三維空間橢圓信道模型及其均勻矩形陣列研究

英 文,周 杰,2

(1.南京信息工程大學 電子與信息工程學院,南京 210044; 2.新瀉大學 電氣電子工學科,日本 新瀉 950-2181)

0 概述

近年來,隨著用戶對移動互聯網和多媒體業務需求的迅速增長,研究人員提出了一些可以提高通信系統性能和服務質量的新方法。然而如何高效、準確地描述傳播信道仍是通信工程中的一大難題。

在已有研究中應用了許多建模方法來模擬通信場景,包括確定、隨機和基于幾何的隨機信道建模技術[1-3]。在確定性建模中,發射機、接收機和散射目標通常位于隨機和不動點。隨機信道建模的方法是以移動臺的隨機特性和散射環境為研究對象,對特定信道參數的概率估計進行計算和分析。幾何隨機信道建模方法與以往的隨機方法相似,都是通過引入散射體的幾何形狀進行分析[4-6]。為了解決不同通信場景下面臨的各種問題,在已有研究中提出了不同的信道模型,包括單天線和多天線系統、定向和全向天線系統以及二維和三維的幾何系統[7-9]。文獻[10-12]中給出了圍繞在移動臺(Mobile Station,MS)周圍二維平面上的散射體模型,由此推導出各種信道參數的表達式,包括到達角(Angle of Arrival,AOA)和到達時間(Time of Arrival,TOA)的概率密度函數(Probability Density Function,PDF)以及發射和接收的相關函數等。文獻[12-14]提出橢圓幾何信道模型,假設MS和基站(Base Station,BS)位于橢圓的焦點處,從發射移動節點到接收移動節點的傳播路徑是來自橢圓邊界不同散射點的相同散射路徑,推導出AOA、TOA的概率密度函數和多普勒譜等數學表達式。文獻[15]指出由于散射波與建筑物屋頂、地面或者其他垂直物體相互作用,因此散射波在高程平面上呈角域傳播。對于豎直天線陣列或平面天線陣列來說,精確描述多徑信號對豎直面角度的擴展相當重要[16],因此在計算信號的空間相關性時,三維信道模型會比二維信道模型計算更準確。文獻[17]在考慮了BS高程的基礎上,提出一種幾何信道模型,其針對宏蜂窩環境中的散射物體。假定散射物體位于MS周圍的圓形區域內,并且在BS處無散射體。由于天線陣列可以提高數據速率和信號質量,因此在無線通信系統的發射器和接收器端使用天線陣列引起了廣泛的關注。

文獻[18]表明天線間空間相關性越小,天線容量越大。因此,許多學者研究了空間相關性是如何影響多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)系統。文獻[19]利用Kronecker模型對多輸入多輸出系統進行空間相關性和系統容量的性能仿真分析。雖然文獻[20]中給出了均勻線性陣列和均勻圓陣列的空間相關性函數,但是其結果受限于方位平面。文獻[21]表明在垂直平面上存在大量的角度信息。這說明在計算信道容量時,二維信號傳播的假設可能會導致對系統性能估計存在誤差。文獻[22]提出三維空間的研究方法,假設水平方位的AOA均勻分布在0°～360°上,而到達仰角(Elevation of Arrival,EOA)非均勻地分布在四周水平面上,但是文中并沒有給出方便計算不同參數值的函數閉合表達式,從而使計算出空間相關性的難度增加。在城市狹窄的街道上,由于峽谷效應,海拔擴散可能大于方位角擴散,在一些文獻中已經表明,大約65%的能量是在高于10°的情況下入射的[23]。因此,對于信號變化的描述三維信道模型要比二維信道模型更為準確。然而,上述文獻中沒有考慮到達方位角和到達仰角對均勻矩形陣列(Uniform Rectangular Array,URA)空間相關性(Spatial Correlation,SC)的影響,所以為更好地研究MIMO信道特性,建立三維空間信道模型對于MIMO系統的研究和應用具有重要意義。

本文提出一個散射體為均勻分布的三維橢圓信道模型,在其收發端設置均勻矩形陣列。利用該模型分析空間相關性和容量等信道特性,推導出AOA的邊緣概率密度函數,同時研究MIMO多天線陣列的空間相關性和容量,并闡述AOA、EOA、陣元間距對空間相關性及容量的影響,以擴展三維空間信道模型的應用范圍。

1 三維空間橢圓信道模型

本節詳細描述了模擬宏蜂窩環境信道模型。假設圍繞MS的橢圓邊緣處均勻分布散射體,發射端足夠高,散射體的高度高于移動臺的高度,發射端信號經散射體散射到接收端,接收端和發射端都設有均勻矩形陣列。在圖1中,a表示橢圓散射區域的長軸,b表示短軸,BS與橢圓的長軸位于一條直線上。MS位于以橢圓為中心的笛卡爾坐標系中的點(0,0),它與BS之間的距離為d,坐標為(d,0),假設d>>h,d>a,a>h。在推導系統方程時,采用以下假設[8-10]:

1)MS被包圍在橢圓的均勻散射邊界中;

2)每個散射點為全向天線;

3)接收的信號功率相等;

4)信號傳播為單次反彈。

圖1 信道模型

橢圓信道模型基于橢圓幾何形狀,適用于模擬高速公路和街道兩側的物理散射環境。橢圓的一般方程式為:

(1)

根據球面坐標系表示的笛卡爾坐標為x=acosφm和y=bsinφm。散射點R(x,y)位于橢圓邊界上,BS位于笛卡爾坐標系中的(d,0)點。其中,τmax是與橢圓內散射體相關的最大時延,c是光速,橢圓的長半軸和短半軸可以表示為:

(2)

圖1(b)中的橢圓可以用極坐標方程表示為:

(3)

2 TOA和AOA概率密度函數

2.1 TOA和AOA聯合概率密度函數

根據變量之間的關系可知,聯合概率密度函數為:

(4)

其中,f(x,y)和J(x,y)分別是散射密度函數和Jacobean變換。J(x,y)可以表示為:

(5)

將式(5)代入式(4)中,可得到:

f(rm,φm)=rmf(rmcosφm,rmsinφm)

(6)

利用式(3)中rm和τ的關系,可以得到MS處的TOA和AOA聯合概率密度函數為:

(7)

其中,J(rm,φm)為雅克比行列式變換,可表示為:

(8)

將式(8)代入式(7)中,可得到:

(9)

利用式(6)～式(9)即可得到MS處的TOA和AOA的聯合概率密度函數為:

(10)

2.2 AOA概率密度函數

根據極坐標下對散射體的分布函數求積分得到BS邊緣概率密度函數f(φm),表示為:

(11)

(12)

3 均勻矩形陣列的空間相關性

空間相關性的評估有助于計算MIMO系統的容量和獲得信道狀態信息。在該部分中,推導出陣列的兩個天線元件之間的空間相關性,如圖2所示。

圖2 均勻矩形陣列的三維空間接收模型

Fig.2 Receiving model of the uniform rectangular array in three-dimensional space

在圖2中,θ0和φ0是仰角和方位角。通常兩個天線之間的相關性由式(13)給出:

(13)

其中,E1(θ,φ)和E2(θ,φ)是天線1和天線2的輻射方向圖,P1、P2是接收功率,ρ是到達角的概率密度函數。平均概率公式由式(14)給出:

(14)

(15)

(16)

(17)

使用式(18)的無限序列積分計算雙重積分:

(18)

其中,Γ()是伽馬函數。應用式(18)可以快速計算出Z值,考慮到天線之間的間隔,該方法簡單高效。

4 信道容量

在發射機和接收機處涉及多個天線通信系統的香農容量計算。

(19)

其中,ζ是接收器的平均信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR),N=min(Nt+Nr),?表示厄米特共軛,H是信道矩陣,Nt和Nr是發射器和接收器天線的數量。

根據Kronecker模型,信道矩陣可以隨機建模為:

(20)

其中,Rt和Rr是發射機和接收機陣元間的相關矩陣,Hw是具有相同分布的復高斯隨機矩陣。在引入空間相關矩陣之后,根據不同的SNR值,評估均勻矩形陣列的MIMO系統容量。由于空間相關矩陣是通過方位角和高程擴展計算得到,因此建立的信道模型更加真實。

5 實驗結果與分析

圖3是MS端TOA/AOA的聯合概率密度函數圖。可以看出,當到達角為0°(τ=d/c)時,TOA/AOA的概率密度最大,此時,MS和BS是視距傳播,隨著到達角度絕對值的增加,概率密度函數減小,當到達角角度(|φm|)為180°(τ=2a/c)時,概率密度最小。

圖3 MS端TOA/AOA的概率密度分布

在第3節中已得到關于MS端AOA的概率密度函數的理論結果。對于各種信道參數繪制了如圖4所示的概率密度函數圖,所得結果與文獻[1]中的結果具有相似的趨勢。將長軸固定為40 m,改變短軸的長度(b取10 m、20 m、30 m、40 m,采用4組數據),對不同信道參數進行概率密度函數的繪制。從圖4可以看出:當方位角φm為0°～90°時,r1由a向b變化,AOA的概率密度函數從最高值變到最低值,當φm=0°時,概率密度為最高值,當φm=90°時,概率密度函數為最低值;當φm為90°～180°時,概率密度函數的值從最低值上升到最高值,當φm=180°時,概率密度函數為最高值;當φm為180°～360°時,其概率密度函數變化趨勢與0°～180°的變化趨勢相同。這些結果表明本文模型和概率密度函數表達式可以更加真實地模擬街道、公路等散射環境。

圖4 MS端AOA的概率密度分布

為比較EOA和AOA對空間相關性的影響,明確這兩個參數對于系統性能的重要性,圖5顯示了在θ0和φ0為90°時的均勻矩形陣列的空間相關性。|ρ[(n,p)(m,q)]|作為天線間距的函數,天線(1 m,1 m)和(2 m,2 m)的距離d=dx=dy,當φ0和θ0為90°時,通過AS和ES取不同值,可以觀察到隨著AS和ES的增加,空間相關性逐漸變小。當AS值固定、改變ES值時,空間相關性的變化不大;反之,空間相關性變化較大。這表明AS對空間相關性的影響比ES對空間相關性的影響大一些。另外,當AS較小時,空間相關性較大,反之亦然。該結果表明在均勻矩形陣列模型下,AS對空間相關性的影響大于ES對空間相關性的影響。

圖5 θ0和φ0為90°時均勻矩形陣列的空間相關性

Fig.5 Spatial correlation of uniform rectangular array whenθ0andφ0is 90°

為更深入了解AS和ES對空間相關性的影響,假設AS和ES的值可變,φ0和θ0為90°,間距為0.5λ,結果如圖6所示。可以看出,ES的變化幅度沒有AS的變化幅度大,因此在均勻矩形陣列中,AS對空間相關性的影響要大于ES對空間相關性的影響。

圖6 天線間距為0.5λ、φ0和θ0為90°時AS和ES對空間相關性的影響

Fig.6 Impact of AS and ES on spatial correlation when antenna spacing is 0.5λ,φ0andθ0is 90°

圖7測試了4×4 MIMO系統的信道容量,仰角和方位角平面的到達角度為45°和90°,AS為90°,ES為90°,發射器處的天線間距和接收器處的天線間距分別為0.3λ、0.6λ、1.0λ、1.5λ。通過對比發現,天線間距會影響天線系統信道容量。

圖7 天線間距對均勻矩形陣列信道容量的影響

Fig.7 Effect of antenna spacing on capacity of uniform rectangular array

6 結束語

本文對基于橢圓幾何的大型通信系統散射模型進行擴展,提出基于均勻矩形陣列的三維空間橢圓信道模型。該模型假設在圍繞MS的橢圓邊緣處均勻分布散射體,推導出到達角概率密度分布函數的表達式。在該模型的基礎上,分析多輸入多輸出系統的多天線系統性能,同時研究了三維多徑信道在均勻矩形陣列下的空間相關性,并且計算出均勻矩形陣列的容量。實驗結果表明,影響模型空間相關性的主要因素是AS,收發端天線間距也會影響天線系統容量,并且本文模型的信道參數設置符合室外移動通信環境的理論和經驗參數設置,擴展了三維空間信道模型的應用范圍。隨著5G無線通信網絡的快速發展,車對車通信技術(V2V)得到廣泛應用,因此下一步將對V2V信道特性進行研究以提高通信效率與可靠性,并降低交通事故發生率。