矩形巷道圍巖應力分布規律與粘彈性變形分析研究

韓濤

（山西省長治經坊煤業有限公司山西長治047100）

0 引言

運用理論分析的手段，根據彈塑性力學機理推導出矩形巷道圍巖應力應變之間的函數表達式，通過公式可以更加直觀的反映出不同因素對矩形巷道圍巖應力應變的影響關系，再結合相關的相似模擬以及數值模擬對其進行校核、修正、完善。因此，較為成熟的理論分析手段對于實際工程生產越來越顯得尤為重要。本文采用復變函數理論分析方法解決了應力計算不連續的相關問題，并可在一定程度上減少計算繁瑣的問題，對實際工程中巷道圍巖穩定性的判斷具有一定的指導作用，并為巷道支護方案的設計提供參考。

1 工程概況

3-8051 順槽煤層傾角2°～6°，長1 157.91 m，煤層平均厚度6.3 m，直接頂是泥巖，厚約1.28 m，基本頂是砂質泥巖，厚約6.83 m，直接底為泥巖，厚約0.57 m，基本底為細粒砂巖，厚約2.93 m。

3-8051順槽設計長度為1 157.91 m，矩形斷面，凈寬為5.2 m，凈高為3.1 m，沿3#煤層底板掘進。

2 理論分析

2.1 矩形巷道圍巖應力分析

2.1.1 力學模型建立

矩形巷道圍巖周圍應力在巷道開挖及采掘過程中進行重新分布，影響應力重新分布結果的因素有：地質條件、巷道圍巖特征以及圍巖的巖石力學性質等。為了更好的研究矩形巷道圍巖應力分布特征，建立了力學分析模型（圖1）。對矩形巷道圍巖應力的分析按照平面應變問題來進行處理，模型邊界按照5 倍巷道面積大小來進行設定，該模型也同時符合了彈性力學中關于忽略自重、均值、彈性、各項同性及小變形等相關假說。

圖1 矩形巷道原巖應力場分布模型

2.1.2 保角映射與曲線坐標

煤炭洗選加工要形成比較合理的結構和布局。原煤入洗比重達到70%以上。原則上不銷售和使用毛煤。建成一批不同規模、不同品種、不同用途的現代化煤炭洗選加工基地。技術裝備、工藝流程、全員工效和自動化程度接近國際先進水平，進入世界煤炭洗選加工強國行列。

通過在彈性介質邊界上確立已知條件，利用所得復變函數關系式，可以得出具體的保角轉換復變函數，以此可以進一步得出矩形巷道應力具體的函數表達式，這里所用的保角轉換函數z的關系式為[1-2]：

通過對矩形巷道進行理想化，視為理想彈性體狀態，把矩形巷道圍巖斷面（XZ平面）上的面積矢量轉換成L 平面域上來，可得在L 平面域上l=ρ( cos θ+i sin θ )=ρeiθ，則通過極坐標表示L 點的形式為（ρ,θ），在L 平面上ρ、θ 的圓周參數均為恒值常數。據此，ρ、θ 可以被看成在XZ 平面上的一點曲線坐標，其中i為保角系數，一般取1.2。具體轉換關系示意圖如圖2所示。

圖2 極坐標轉換示意

通過上述的轉換原理及方法，可將矩形巷道平面問題轉換成單位圓平面問題。這樣可在計算過程及計量上使矩形巷道圍巖應力的求解變得簡單很多，通過轉化所得的解析函數φ( l ),φ( l )可以用來表示矩形巷道圍巖的應力及位移。表達式如下（公式一）：

與之相關的關系表達式還有公式2：

式中：FX、FY分別對應X、Y 方向上的面力之和。φ0( l ), φ0( l )分別表示在單位圓L 內的復勢函數，并且在單位圓范圍內（涵蓋圓周的外邊界）具有連續性。B，B′，C′是表示在原巖應力場中σρ,σθ有關物理量相關的常量，可表示為（公式3）：

式中：α 為原巖應力主應力方向。

圖3 矩形巷道平面與單位圓平面映射關系

如圖3，其中任何一點在L關系平面內都可以表示為l= ρeiθ的形式。

2.2 矩形巷道圍巖粘彈性變形特征分析

因巷道本身具有非常顯著的流變特性，所以在采掘過程中以及掘進完成后，巷道圍巖容易出現裂隙和彈性變形等圍巖不穩定現象。巷道在剛開挖后，原巖應力狀態被破壞，巷道巖體本身表現為彈性狀態，隨著時間的增加，開挖后的巷道圍巖出現穩定且緩慢的蠕變特性，在這個動態的過程中，巷道圍巖同樣出現應力松弛現象，依據以上的分析以及根據巖石的流變特性，我們可以選用Poyting-Thomson（鮑爾丁-湯姆遜）模型[3]以及廣義的達爾文模型來進行彼此之間的對比分析。

2.2.1 poyting-thomson模型

圖4 poyting-thomson粘彈性模型

該模型的本構方程為（公式4）：

在具體分析問題時，抓主要因素，忽略掉次要因素，使問題簡易化，可將巷道圍巖的體積變形看成彈性變形，依據相關的機理及理論對問題進行定性分析。poyting-thomson模型的本構方程表示為偏張量形式的表達式為（公式5）：

由上式的關系推導可以看出矩形巷道圍巖粘彈性的胡克本構關系模型以及求解關系的本構模型與彈性體基本機理性質基本相同，根據實際問題，代入相關變量，即可求出矩形巷道圍巖的粘彈性值。

2.2.2 廣義達爾文模型

圖5 廣義達爾文本構模型

其本構關系方程為：trelσ+σ=trelE1σ+E2ε

式中：σ 為矩形巷道圍巖應力變量；ε 為矩形巷道圍巖應變變量；trel為矩形巷道圍巖蠕變應力松弛時間。

利用D 代表時間的微分算數形式，則此模型的本構關系方程可表示為：

由上式推導關系可以得到矩形巷道圍巖的應力應變以及應力松弛時間的求解方法，根據實際問題，代入相關變量，即可求出矩形巷道圍巖各個變量的相關值。

3 實際工程應用分析

為對矩形巷道圍巖應力理論求解的進一步研究，結合實際工程情況，對矩形巷道圍巖應力求解過程進行具體分析。由于本文理論部分研究主要是對矩形巷道與圓形巷道轉換分析理論的補充，所以所得公式不足以進行具體的工程應用分析，需引除本文所得公式外，其他的基本推導公式，具體參考文獻[1-2]內所示。

3-8051 回風順槽矩形斷面參數為寬5.2 m、高3.1 m。3-8051回風順槽為全煤巷，其中3號煤的應力松弛時間為4d，瞬時剪切模量為G0=600 MPa，將上述參量帶入文獻1內對應公式可得：

k=0.164；r=3.96；c1=0.515；c2=-0.123；c3=-0.006；c4=-0.004

結合圖1 矩形巷道原巖應力場分布模型可知：X=Y=0，且3號煤埋深400 m，原巖應力q=10 MPa，應力集中系數λ 取1.5，l根據平映射關系，得出值約為1，帶入映射函數z=w(l)，以及公式1，公式2 最終得出代入上式可得矩形巷道圍巖應力集中處φ( l )=17.8 MPa；=0.3 m。

4 結論

結合工程實際對矩形巷道平面問題轉換成單位圓平面問題進行了進一步探討，可以看出，通過所得公式及所引公式變量之間的關系推導，得出了矩形巷道圍巖應力的具體求導公式，并根據實際情況，代入具體參數得出了巷道圍巖應力應變值。