圓錐曲線“中點問題”教法研究

范光玉

[摘要]研究圓錐曲線中的“中點問題”的解法，不僅可以幫助學生掌握一般解題規律，還能提高學生的解題能力。

[關鍵詞]圓錐曲線;中點問題;點差法

[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）05-0010-02

高中階段學習的圓錐曲線包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線，“中點問題”指的是圓錐曲線中“弦”的中點，“中點”有幾何與代數兩種形態，我們在解決的過程中，可以分別從這兩個角度人手。

一、學生的基本情況分析

學生對于圓錐曲線的基本性質有了一定的認識，關于格式與規范方面已經進行了充分的訓練，班中個別優生能夠完成該章節的解答題，學生的困難在于條件的轉化與計算化簡的過程。

學生迫于高考的壓力，有較強的學習動力，但礙于運算能力以及邏輯推理能力不強，往往選擇放棄后續的運算，筆者寫此文也是為了給學生樹立信心，以高考題為主要的訓練素材，通過建立模型，突破難點。

二、利用“中點”的幾何性質求解——點差法

在圓中，與弦中點有關的性質比較多，高中階段常用的是“垂徑定理”，該定理轉化為代數關系即為一組斜率關系，該結論可“完美地”平移至其他的圓錐曲線。

下面來梳理高考題，總結題型特點。

1.（2009年全國卷理13）已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F（1.0），直線Z與拋物線C相交于A，B兩點，若AB的中點為（2.2），則直線Z的方程為__。

2.（2010年全國卷理12）已知雙曲線E的中心為原點，F（3.0）是E的焦點，過F的直線Z與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N（-12.-15），則E的方程為（）。

分析：本組題分別以拋物線、橢圓及雙曲線為例，推導該結論，三個結論的結構一樣，其蘊含的幾何性質也相同，本環節的設計意圖是讓學生熟悉“點差法”的運算流程，發現該題型的核心要素，點差法是“設而不求”的一種解題思路，點差法的基礎是以點A，B為基本量，通過代點及做差獲得一個程序化的結論，而對于A，B點而言，并沒有任何直接的結論可用，這是學生的主要思維難點。

利用點差法也有一個弊端，該結論不包括斜率為0或斜率不存在的情況，對于上面三個練習的最終結論，當研究對象為圓時，對應的幾何關系即為圓的“垂徑定理”，通過伸縮變化，即可直接將該結論推廣至橢圓，所以我們可以把該結論統一稱為圓錐曲線的“垂徑定理”。

四、解決“中點”問題

基于上面的分析與準備，筆者設計了兩個例題進行相應的運算。

分析：兩個例題都和中點有關，且都可以使用“點差法”求解，而兩題的難點在于對題意的理解及結論的轉化，對于例4.根據上面的環節可知，OP的斜率為定值，即可知點P的軌跡為直線，對于例5.條件PA=PB，暗示△PAB為等腰三角形，根據“三線合一”即可得關于AB中點的相關結論。

學生的難點并不在于點差法的使用，而在于上述條件的轉化，學生在轉化過程中，思維受阻時，教師應該引導學生應用常規解法求解，即通過基本量，表達出所求式，轉化為代數問題，通過代數運算獲得結論。

五、鞏固練習

為了強化本節課的學習成果，筆者設計了如下題目供學生練習。

1.過點M（2.1）且斜率為1的直線與拋物線y²=2px（p>0）交于A，B兩點，且M為AB的中點，則p的值為（ ）。

第1題是點差法的直接應用，在第2題中，筆者就以圓為背景進行設計，在圓中可通過構造直角三角形利用韋達定理求解，第3題在考查中點的基礎上設計面積的運算以及最值問題，該問題的難度較大。

六、總結與反思

如何尋找學生的分數增長點？經過一輪、二輪的復習，學生對基礎知識已經較為熟練，但也形成了相對固定的思維定式，學生對某一類題，可能很熟練，而對另一類問題完全沒有想法，比如上述的“中點問題”，很多學生都知道“點差法”，但什么時候用、有沒有限制等還不太了解，此時要教會學生歸納整理，將陌生的題型轉化為熟悉的模型。