類比探索求新知 自主歸納促提升

陳國琴

摘要：初中數學的類比思想方法是課堂教學過程中教師引導學生探究新知常用的思相方法，是幫助學生聯系新舊知識、解決問題、完善知識建構的重要方法，也是開發學生思維、提高學生思考能力的重要形式。本文以《一元一次不等式（1）》為例，通過類比思想方法探究新知，以促進學生自主歸納來體現類比思想的重要性。

關鍵詞：一元一次不等式;類比思想;自主歸納

J.S.布魯納認為，掌握基本數學思想方法能使數學更易于理解和記憶，領會基本的數學思想方法是通向遷移大道的“光明之路”。[2]類比思想是數學中一種解決問題的重要思想方法，能培養學生的自主歸納能力，能幫助學生從“學會”變成“會學”，是落實學生數學核心素養重要方法。那么如何在課堂教學中更多的利用類比思想來提升學生能力呢？筆者以浙教版八年級《3.3 一元一次不等式（1）》第一課時為例，談談數學類比思想在數學中的應用策略。

一、教學內容和目標解讀

（一）內容解讀

浙教版數學八上內容有不等式的概念與不等式的基本性質，一元一次不等式與一元一次不等式組，和列一元一次不等式解應用題。本章內容作為初中階段數與代數中不等式的開始，是后續更深入學習不等式的證明和解法的重要著力點。眾所周知，現實世界里不但有數不清的等量關系，而且有著各式各樣的不等關系。不等式是用來表示不等關系的方法，與方程相同，不等式也是一種描述客觀世界必不可少的數學模型，它在生活和生產實際中有著廣泛的應用。本章內容之間的相互聯系可以用如下結構框圖表示：

如上面的結構框圖所示，本章第三課“一元一次不等式”在整個單元里是承上啟下的樞紐。學生雖然會利用不等式來描述客觀世界中不等數量關系以及知曉不等式的性質，但學生不免會產生這樣的疑問“為什么要學習不等式的性質？”不過第三課時的內容恰好回答了學生的疑問，而且也讓學生明白解一元一次不等式的依據恰恰就是不等式的性質，由此促使學生了解數學內涵與素養，繼而提高課堂效率。

（二）目標解讀

“3.3 一元一次不等式” ，可以這樣解讀：

2、這樣的數還有嗎？繼續列舉，如何表示這些數？

模仿、類比解答 解有關一元一次不等式 簡單的一元一次不等式

在數軸上表示不等式的解 掌握

根據課標，本節課的學習重心如下：即學生能夠將所給的各個不等式和一元一次方程作比較，用自己的語言得出一元一次不等式的特征：①兩邊都是整式;②只含有一個未知數;③未知數的最高次數是一次，從而得出一元一次不等式的概念并且理解“元”和“次”的含義;再以3x>30為例，列舉能使不等式成立的未知數的值，并嘗試用前面所學的不等式或數軸來表示這些未知數的值。這是本課的教學重點，也是難點。為什么是難點？因為不等式的解與方程的解有著較大的不同。在浙教版的教材中，不等式的解的定義是能使不等式成立的未知數的值的全體，是不等式解集的簡稱，因此不等式的解實際上就是滿足不等式的所有數值的集合，這種形式的數學概念對學生來講是好懂卻十分抽象的。因此，除了類比遷移，還需通過判定、列舉、表達，幫助學生進一步理解概念的本質;最后通過模仿一元一次方程的解法，類比得到一元一次不等式的解法，而且促使學生體會到解一元一次不等式中每一個步驟都是根據不等式的性質，讓學生領悟算理和解題步驟是數學學習中的重要支撐。根據上述分析，本課學習目標設定如下：

1.學生經歷類比一元一次方程，理解一元一次不等式的概念;

2.學生能用不等式或數軸來表示3x>30的解，并理解一元一次不等式的解的概念;

3.學生會用不等式的基本性質解簡單的一元一次不等式;

4.學生會在數軸上表示一元一次不等式的解并且利用數軸解決特殊解問題。

5.使學生經歷用類比遷移的過程，引發他們自主專研的興致，加強數學的學習興趣。

二、課堂教學實踐

（一）類比探索促數學概念生成

一元一次方程和一元一次不等式具備相關聯系，不過沒有構成上、下位關系，因此課堂的關鍵是幫助學生尋找一元一次不等式與已有知識脈絡中的有關知識的生長點，通過類比一元一次方程的概念，從而歸納遷移獲取一元一次不等式的定義，這也是學習數學里描述性定義的一種重要方法。

【復習交流 疑點反思】

出示：5x-3=7x+1

師：這個等式叫什么？什么叫一元一次方程？什么叫一元一次方程的解？你會解一元一次方程嗎？（絕大部分學生都能回答這幾個問題，而且還回顧了一元一次方程的三個特點：①兩邊都是整式②只含有一個未知數③未知數的最高次數是1）

設計意圖：復習一元一次方程的相關概念，為后續的類比學習做準備。

【聚焦概念 找尋關鍵】

幻燈片依次呈現三個不等式：5x-3≥7x+1;5x-3≤7x+1;5x-3>7x+1;

師：那這些式子叫什么？

生：一元一次不等式。

師：你們能不能“借用”一元一次方程的概念，來給一元一次不等式下個定義？

生：不等號的兩邊都是整式，而且只含有一個未知數，未知數的最高次數是一次，這樣的不等式叫做一元一次不等式.

設計意圖：以學生觀察的方式，在過程中滲透類比思想，，發現一元一次不等式和一元一次方程是“同胞”兄弟，發現一元一次不等式的特征，形成一元一次不等式的概念。

【簡單應用 方法反思】

幻燈片呈現六組數學式子，讓學生判斷哪些是一元一次不等式：

①2x+3>3y-1? ? ? ②x2+10≥16? ? ?③3/x>10

④ 3x=10? ? ? ? ? ?⑤3x>10? ? ? ? ?⑥

【合作學習 探究新知】

師：判斷當x1=9，x2=10，x3=10.1時，哪些未知數的值能使3x=10成立？（學生答10）

幻燈片將方程3x=10切換成不等式3x>10

師：以上三個數，哪些能使3x>30成立？（學生答10.1，我將10.1寫到黑板上）

師：滿足這個一元一次不等式的x的值還有嗎？（此時有學生回答只要x>10就都滿足，我將x>10寫到黑板上）

師：也就是說x=9，x=9.8都不滿足這個一元一次不等式是嗎？（我將9，9.8也寫在黑板上）

師：也就是說x=10.5，x=11都滿足這個一元一次不等式是嗎？（學生答是的，并且表示對x>10這個“標準”答案的肯定，我將10.5，11也寫在黑板上）

對于3x>30這類簡單的不等式，學生根據實際生活經驗，能夠輕易地得到正確的答案，但是前面提到過，不等式的解的定義是能使不等式成立的未知數的值的全體，是不等式解集的簡稱，因此不等式的解實際上就是滿足不等式的所有數值的集合，這種形式的數學概念對學生來講是好懂卻十分抽象的。這也是我在磨課中遇到的一個難題，如何讓學生在已有的生活經驗下，理解不等式解的概念，是本堂課要突破的一個難點。

師：像這樣的數舉得完嗎？（學生搖搖頭，表示舉不完，我將黑板上的三個數10.1，10.5，11三個數圈起來，如下圖）

師：我們舉不完，那么老師畫了一個圈，把這些數都圈起來，你們認為圈圈表示的數是什么？（學生答10）

師：除了老師的這種方法，以及你們剛剛提到過x>10的方法來表示這些舉不完的數以外，我們還學過哪類數學方法能表示這些數。（有學生答數軸）

師：很好，那我們一起來用數軸表示，你們說步驟，老師來畫。

生：第一步先畫數軸;第二步在10的點上畫空心圓;第三步方向朝右邊;

師：看來大家對前面的知識掌握的不錯，而且還能運用已學的知識來解決剛剛的問題，那么，這三種表示方法，你更喜歡哪一種呢？（學生都表示是x>10更方便，簡潔）

師：像x>10這樣的我們叫做一元一次不等式解的形式，是我們解一元一次不等式要達到的最終要求。

那么什么是一元一次不等式的解呢？

生：能使不等式成立的未知數的值的全體稱為不等式的解集，簡稱為不等式的解。

設計意圖：以類比與思考的方法，使學生理解一元一次不等式的解通常有無數個，掌握不等式的解的概念。另外，設計并提出符合學生當前認知水平的相關課堂追問，讓學生已有的認知結構與課堂探究內容產生沖突，因而激發學生的求知欲，也將探究不等式的解法做了鋪墊。

（二）類比探索促解題方法生成

通過前面幾個環節對一元一次不等式的概念和不等式性質的學習，學生已經進一步理解領悟了類比思想，所以，在一元一次不等式解法的教學中，筆者激發學生主動應用類比思想直接從解一元一次方程的五個步驟（求分母、去括號、移項、合并同類型、系數化1）遷移歸納了一元一次不等式的解法，因而體驗了探究數學問題中由通性求通解的代數思想。

【嘗試解疑 問題反思】

幻燈片呈現三個不等式，讓學生嘗試去解并且把解表示在數軸上。

①4x<10? ? ? ? ②-3x/5>1.2? ? ? ?③x+1≥3

（教師巡視， 2分鐘左右時幾乎所有學生均已完成任務。）

師：你們覺得解不等式難嗎？（學生表示不難）

生：和解方程差不多。

師：那解不等式的過程中你們用到了哪些性質呢？

生：不等式的基本性質（板書：（1）解不等式就是利用不等式的基本性質。）

師：很好，剛才同學們說的“差不多”，實際上是說出了方程和不等式有某些相同或類似的屬性。譬如：方程的概念和不等式的概念有某些相同或類似，等式的性質和不等式的性質也有某些相同或類似，實際上，大家已經運用了類比的方法來學習不等式。

那么等式的性質和不等式的性質有哪里不同？

在解不等式的過程中我們要注意什么？

生：等式兩邊都乘以或都除以同一個的數或式（除數不能為0），所得結果仍是等式。

不等式的兩邊都乘或都除以同一個正數時，不等號的方向不變;

不等式的兩邊都乘或都除以同一個負數時，不等號的方向改變。（板書：（2）兩邊同乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向要改變。）

師：在解不等式的過程中，除了要注意剛剛我們說的除以負數，不等號方向要改變以外，解不等式時，移項法則同樣適用。即：移項時項的符號要改變，不等號的方向不變。（板書）

【例題學習 應用反思】

幻燈片呈現問題。

例1解不等式7x-2≤9x+3，并反解表示在數軸上。

師：并求出不等式的負整數解。

（教師巡視， 2分鐘左右時幾乎所有學生均已完成任務，并請三位同學將各自的答案在黑板上板演）

師：你們認可哪位同學的做法？其他兩位同學錯誤的原因你們覺得是什么？

生：沒有畫數軸。

師：很好，因此我們在求一元一次不等式的特殊解時，一定要借助數軸這個重要的工具幫助我們理解和分析。

【顆粒歸倉 總結反思】

三、反思

波利亞指出：沒有類比，在初等數學或高等數學中就不會有發現，其他學科中也不會出成果。[黃旭、劉云.類比思想在初中數學教學中的運用*——以“分式的加減第一課時”為例[J] .中學數學月刊，2018：35-38.]實際上，學生學習知識的重要資源是課本，發生遷移的主要載體是知識，教師是知識的傳授者，是課堂的引領者，合理規劃教學進度，縮小學生與教材之間的差異，所以筆者從數學概念、數學解題、數學思想方法的三個視域初步探究學生在課堂學習中的有效形式，實際上在課堂教學過程中依舊受許多因素的影響，間接、甚至直接影響課堂學習。

（一）類比應用

本課的特別之處有兩點：1.通過元認知問題的設計和問答來啟發學生，讓學生主動地運用類比來研究一元一次不等式的概念和解法，并通過追問，讓學生說出運用類比的方法來研究一元一次不等式的思考過程。讓學生從親身經歷的探索思考過程中獲得對類比方法的體驗，過程中，學生不但領悟到類比方法的運用，而且使類比的方法深深地印在他們的腦海中，久而久之，學生就會靈活應用類比的方法來研究問題。

（二）再教設計

如果重新進行教學設計，筆考會給學生留出更大的思考空間，讓他們在探索和碰撞下對類比的學習方法產生更深的印象，其次，充分利用“手機同屏”這類輔助教學工具，幫助學生理解和比較解題方法。

參考文獻

[1]費曉芳.基于初中數學核心概念及其思想方法的概念教學設計——“一元一次不等式”的設計[J] .上海中學數學，2017：94-97.

[2]米萌.新課標下中學數學認知中的遷移研究[D] .延安大學，2011.

[3]黃旭、劉云.類比思想在初中數學教學中的運用*——以“分式的加減第一課時”為例[J] .中學數學月刊，2018：35-38.