關注圓的特性 巧構模型解題

朱文良

[摘要]添加輔助線來構建模型是幾何問題突破的常規策略，關于圓的問題可以由圓的垂徑定理、直徑所對的圓周角特性、切線性質以及綜合利用幾何定理來建立相應的模型解決。

[關鍵詞]圓;輔助線;模型

[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）05-0017-02

圓是初中數學重要的幾何圖形，由于圓的結構較為特殊，其性質和定理與常規的圖形存在一定的差異，關于圓的問題，在求解時需要結合圖形結構、特殊點和特殊關系，充分利用圓的性質和定理來合理添加輔助線，通過構建相應的模型來解決。

思路一：關注圓中弦。構建垂徑關系

弦是圓中所特有的概念，當出現與弦相關的圓問題時，可以根據垂直于弦的直徑平分弦和弦所對的兩條弧長的特性，通過添加輔助線來構建對應的垂徑關系，該構建思路是基于圓的“垂徑定理”，解題時需要關注圓的半徑、弦和弦心距。

評析：上述給出了圓內的一條弦以及與弦相關的垂線，求證等線段長可以基于垂徑定理來添加輔助線，利用該定理將幾何位置關系轉變為相應的長度關系，在解題時要充分理解垂徑定理中的“徑”，作圖時只需要作過圓心與弦相垂直的線段即可，因圓內必然存在與其相重合的直徑。

思路二：關注圓內直徑。構建直角三角

直徑是衡量圓大小的量，當圓內出現直徑時，可以基于直徑上的圓周角性質來構建直角三角形，即添加輔助線，分別連接圓上一點與直徑的兩個端點，則直徑所對的圓周角就為直角，考慮到這樣的圓周角有很多，在實際解題時需要結合圓上的特殊點來構建。

評析：利用直徑所對的圓周角為直角來添加輔助線構建直角三角形是求解圓相關問題的常見方法，上述考題雖然沒有給出直徑，但通過延長半徑也可以獲得直徑，此時就可以將所求線段關聯到直角三角形中，因此利用直徑所對的圓周角性質建模適用于兩種情形：一是直徑明確，直接構建;二是直徑隱含情形，由半徑衍生出直徑。

思路三：關注圓的切線。借用切線性質

圓的半徑與圓的切線相垂直，這是圓的切線性質，在求解與圓切線相關的問題時，則可以考慮利用圓的切線來添加輔助線，構建相應的幾何模型，該種建模的思路適用于求解線段長和兩線垂直，同時也可以逆向思維來求證直線為圓的切線。

評析：利用切線的性質建模的思路較為明確，①如果存在切點，只需要連接半徑，然后求證垂直即可;②如果沒有切點，則需要作出相應的垂直關系，證明所作線段為半徑，因此該建模思路中常涉及兩類模型：一是特殊的直角模型，二是等長線段模型。

思路四：關注圓內定量，綜合構建模型

圓內的量較多，除了上述所給出的半徑、直徑、弦長和切線外，還包括弧長、圓心角、弦心距和弓形高等量，對于給出上述量的圓的問題，則可以考慮綜合應用幾何定理來構建特殊模型，如相似模型、直角三角形模型，基本的思路為：由已知出發探索垂直或相似條件，建立對應模型，然后利用特殊模型的性質突破。

評析：上述同樣是與圓相關的問題，兩問模型構建的思路是不同的，第（1）問是結合圓的切線，從三角形相似入手來轉化比例關系，同時利用了直角三角形的中位線性質;第（2）問則是結合圓外一點的兩條公切線，從圖形對稱入手，利用弧長公式來轉化問題，因此對于一些結構較為復雜的圓類圖形，在突破時要充分利用圓內的量和性質，綜合幾何定理來建模，這也是復雜圓類問題突破的方法。

總之，圓問題的建模思路是多樣的，具體表現為從圓的幾何性質和定理入手，結合相應的問題構建對應的特殊模型，然后利用模型來分析其中的位置和數量關系，最終實現問題的求解，基于幾何特性構建解題模型的過程中同時也涉及眾多的數學思想，如模型思想、數形結合思想、化歸轉化思想和方程思想等，在解題教學中，教師應適當講解構建解題思路的方法，使學生逐步內化，形成自我的解題策略。