《平面向量基本定理(1)》的教學反思與重構

蔣智東 周建平

[摘要]平面向量基本定理是數學的核心概念，教師要努力揭示數學定理的發展過程和本質，通過例題教學鞏固知識、訓練技能，通過課堂小結完善認知結構。

[關鍵詞]平面向量;基本定理;反思;重構

[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）05-0001-03

定理教學是高中數學教學的重要任務，教師要努力揭示數學定理的發展過程和本質，通過典型例子的分析和學生自主探究活動，使學生理解定理產生的背景和逐步形成的過程，體會蘊含在其中的思想，領悟定理本質及豐富內涵，定理只有被深刻理解，學生才具有遷移與應用的能力。

但是，在日常教學中，我們也看到許多教師把定理教學的重點放在情境引入、定理的形成以及定理體系的建構等環節上，對于例題教學、課堂小結等在定理教學中的作用和地位重視程度不夠，認識研究不足，定理教學缺乏系統性，削弱了學生對定理本質的理解及其應用，因此，很有必要研究定理教學的規律。

一、例題教學是定理教學不可或缺的組成部分

1.對例題教學的認識及教學現狀

例題教學即設計例題，分析、解決例題的活動，它是定理教學的重要組成部分，它是把知識、技能和思想方法聯系起來的紐帶，它承擔著理解定理本質的作用，它還擔負著把知識轉化為能力的重要使命。

那么，在《平面向量基本定理（1）》的教學中，我們的教師正在進行怎樣的例題教學呢？

意圖是在用基底線性表示的基礎上，利用線性表示的唯一性求解參數，希望在完成一定數量題目的基礎上加深對定理的理解，體會其應用。

2.分析與反思

本節課是《平面向量基本定理》的第1課時，這節課的教學目標主要是探究定理的形成過程，體會并理解定理的內容，因此，例題的設計，要緊緊圍繞本節課的教學目標進行，在整個課堂教學過程中應為熟悉、鞏固定理內容，理解定理本質服務，在此基礎上，我們可以對上述各種情形進行反思。

（1）從上面的例題意圖分析來看，例1起到了鞏固理解定理的作用，例2及其拓展是在平面向量定理的基礎上進行向量的運算，屬于應用范疇，已經偏離了本節課的教學目標，說明許多教師對例題在定理教學中的定位和作用認識不足，缺乏對例題教學在定理體系建構中的作用的認識。

（2）在定理的實際教學中，許多教師認為只要通過一定量的例題引導和足夠的練習訓練，學生便自然能理解所學定理，因此，在定理教學中存在忽視定理的形成過程，而在以例題為載體的應用上“濃墨重彩”，李士錡教授在《熟能生巧嗎？》一文中指出，熟練并不一定能自然達到理解，片面強調機械記憶、模仿訓練及復雜技巧無益于定理本質和蘊含的思想的理解，反而增加了學習的負擔，而不理解的知識是難以記憶的，更說不上掌握和靈活應用了。

（3）例題教學中，變式教學可以幫助學生從不同角度加深對定理的理解，使其更加接近其本質，上面例1和例2的變式與例題并無本質的變化，只起到了熟化的作用，例1的變式不妨可以考慮在同一背景下，用不同的基底來表示同一個向量;例2為促進學生對共線向量的進一步理解，可以讓學生將公共起點換成B再證明一次。

3.有效重構

通過例題教學，鞏固理解定理，通過例題教學運用定理，這就是定理教學中例題的教學功能，結合教學實際，我們認為《平面向量基本定理（1）》的例題設計，重點應放在鞏固理解定理上，由教材中的例1來承擔;對于定理的應用，可以放在后面的課時，由教材中的例2及其適當的變式和拓展來承擔。

利用選定的基底，通過三角形法則和平行四邊形法則，可以表示平面內任一向量，這是向量運算的起點，雖然基本但很重要，學生需熟練掌握，這一過程體現了化歸與轉化的思想，前面案例中的例1就可以起到這個作用，它使定理具有可操作性，我們還可以通過變式，進一步挖掘例題的潛在價值。

意圖是使學生明確，同一平面圖形中的基底不是唯一的。

變式2：在上述平行四邊形中，若E是MD的中點，試分別用a，b和m，n表示AE。

意圖是使學生明確，同一平面圖形中的基底是可以選擇的，不同基底的選擇會影響到解題的繁簡程度，使學生認識到選擇基底的重要性，深入體會定理的作用。

兩個變式不但強化了用基底表示向量的技能，還大大提升了學生對定理的認識水平。

例題的設計，要結合時間、學情、內容等因素統籌考慮，關注題目的數量和質量，在我們所聽到的多節《平面向量基本定理》第1課時的公開課、評優課中，大家都能將定理的探究作為重點，因此，一般都只能完成到例1和它的一到兩個變式，至此，我們認為本節課的教學目的已基本達到。

例題教學是知識理解與能力提升的紐帶與載體，例題教學是課堂教學至關重要的一環，如何去除例題教學功能的純工具化定位，實現例題教學效果的最優化，需要我們不斷思考和總結。

二、課堂小結是課堂教學的“把關者”

1.對課堂小結的認識及教學現狀

課堂小結是數學課堂教學的重要環節，廣大教師在實際教學中，已將課堂小結常態化，說明教師已經認識到課堂小結在課堂教學中的地位和作用。

那么，在《平面向量基本定理（1）》的教學中，我們的教師正在進行怎樣的例題教學呢？

情形1：教師以提問的形式讓學生回顧并敘述平面向量基本定理的內容，并以板書的形式呈現定理中的關鍵點，比如“基底”“唯一表示”等，強化學生對所學知識的掌握。

情形2：教師對定理教學有進一步的體會，他們在讓學生回顧定理內容、強調關鍵點之后，引導學生結合例題來體會定理的本質，增加感悟的環節，為下面的應用打下基礎。

情形3：教師會在回顧、感悟定理內容的基礎上，組織學生提煉在情境引入、定理形成等環節所用到的數學思想方法以及定理本身所體現的思想方法，以定理教學為載體來感悟數學思想方法的應用。

2.分析與反思

上述情形下的課堂小結是否發揮出了應有的作用呢？從形式上來看，情形1的課堂小結只有單一數學知識的簡單羅列，較為關注課堂所學到的數學知識，重視本節課知識結構的建構，忽視引導學生對本節課所學內容進行理性的反思過程;情形2有感悟環節，但缺少方法論的提升和數學經驗的梳理總結，情形3仍缺少定理體系的建構，忽視引導學生關注本節課的內容在整個章節、整個模塊甚至是整個高中數學知識中的地位和價值。

3.有效重構

在反思教學現狀的基礎上，我們怎樣實施有效的課堂小結？這就需要我們明確課堂小結的內涵，從課堂小結的內容結構分析，課堂小結應由回顧和反思兩個部分組成，回顧環節，教師應引導學生對本節課的基礎知識、基本方法進行有效的梳理和總結，同時還要將問題研究過程中形成的基本經驗和本節課內容在整個章節或體系中的地位、價值進行提煉和概括，反思環節，教師應該在引導學生反思自己學會了什么和有何收獲的同時，也要反思哪些地方沒有學會，沒有學懂;還要反思有哪些需要進一步研究的問題。

作為一節課的課堂小結，是本節課學習過程的一個總結和回顧，同時也為下節課的學習或是后續的學習做好鋪墊，埋下伏筆，自然地引出以后需要進一步研究的問題，結合課堂小結結構內容的分析以及教學實踐，我們認為有效的課堂小結應為陳述性知識、程序性知識和經驗性知識的融合，其中，陳述性知識是關于“是什么”和“怎么樣”，是關于數學概念和數學原理的知識;程序性知識是關于“怎么做”，是關于數學方法和數學程序的知識;經驗性知識是關于“怎么想”，是在學習過程中涉及的數學思想方法、研究方法、數學學科蘊含的人文精神和科學精神等學習經驗和體驗的知識。

在此基礎上，我們給出《平面向量基本定理（1）》的課堂小結：

（1）敘述平面向量基本定理的內容，說說你對“基底”“有且只有一個”的認識;說說平面向量基本定理與向量的加法、減法以及向量共線定理的關系，（基本知識的回顧）

（2）平面向量基本定理的研究思路（過程）是怎樣的？用到了哪些思想方法？（研究方法和研究經驗的回顧）

研究思路（過程）：

①創設情境，引出問題

通過力與速度的分解引發思考：給定平面內任意的兩個非零向量，那么該平面內任一向量能否類似地進行分解？

②數學聯想，自主探究

以向量共線定理為起點，以向量加、減法和平行四邊形法則為依據探究形成定理，

③領悟內涵，構建定理體系

通過關鍵詞“不共線”“有且只有一對”以及λ1（或λ2）與0的關系，明確定理的本質與內涵，理解有關定理之問關系，形成數學定理體系。

④遷移應用，深化定理理解

通過例題，使學生認識到選定基底就可以表示平面內的任意一個向量，體會定理的作用，研究方法：類比、直觀感知、操作確認、歸納猜想、抽象概括等。

（3）反思環節

反思1：平面向量基本定理的本質是什么？

平面內，只要選定一個基底，那么這個平面內的任意一個向量都可以用這個基底來唯一表示。

反思2：還有哪些知識沒有學會，沒有學懂？

反思3：我們還將繼續研究什么問題？（教師和學生共同提出需要進一步研究的問題）

問題1：平面向量基本定理中的基底是否有選擇性？有無特殊性？

問題2：當平面內的向量都用同一個基底表示后，會有哪些用處呢？

課堂小結表面上看起來是再次幫助學生整理課堂學習過的知識與方法，而實質上是通過學科知識的建構，引導學生形成良好的數學認知結構。

綜上，我們將定理教學的考查點聚焦于例題教學和課堂小結，同時，為了更好地理解課堂教學的實施意圖，將教學目標的制訂也作為考查對象，結合自己的教學實踐進行思考，立足于定理的本質及其育人價值的教育進行反思與重構，努力建構具有實效性的定理課堂教學模式，最大限度地實現定理教學的教育價值。