概念、原理、優缺點及適用范圍，培養學生思考問題的能力和科學探索精神。與此同時，還將對涉及的相關歷史人物的基本情況進行簡要介紹，這些科學家通常是數學、物理、力學及相關領域的開創者和奠基人，學生通過課堂了解和課后查閱，可培養形成對人類未知世界的好奇心和對人類科技發展的景仰敬畏之情，提升自身的學術志趣。

(5)Examples

Examples意指例題講解。該模塊以桁架、梁、剛架、拱等為對象，考慮常見的荷載和支座條件，設計若干典型例題對分析過程進行演示。Examples模塊兼顧總體流程和計算細節，對于提高學生的實際解題能力非常重要，但并不占據過多課時，課堂上僅對這些例題的主要分析過程、關鍵計算步驟以及易犯錯誤進行講解，并對不同類型結構之間的差異進行討論。對于為了提高解題速度和準確率而需要進行的大量計算訓練，則留給學生課后進行。

(6)Engineering

Engineering意指工程應用。該模塊結合工程實際情況，應用所學知識和方法對工程實例開展分析，并基于分析結果對工程中的現象和常識進行歸納解釋，最后再從“知其然并知其所以然”的角度對其力學本質進行揭示。必要時基于計算結果對重要參數的影響規律進行量化分析，以得到一般性的工程結論。“Engineering”模塊向學生展示所學知識和方法的工程價值所在，不僅加深了學生對書本抽象知識的理解，還可幫助學生在專業學習初期建立對土木工程結構的直觀認識，并形成一些重要的工程常識，從而為后續的專業課程學習以及解決復雜工程問題打下基礎。

以上六要素中，“3W”模塊為“3E”模塊的基礎和前提，“3E”模塊為“3W”模塊的延伸和拓展，六大模塊之間層次循序漸進、內容各有側重、功能互為補充，共同組成了結構力學創新教學體系的主體框架。

總體而言，“3W3E”教學法很好地體現和貫徹了“講一、做二、練三、拓四”的教學思路，即：首先對知識方法的目的意義、概念原理、方法步驟、發展歷程等進行詳細講解，此為“講一”；在此基礎上結合典型例題，對相關分析方法的實施步驟和解題技巧進行詳細講解，此為“做二”；進一步要求學生完成大量的課后作業，對不同類型的結構進行計算分析，以提高解題熟練程度和正確率，此為“練三”；最后基于所學知識方法對工程實際問題進行應用分析，并進行工程規律總結，此為“拓四”。

“3W3E”教學法的各模塊內容及其功能作用如表1所示。

表1 “3W3E”教學法的主要內容和功能作用

二、典型教學案例

以結構力學中最重要的力法為例，對“3W3E”教學法的實施過程進行詳細介紹。

(一)Why——為什么要學力法

以圖2(a)所示的兩跨連續梁為典型案例，內力分析需要首先確定四個支座反力分量，但基于靜力平衡條件只能建立相互獨立的三個方程，因此有無窮多組解。基于此，說明之前所學方法的局限性，并指出力法所要解決的主要問題。其中還可比擬“三個和尚抬水喝”的經典故事，將抽象內容形象化、生動化。最后，對超靜定結構的基本特征進行總結。

(二)What——力法的基本概念和原理是什么

以雙跨連續梁為例，若能確定四個未知量其中的一個(例如中間支座豎向反力RCY)，那么其余三個未知量迎刃而解。為此，將連續梁的變形過程想象成由兩個階段組成，即：先將C支座移除，得到圖2(b)所示的單跨簡支梁結構，施加荷載q之后梁發生變形，C點產生向下位移Δp；隨后在C點處由零開始從小到大施加一個方向向上的集中力X(見圖2(c))，使得C點開始從Δp位置向上運動，直至C點重新回到初始位移零點位置，此時所對應的集中力X即為初始體系的支座反力RCY。在這虛構的兩階段變形過程中，結構始終是靜定的，因此Δp很容易求得，RCY則通過求解C點位移協調方程Δc=Δp+Xδ=0得到，其中δ為單位力X=1作用下的C點豎向位移，也稱為柔度系數。

由此可見，力法的核心思想在于變形協調，需要以力(包括支座反力和截面內力)作為未知量，建立結點位移協調方程進行求解。至此，力法的基本概念初步建立。講解過程中，需要對涉及的基本結構、基本體系、未知力、變形協調方程、柔度系數等重要概念，以及小位移理論、疊加原理等基本假定進行說明。

(三)How——如何采用力法進行結構分析

力法的分析流程主要包括釋放多余約束、計算柔度系數和位移系數、建立變形協調方程求解未知力、求解結構內力圖等四個步驟。結合“What”模塊所介紹的基本概念，基于圖2(a)雙跨連續梁對力法的求解過程進行逐步講解。與此同時，還將對以下若干要點進行強調。

(1)釋放的多余約束數量與超靜定次數相一致，但多余約束的選取方案并不唯一。

(2)柔度系數δ的求解是關鍵，不同的多余約束選取方案所對應的柔度系數完全不同。

(3)建立變形協調方程所考慮的結點自由度與所釋放多余約束的方向是一致的。

(4)求解結構內力圖既可基于疊加原理對內力圖進行求和，也可將原始荷載和未知力均視為外荷載共同作用在靜定基本結構上進行求解。

(四)Evolution——力法的發展歷程

力法最初起源于James Clerk Maxwell在1864年提出的單位荷載法，主要用于求解超靜定結構在任意位置和任意方向上的位移，后經Otto Mohr 和Heinrich Müller-Breslau發展成為完善的力法，因此力法也被稱為Maxwell-Mohr法。這三位大名鼎鼎的科學家，James Clerk Maxwell是蘇格蘭物理學家，主要成就是建立了統一的電磁場理論，提出了著名的麥克斯韋方程組，被譽為是繼牛頓之后的“物理學第二次大統一”；Otto Mohr是德國材料力學家，提出了著名的應力莫爾圓理論；Heinrich Müller-Breslau也是德國土木工程學者，對梁和剛架的結構分析做出了重要貢獻。與此相關的更多信息，建議學生在課后自行查閱學習。

(五)Examples——力法的例題講解

考慮到拱結構位移計算需要曲線積分較為麻煩，因此針對梁、剛架、桁架三類典型結構，精心設計了六個算例進行解題過程講解，如圖3所示。

這六個不同類型的結構在采用力法進行求解時呈現出的特點也各不相同、各有側重。例題(a)探討帶有彈性支座的結構，重點強調當以彈性支座反力作為未知約束力進行分析，其位移最后并不協調到零；例題(b)兩跨連續梁含有兩個多余約束，將力法拓展到兩個未知力的情形，涉及相互耦合柔度系數的概念和求解方法；例題(c)三跨連續梁為二次超靜定結構，將通過比較不同多余約束釋放方案的計算過程，體現圖乘法計算柔度系數過程復雜程度的不同，指出預先評估未知力選取方案的必要性；例題(d)為鉸支門式剛架，通過定量分析桿件軸向變形、剪切變形、彎曲變形對計算結果的影響，說明桿件軸向變形和剪切變形在剛架結構分析中可以忽略；例題(e)固端剛架主要用于講解對稱結構的簡化求解方法，將對未知力之間的耦合關系、半結構分析法、對稱線桿件及支座處理等內容進行重點介紹；例題(f)介紹桁架結構的求解方法，重點說明直接移除桿件法和切斷桿件截面法的差異性及其機理。

以上例題基本涵蓋了力法可能涉及的主要方面，由于課時所限，學生還需通過大量的課后練習加以復習和鞏固，提高解題能力和解題效率。

(六)Engineering——力法的工程應用

力法的工程應用將主要結合Examples模塊的例題，分別針對梁、剛架和桁架結構展開。

首先對于例題(c)三跨連續梁，考慮不等跨情況，引入邊中跨比α作為參數，對連續梁的支座彎矩MC、中跨跨中彎矩ME和邊跨跨中彎矩MF進行計算分析，得到圖4(a)所示的規律曲線。可以發現，等截面三跨連續梁最合理的邊中跨比取值范圍為0.5～1，其余情況將導致極不協調的跨中負彎矩受力狀態。在0.5<α<1合理取值區間，還存在著明顯的支座負彎矩大于跨中正彎矩的現象，因此實際工程中的連續梁橋通常設計成支座高、跨中矮的變截面形式，以提高支座截面的抗彎承載力，而支座附近較大的結構自重對梁體受力并不產生明顯影響。

其次針對例題(d)鉸支門式剛架，將梁端負彎矩M-和梁跨中正彎矩M+的計算結果用圖形表示，見圖4(b)，可以發現高跨比H/L對剛架的彎矩分布有顯著影響。隨著H/L的不斷增大，M-不斷減小，M+則不斷增大，其原因在于H/L越大，則意味著在梁跨度不變的情況下，柱的高度越大，柱對梁端截面轉動的約束能力就越小，因此梁端負彎矩值就越小。極端情況下，H/L→0對應于梁兩端固定，H/L→∞對應于梁兩端鉸支。這里體現的是桿件剛度比的影響，有助于指導學生理解工程結構受力本質。

最后結合例題(f)桁架結構，對桁架梁的受力狀態進行分析。圖4(c)給出了H=L情況下的桁架桿件軸力分布圖。由圖可知，桁架上弦桿均受壓、下弦桿均受拉、斜腹桿均受拉，這與工字梁在相同豎向荷載作用下的受力狀態是極其相似的，因此上弦桿、下弦桿、斜腹桿在桁架梁中的作用類似于工字梁中的上翼緣、下翼緣和腹板，即：上、下弦桿(翼緣)主要用于抗彎，斜腹桿(腹板)主要用于抗剪。這對于理解桁架結構的受力特征很有意義。

三、結語

經過多年教學實踐和探索，原創性地提出了針對土木工程專業結構力學課程的“3W3E”教學法，并以力法為例進行了完整展示。“3W3E”教學法通過設置層次循序漸進、內容各有側重、功能互為補充的六大核心模塊，實現了以問題探討引出目的意義、以案例講解強化概念原理、以例題訓練提高解題技能、以發展歷程培養創新思維、以工程應用拓寬專業常識的教學目標，在實際教學中取得了較好的效果，可供結構力學課程教師參考，也可為其他力學類課程教學改革提供借鑒。