差分方程模型的離散化改進

解玖霞

東營職業學院 山東 東營 257091

在現實世界中，有許多量是連續變化的，如氣溫的變化，動植物的生長等。另外還有許多量是離散變化的。例如，一個國家地區人口數量的變化，動物種群數量的變化，銀行存款的變化等。研究離散變量的性態則是以差分為工具的，研究連續變量的性態是以微分為工具的，有些連續的微分方程可以通過“離散化”轉化為離散的差分方程來求解。差分方程在經濟領域的應用十分廣泛，而且通過迭代法易于求解，下面研究不同模型及其改進方法。

1 捕食—被捕食模型

設在一個海島上考察狐貍——野兔生態系統。狐貍吃野兔，野兔吃草(假設草總是充足的)。野兔(被捕食)的數量取決于兩個方面：自身數量與狐貍(捕食)的數量。狐貍的數量也取決于兩個方面：自身數量與野兔數量。其中一個群體的改變必然引起另一群體的改變。從而狐貍——野兔生態系統隨著時間而變化出現反復循環。

首先將時間離散化為時段，每個時段之間相差一個單位，即每個Δn=1。設第n個時段后野兔的數量為xn，狐貍的數量為yn，與微分方程作 類 似 的 分 析，可 得 離 散 的 捕 食 模 型 (差 分 方 程 組)為Δxn=xn+1-xn=xn(a-byn)，Δyn=yn+1-yn=yn(hxn-c).

其中a、c表示另一個種群不存在時的常數增長率，b、h表示捕食系數(a、b、c、h＞0)。

2 市場經濟中的蛛網模型

在完全競爭的市場經濟中，商品的價格是由市場的供求關系決定的，商品越多，價格越低。例如，某城市的蔬菜供應，第一年供應量很少，求大于供，菜價就隨供應量減少而迅速上升，第二年農民大量種植，出現了供大于求，種植者賠了本，第三年可能菜又少了，這樣的需求和供應關系引起了市場上的價格和數量的必然波動，這種波動越小越好，如果波動太大就會影響人民群眾的正常生活。現建立“蛛網模型”，對上述現象進行分析。

首先，將時間離散化分為時段，一個時段相當于生產商品的1 個周期，設n時段商品的價格是pn，數量是qn。在n時段價格取決于數量，價格pn是數量qn的函數，由于數量越多(或少)，價格就越低(或高)，故此函數為減函數——需求函數f。在n+1時段，數量取決于前一時段的價格，數量qn+1是價格pn的函數，由于前一時段價格越高(或低)，后一時段生產的數量就越多(或少)，故此函數為增函數——供給函數g。

f、g兩個函數的交點P0(p0，q0)稱為平衡點，為簡單，不妨設這兩個函數是線性函數。

與前面模型比較，穩定條件由ab＜1變為ab＜2顯然改進蛛網模型保持經濟穩定的參數a，b 的范圍放大了，對市場經濟的穩定起著有利影響。

3 離散的阻滯增長模型

y 0=1 y 4=15.762≈16 y 8=200.504≈201 y 12=499.863≈500 y 1=1.998≈2 y 5=31.027≈31 y 9=320.604≈321 y 13=499.999≈500 y 2=3.988≈4 y 6=60.129≈60 y 10=435.634≈436 y 14≈500 y 3=7.944≈8 y 7=113.027≈113 y 11=491.714≈492

實際上這是一階非線性差分方程。比例系數k稱為傳染率。由實驗數據通過畫△yn關于yn(500-yn)的圖形——近似直線，k就是這條近改數據直線的斜率。如果已知每天的傳染率k=0.002，則由迭代法容易算得每天被感染的學生數(見下表)。根據所提供的信息，學校醫院應采取相應對策——開始的一周內盡量控制流感蔓延。

差分方程不僅是一種讓連續模型易于計算的有力工具，同時這也是擬合現實的有力工具，因為實際數據很多時候并不能用連續的思維來解釋，研究者也不能僅憑N＞1000等一些刻板教條的表象就認為自己手中的數據符合中心極限定理；特別是在計算機技術高速發展的今天，隨著硬件方面如GPU 等新型處理技術的普及和深度學習軟件方面的突破，通過差分方程來擬合、求解現實問題已成為當下的趨勢。