2019年全國Ⅰ卷第21題模型分析及解法探討

(山東省萊陽市第一中學,山東 萊陽 265200)

1 引言

物理公式與物理圖像相結合是一種重要題型,也是高考考查的重點及熱點。在高中階段我們常見的運動學和動力學圖像有v-t、x-t、a-t、F-t、F-a圖像等。在2019年高考全國Ⅰ卷的第21題中，命題專家獨辟蹊徑,采用小球在豎直的輕彈簧上運動的常規模型，結合a-x圖像進行設問考查,難度較大,不少學生找不到切入口,導致做錯。

每一個具體的物理問題都會對應著一定的物理模型。對于某些情景比較復雜和生疏的問題,如果能夠根據具體的現象和過程,把它還原成一定的物理模型,這對于下一步能否正確求解有著極為重要的作用。因此，建立一個合適的物理模型,就等于已經揭開了掩蓋現象真相或過程本質特征的面紗,找到了一把解題的“金鑰匙”。本文就本題涉及的基本模型及a-x圖像所含的規律、解題方法進行闡述,希望能給讀者一些啟示。

2 原題呈現

圖1

在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上,把物體P輕放在彈簧上端,P由靜止向下運動,物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系如圖1中實線所示。在另一星球N上用完全相同的彈簧,改用物體Q完成同樣的過程,其a-x關系如圖1中虛線所示,假設兩星球均為質量均勻分布的球體。已知星球M的半徑是星球N的3倍,則( )。

A.M與N的密度相等

B.Q的質量是P的3倍

C.Q下落過程中的最大動能是P的4倍

D.Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍

3 模型解讀

本題涉及的模型是我們最常見的小球在豎直的輕彈簧上運動模型，彈簧的伸縮現象有多個銜接點和子過程,涉及小球與彈簧兩個物體,解答中有三個關鍵點：(1) 把握各個臨界性銜接點(原長點、平衡點、最大壓縮點等)的特點,能夠寫出合適的瞬時性方程;(2) 把握各運動“子過程”的特點,能夠寫出合適的過程性方程;(3) 盡量應用運動的“對稱性”,簡化分析過程。

下面以物體由高處自由下落、壓縮彈簧的情況為例,做簡要分析(如圖2)。

圖2

(1)A→B:物體在重力作用下做勻加速運動,速度增大，物體的重力勢能轉化為動能，最后以速度v接觸彈簧。

B→O:壓縮彈簧,彈力變大，但仍然小于mg,物體所受合力方向向下,加速度減小,速度增大,做變加速運動，物體的重力勢能轉化為物體的動能和彈簧的彈性勢能。

平衡位置O:F彈=mg,a=0,速度為最大值vm。

O→D:壓縮彈簧,彈力繼續變大，且大于mg,物體所受合力方向向上,加速度增大,速度減小，物體的重力勢能與動能一并轉化為彈簧的彈性勢能。

最大壓縮點D:加速度最大，am>g,速度為0,彈簧的彈性勢能最大。

之后物體向上返回,各物理量的特點對稱于下落過程。

(2) 以平衡位置O為中心的OB與OC段為對稱區域，對稱區域中的各對稱點對應的速度、合力、加速度、能量等大小均相等。其v-t圖像如圖3所示。

圖3

4 分析與解答

(4) 對于D選項:物體P和Q分別在彈簧上做簡諧運動,由在平衡位置a=0可知：物體P和Q振動的振幅A分別為x0和2x0,即物體P所在彈簧最大壓縮量為2x0,物體Q所在彈簧最大壓縮量為4x0,則Q下落過程中,彈簧最大壓縮量是P物體最大壓縮量的2倍,D選項錯誤。