一次函數和反比例函數綜合問題解法研究

莫貧旺

[摘要]探討一次函數和反比例函數的綜合問題的解法，以促進學生提升解決問題能力和數學素養，

[關鍵詞]一次函數;反比例函數;綜合問題

[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）05-0022-02

在中考中，將一次函數與反比例函數結合起來考查屢見不鮮，這樣的考題不僅考查一次函數與反比例函數的圖像與性質，還考查數學思想方法。

一、求函數表達式及比較函數值

一次函數圖像與反比例函數圖像相交求解析式時，一般以反比例函數作為突破口，先求反比例函數解析式，再求一次函數解析式，比較兩個函數的函數值時，要結合圖形，找出分界點，左右兩邊分別討論，圖像在上方的函數值較大，圖像在下方的函數值較小，交點處函數值相等。

（1）求這兩個函數的表達式;

（2）根據圖像直接寫出一次函數的值大于反比例函數的值的x的取值范圍。

分析：（1）把A的坐標代入反比例函數解析式，可得出反比例函數解析式，把B的坐標代入反比例函數解析式，可得到B的坐標，再由待定系數法求出一次函數解析式;（2）結合圖像，找一次函數的圖像在反比例函數圖像上方時對應的x的取值范圍。

點評：反比例函數只有一個待定系數，所以只需圖像上一個點的坐標就可求得;一次函數有兩個待定系數，所以需要圖像上兩個點的坐標才可以求得，因此，求兩函數解析式時，以反比例函數作為突破口為宜，比較兩函數的函數值時，自變量x的值常以圖像交點的橫坐標和原點O作為分界，把x的值分為四個部分，要結合圖像逐段進行分析。

二、求三角形的面積

一次函數圖像與反比例函數圖像可以有0個、1個或2個交點，當兩個圖像有兩個交點時，這兩個交點與原點構成一個三角形，直線與雙曲線的交點落在兩個象限時，構成鈍角三角形，此時需要分解為兩個三角形，用面積的加法求面積;直線與雙曲線的交點在同一象限時，構成銳角三角形，此時需要將所求三角形看成兩個三角形的面積差，用面積的減法求面積，在求三角形面積前，應先求出圖像的交點坐標。

點評：同一直線上兩點的距離等于它們相應坐標的差的絕對值，這樣可以表示出某些線段的長，在去絕對值符號時，注意有兩種情況：大于0或小于0.再者，a、b絕對值的積或商等于它們積或商的絕對值，這樣可以將兩個絕對值化為一個絕對值，使問題得到簡化，

（責任編輯：黃桂堅）