特厚覆蓋層動(dòng)力反應(yīng)分析的瑞利阻尼系數(shù)確定方法與應(yīng)用

余 挺，邵 磊

（中國(guó)電建集團(tuán)成都勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，四川省成都市 610072）

0 引言

中國(guó)水電開(kāi)發(fā)主戰(zhàn)場(chǎng)逐步移往西藏高原地區(qū)，壩址區(qū)普遍河谷覆蓋層深厚，地震設(shè)防烈度高。河谷深厚覆蓋層一般結(jié)構(gòu)和級(jí)配變化大，透水性強(qiáng)，層內(nèi)亦可能夾有粉細(xì)砂及淤泥，組成極不均一。對(duì)河谷深厚覆蓋層的合理利用與工程處理，是高土石壩壩基處理關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題之一[1]，其中強(qiáng)震區(qū)深厚覆蓋層壩基的抗震安全評(píng)價(jià)已成為當(dāng)前水工結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。由于缺乏工程實(shí)例支撐，以及受研究水平所限，地震波在深厚覆蓋層中的傳播規(guī)律以及壩基-壩體動(dòng)力反應(yīng)特性等最基礎(chǔ)的問(wèn)題尚不明確。目前，土石壩動(dòng)力反應(yīng)的計(jì)算研究大多集中在壩基為基巖或含少量覆蓋層的情況[2-5]，近年來(lái)深厚覆蓋層上高土石壩的動(dòng)力反應(yīng)研究取得較快發(fā)展[6-9]，但針對(duì)強(qiáng)震區(qū)500m級(jí)特厚覆蓋層壩基則不多見(jiàn)。

黏滯阻尼模型因其運(yùn)動(dòng)方程求解方便，在土石壩動(dòng)力反應(yīng)分析中廣泛應(yīng)用[2]。黏滯阻尼模型實(shí)際計(jì)入阻尼與頻率相關(guān)，會(huì)造成計(jì)算中各階振型實(shí)際計(jì)入的阻尼比不同，導(dǎo)致某些頻段的動(dòng)力反應(yīng)被人為抑制或放大，從而影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性與可靠性[10]。如在傳統(tǒng)的土石壩動(dòng)力反應(yīng)分析中，中、低土石壩的動(dòng)力變形主要以第一振型為主，采用基頻作為計(jì)算阻尼的唯一頻率。有研究結(jié)果顯示，隨著壩高增加，壩體的動(dòng)力反應(yīng)與地震波的頻譜特性關(guān)系逐漸密切，將有更多的高階振型被激發(fā)，在壩頂一定的范圍內(nèi)產(chǎn)生較大的變形[11，12]。當(dāng)壩高超過(guò)300m，壩體動(dòng)力反應(yīng)將更為復(fù)雜[10]。有研究結(jié)果表明，300m級(jí)高土石壩壩體的地震作用以6-12階振型放大為主，而第一振型則放大較小，此時(shí)若再采用基頻作為計(jì)算阻尼的唯一頻率，顯然低估了高階振型反應(yīng)，導(dǎo)致計(jì)算得到的動(dòng)力反應(yīng)偏小，應(yīng)用于設(shè)計(jì)則偏不安全[11]。

因此，在當(dāng)前超高、特高土石壩地震反應(yīng)分析的阻尼計(jì)算中，直接采用壩體基頻作為計(jì)算頻率，而不區(qū)分不同頻率的差別，對(duì)抗震設(shè)計(jì)是不利的。因此，有學(xué)者研究了瑞利阻尼系數(shù)對(duì)高土石壩地震反應(yīng)的影響，認(rèn)為瑞利阻尼系數(shù)在很大程度上影響土石壩地震反應(yīng)計(jì)算的精度[13]。基于此，本文研究Rayleigh阻尼模型2個(gè)控制頻率的選取方法，應(yīng)用于500m級(jí)特厚覆蓋層壩基動(dòng)力反應(yīng)分析。首先根據(jù)基巖剪切波速計(jì)算覆蓋層壩基的頻率、振型及振型參與系數(shù)；其次分析地震波頻譜特性，計(jì)算各階振型下的絕對(duì)加速度反應(yīng)譜系數(shù)，繪制各階振型對(duì)應(yīng)的最大地震加速度和頻率的關(guān)系曲線，得到對(duì)地震反應(yīng)影響最大的兩個(gè)振型并確定動(dòng)力方程的阻尼矩陣；最后計(jì)算與分析覆蓋層壩基的動(dòng)力響應(yīng)。

1 計(jì)算過(guò)程與參數(shù)

1.1 計(jì)算原理與過(guò)程

工程上應(yīng)用最為廣泛的是瑞利阻尼，其具體形式為：

式中：α、β——瑞利阻尼系數(shù)。

由振型的正交條件可以得到α、β與振型阻尼比的關(guān)系如下[14]：

式中：ξk——第k階的振型阻尼系數(shù)；

wk——第k階自振圓頻率。

可見(jiàn)，系數(shù)α、β對(duì)動(dòng)力反應(yīng)影響較大：當(dāng)α值越大，質(zhì)量矩陣對(duì)阻尼矩陣的影響越大，低頻衰減的多；當(dāng)β值越大，剛度矩陣對(duì)阻尼矩陣的影響越大，高頻衰減的多。因此，合理確定系數(shù)α、β的取值非常重要，應(yīng)保證所取α、β的值使動(dòng)力響應(yīng)中主要振型的振型阻尼比的值靠近合理值。

為了計(jì)算簡(jiǎn)單方便，工程上通常采用一個(gè)頻率作為控制頻率。

即：

工程上通常認(rèn)為土石壩第一振型對(duì)壩體的地震反應(yīng)貢獻(xiàn)最大，在傳統(tǒng)的等價(jià)線性法計(jì)算土石壩動(dòng)力響應(yīng)中，控制頻率wi取為基頻w1，阻尼矩陣僅由基頻決定。

土石壩的動(dòng)力反應(yīng)不僅與壩體的自振特性有關(guān)，還與輸入地震波的頻譜特性密切相關(guān)。當(dāng)輸入不同頻率成分的地震波時(shí)，由于壩體的共振特性，必將引起壩體不同的振型反應(yīng)，構(gòu)成動(dòng)力反應(yīng)的主要參與振型可能會(huì)有較大的差別[15]。

因此，僅采用一個(gè)頻率（基頻）來(lái)構(gòu)造阻尼陣，不能反映超高壩和特厚覆蓋層高階振型的振動(dòng)易于被激發(fā)放大的情況。要解決這個(gè)問(wèn)題，在進(jìn)行動(dòng)力計(jì)算之前，應(yīng)首先確定壩體的哪些振型被激發(fā)，成為構(gòu)成動(dòng)力響應(yīng)的主要參與振型，繼而構(gòu)造出更加合理的阻尼矩陣，得到更為切合實(shí)際的地震響應(yīng)。

Hardin等建議了考慮兩個(gè)頻率的阻尼矩陣的算法，如下式：

式中：wi——基頻w1；

wj——綜合考慮地震波的頻譜特性，選取地震波卓越頻率相近的土石壩的某一高階自振頻率，構(gòu)成動(dòng)力響應(yīng)的主要參與振型。

wj的取值綜合考慮了地震波的頻譜特性與壩體和覆蓋層自振特性，體現(xiàn)了高階自振周期與地震卓越周期可能迂合的影響。

采用剪切楔法[11]計(jì)算某輸入地震波下壩頂或覆蓋層頂部（建基面）對(duì)應(yīng)各階振型引起的最大地震加速度，來(lái)預(yù)估構(gòu)成動(dòng)力響應(yīng)的主要參與振型，選取其對(duì)應(yīng)的高階自振頻率wj。

采用分離變量法，設(shè)ν=Φ(z)為無(wú)量綱振型，Y(t)為廣義坐標(biāo)或正則坐標(biāo)。將ν代入振動(dòng)微分方程：

式中：ρ——材料密度；

c——材料阻尼系數(shù)；

z——某一高程；

v——水平剪切位移。

振型參與系數(shù)η的表達(dá)式為：

代入式（8），利用貝塞爾函數(shù)的遞推關(guān)系以及傅里葉-貝塞爾積分，可得η的最終表達(dá)式為：

式中：vso——壩體底部的平均剪切波速，可取壩體剪切波速乘上；存在深厚覆蓋層，將覆蓋層和壩體作為統(tǒng)一研究對(duì)象時(shí)，可取覆蓋層底部基巖的剪切波速；

——第一類(lèi)階貝塞爾函數(shù)；

——代表的零根；

——代表第一類(lèi)階貝塞爾函數(shù)。

求得壩體的自振頻率后，對(duì)輸入地震波進(jìn)行頻譜分析，得到各頻率（周期）對(duì)應(yīng)的絕對(duì)加速度反應(yīng)譜系數(shù)值βn，代入下式（11），就可分別求出各相對(duì)高度處各階振型下的最大地震加速度：

1.2 計(jì)算模型與參數(shù)

工程案例選取某規(guī)劃中的土心墻堆石壩，最大壩高150m。壩址區(qū)河谷覆蓋層深厚，鉆孔揭示最大厚度達(dá)500m，自上而下劃為4大層：第①層為第四系冰磧、冰水積（glQ3、fglQ3），平均厚約130m，由塊碎石土及含砂的塊碎礫石土組成；第②層為第四系沖洪積堆積（al+plQ3），平均厚約160m，由含（塊）碎（卵）礫石砂層，粒徑大小懸殊，分選性差，級(jí)配不良，粗顆粒未形成骨架；第③層為第四系沖積、湖積堆積（alQ3、lQ3），含礫石中粗砂、中細(xì)砂、粉細(xì)砂和粉土層等組成的軟弱土層，厚度一般為227～245m；第④層為全新統(tǒng)沖積堆積（alQ4），以砂卵礫石層為主，局部分布有灰黃色粉土、細(xì)砂層，平均厚約16m。地質(zhì)剖面如圖1所示。

建立的二維有限元模型如圖2所示，其中大壩壩高為150m，覆蓋層總厚度為500m，模型邊界采用剛性約束。覆蓋層水平分層，厚度分別為：第①層為140m、第②層為160m、第③層為180m、第④層為20m。主要材料的動(dòng)剪模量參數(shù)k、n見(jiàn)表1，動(dòng)模量衰減與阻尼曲線見(jiàn)圖3，圖中G為動(dòng)剪模量，D為阻尼比，γd為動(dòng)剪應(yīng)變幅值。

圖1 地質(zhì)剖面示意圖Figure 1 geologic section

圖2 二維有限元網(wǎng)格Figure 2 Two-dimensional finite element grid

表1 動(dòng)力計(jì)算參數(shù)表Table 1 Table of dynamic calculation parameters

1.3 輸入地震波分析

中國(guó)地震局地球物理研究所根據(jù)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)[16]與壩址區(qū)工程地質(zhì)條件，得到壩址區(qū)50年超越概率10%地震動(dòng)峰值加速度為0.20～0.30g，對(duì)應(yīng)地震基本烈度為Ⅷ度。設(shè)計(jì)加速度代表值的概率水準(zhǔn)，對(duì)壅水建筑物應(yīng)取基準(zhǔn)期100年內(nèi)超越概率2%。根據(jù)工程場(chǎng)地所處的區(qū)域工作背景與地震地質(zhì)環(huán)境，結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn)判斷，此設(shè)計(jì)概率下的場(chǎng)地基巖地震動(dòng)參數(shù)水平一般在0.5g以上，輸入地震波采用場(chǎng)地譜和規(guī)范譜兩套人工地震波，為100年2%的概率水平，水平向加速度峰值為0.55g，豎向加速度峰值為水平向的2/3，如圖4、5所示。

地震作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)與輸入地震動(dòng)的頻譜特征的關(guān)系可以通過(guò)其反應(yīng)譜、傅里葉譜等表征。在土石壩研究中，卓越周期通常為5%阻尼比計(jì)算的加速度反應(yīng)譜曲線上最大加速度出現(xiàn)時(shí)的周期。卓越周期對(duì)應(yīng)的頻率即為卓越頻率，當(dāng)?shù)卣饎?dòng)的頻譜集中于低頻頻段，那么由于高柔的結(jié)構(gòu)物的自振周期較長(zhǎng)，自振頻率較低，將產(chǎn)生較大的反應(yīng)；而如果地震動(dòng)的頻譜集中于高頻頻段，則對(duì)剛性結(jié)構(gòu)物的危害較大，因?yàn)閯傂越Y(jié)構(gòu)物的自振頻率較高，產(chǎn)生共振效應(yīng)。將各地震加速度時(shí)程進(jìn)行FFT變換，計(jì)算其Fourier振幅譜，以便清晰的展示兩條地震波的頻譜特性，如圖6、圖7所示。可見(jiàn)場(chǎng)地譜地震波主要以低頻分量為主，規(guī)范譜地震波的高頻分量參與度增加。

圖3 主要材料的模量衰減和阻尼增長(zhǎng)曲線Figure 3 Modulus attenuation curves and damping growth curves of major materials

圖5 規(guī)范譜順河向水平加速度時(shí)程Figure 5 The standard spectrum along the river horizontal acceleration time history

圖6 場(chǎng)地譜地震波Fourier譜Figure 6 Fourier spectrum of the site spectrum seismic wave

圖7 規(guī)范譜地震波Fourier譜Figure 7 Fourier spectrum of the standard spectrum seismic wave

根據(jù)以上兩條地震波的Fourier振幅譜得到卓越頻率、卓越周期見(jiàn)表2。

表2 各地震波的卓越頻率Table 2 Excellent frequency of seismic waves

2 計(jì)算結(jié)果與分析

物探給出基巖的平均剪切波速vso=1223m/s，相對(duì)高度基巖加速度取100年超越概率2%的基巖水平峰值加速度0.55g，三分之一階第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)及其零根見(jiàn)文獻(xiàn)[36]附錄二。取前18階振型進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算過(guò)程及結(jié)果見(jiàn)表3和表4，覆蓋層建基面最大加速度和頻率的關(guān)系如圖8所示。

表3 各階振型下覆蓋層建基面地震加速度計(jì)算表 （z/H=0.789）Table 3 Seismic acceleration calculation table of the base plane of the overburden

表4 各階振型下覆蓋層建基面地震加速度計(jì)算表（z/H=0.789）Table 4 Seismic acceleration calculation table of the base plane of the overburden

續(xù)表

圖8 覆蓋層建基面加速度和各階頻率的關(guān)系Fingure 8 The relation curve between acceleration and frequency of overburden base plane

由圖8及表3-4可見(jiàn)，在峰值加速度0.55g的場(chǎng)地譜人工波和規(guī)范譜人工波作用下，500m級(jí)特厚覆蓋層建基面放大倍數(shù)小于1。壩體+覆蓋層壩基的動(dòng)力響應(yīng)主要靠低頻（2～4階）控制，但高階振型參與明顯加大（8～9階），振型參與度最高的均是第3階和第8階。場(chǎng)地譜人工波作用下動(dòng)力響應(yīng)主要由低頻控制，高階振型參與。規(guī)范譜人工波作用下動(dòng)力響應(yīng)由低階振型和高階振型共同控制。

計(jì)算結(jié)果也反映了我們通常認(rèn)為土石壩第1階振型對(duì)壩體地震反應(yīng)貢獻(xiàn)最大這一認(rèn)識(shí)是存在局限性的，因?yàn)樵撜J(rèn)識(shí)主要是建立在中低壩統(tǒng)計(jì)資料的基礎(chǔ)上。如顧淦臣等[17]統(tǒng)計(jì)了國(guó)內(nèi)外20多座中低土石壩的自振周期，得到的自振周期主要分布在0.2～1s以內(nèi)。本算例500m級(jí)特厚覆蓋層的基頻為0.61Hz，周期為1.65s，與中低壩的卓越周期差別較大，對(duì)應(yīng)場(chǎng)地譜地震波的加速度放大倍數(shù)只有0.35，其放大效應(yīng)較小。

覆蓋層地基結(jié)構(gòu)系統(tǒng)表明傳統(tǒng)的等價(jià)線性法僅采用基頻進(jìn)行動(dòng)力計(jì)算時(shí)，場(chǎng)地譜地震波的放大效應(yīng)有限，得到的壩體動(dòng)力反應(yīng)偏小，尤其是規(guī)范譜地震波，結(jié)合圖7給出的Fourier譜分析，與其低頻分量相比，高頻分量的放大效應(yīng)尤為顯著。

根據(jù)以上分析，采用wi=12.016rad/s （第3階振型）、wj=32.589rad/s（第8階振型）進(jìn)行動(dòng)力計(jì)算，得到在場(chǎng)地譜人工波作用下覆蓋層建基面水平加速度3.0m/s2（放大倍數(shù)0.56），豎向加速度3.43m/s2（放大倍數(shù)0.95）。當(dāng)只采用基頻計(jì)算時(shí)，得到水平加速度放大倍數(shù)為0.44，豎向加速度放大倍數(shù)為0.61。可見(jiàn)，考慮高階振型的影響得到的動(dòng)力響應(yīng)增大。

同時(shí)計(jì)算了規(guī)范譜人工波作用下覆蓋層建基面的動(dòng)力響應(yīng)，得到水平加速度2.1m/s2（放大倍數(shù)0.38），豎向加速度2.2m/s2（放大倍數(shù)0.61）。可見(jiàn)，采用規(guī)范譜人工波作為地震動(dòng)輸入后，動(dòng)力響應(yīng)減小。

這是因?yàn)檩斎氲卣鸩ǖ念l譜周期在水平峰值段的值為0.12～0.7Hz，而大壩-覆蓋層壩基結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的主頻遠(yuǎn)大于0.7Hz。即結(jié)構(gòu)的自振周期遠(yuǎn)大于地震波的頻譜周期。表2給出了場(chǎng)地譜地震波的卓越周期為0.667s，規(guī)范譜地震波的卓越周期為0.223s。規(guī)范譜比場(chǎng)地譜峰值段更遠(yuǎn)離大壩-覆蓋層壩基結(jié)構(gòu)的自振周期，所以其地震反應(yīng)更弱。這個(gè)規(guī)律是在沒(méi)有考慮高階振型影響得到的，實(shí)際上由于規(guī)范譜的高頻分量參與較多，其動(dòng)力反應(yīng)被低估了。

另外，考慮地震波的頻譜特性，需要計(jì)算出大壩的各階自振頻率，而頻率的計(jì)算主要受基巖剪切波速控制，剪切的波速的測(cè)量和預(yù)測(cè)尤為重要。接下來(lái)分析剪切波速對(duì)覆蓋層壩基動(dòng)力響應(yīng)的影響。假設(shè)基巖的平均剪切波速vso=800m/s，場(chǎng)地譜地震波wi=7.860rad/s（第3階振型）、wj=21.317rad/s（第8階振型），規(guī)范譜地震波wi=2.494rad/s（第1階振型）、wj=7.860rad/s（第3階振型），結(jié)果見(jiàn)圖9。

圖9 規(guī)范譜、場(chǎng)地譜人工波作用下覆蓋層建基面加速度峰值和自振頻率的關(guān)系Figure 9 The relation curve between the peak acceleration of overburden base plane and natural

當(dāng)剪切波速為800m/s 時(shí)，計(jì)算得到的場(chǎng)地譜人工波水平最大加速度2.3m/s2，規(guī)范譜地震波水平加速度最大值1.5m/s2，分別約為剪切波速1200m/s時(shí)的0.75倍和0.83倍。可見(jiàn)，動(dòng)反應(yīng)加速度峰值和剪切波速基本成正比，剪切波速降低，地震動(dòng)力響應(yīng)減小。在實(shí)際勘探工作中，剪切波速測(cè)量和預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性非常重要。

3 結(jié)論

本文綜合考慮地震波的頻譜特性和地基土層的特性，研究了Rayleigh阻尼模型2個(gè)控制頻率的選取方法，分析了強(qiáng)震區(qū)500m級(jí)特厚覆蓋層的動(dòng)力響應(yīng)，以及剪切波速對(duì)覆蓋層壩基動(dòng)力響應(yīng)的影響，得到以下結(jié)論：

（1）在峰值加速度0.55g的場(chǎng)地譜人工波和規(guī)范譜人工波作用下，500m級(jí)特厚覆蓋層建基面建基面放大倍數(shù)小于1。

（2）輸入地震波的頻譜特性對(duì)計(jì)算結(jié)果影響較大。對(duì)于超深厚覆蓋層上高土石壩，在高頻分量較多的地震波作用下，較多階的高階振型被激發(fā)，成為構(gòu)成總體動(dòng)力響應(yīng)的一部分主要振型。

（3）動(dòng)力反應(yīng)最大加速度值和剪切波速基本成正比，在實(shí)際勘探工作中，剪切波速測(cè)試和預(yù)測(cè)分析的準(zhǔn)確性需足夠重視。