基于模擬退火算法的壓電薄板振動抑制研究

鄒光浩， 郭 輝

(上海工程技術大學 機械與汽車工程學院， 上海 201620)

0 引 言

薄板在工程領域中有著廣泛的應用，人們對其使用過程中產生的振動加以利用，發明了振動壓路機、測試振動臺等。但薄板振動也會為生產生活帶來諸多問題，比如會縮短機械的使用壽命、產生噪聲、降低使用者舒適度等。因此，在薄板的實際工程應用中，要進行振動控制。減振方法通常分為主動控制與被動控制。壓電分流阻尼技術屬于被動控制方法中的一種，與主動控制相比，其控制系統較為簡單，易于實現。該技術通過壓電作動器把振動結構的機械能轉換為電能，通過分流電路中的電阻把電能消耗掉，從而減少系統的總能量，達到抑制結構振動的目的。壓電分流阻尼技術具有結構簡單，成本低和容易實現的特點，已經在工程實踐當中有一定的應用[1]。

分流阻尼電路的電阻、電感值以及壓電片的布置，對其抑振效果起到了重要作用。

(1)壓電片的布置位置直接影響其受到激勵后產生的電能大小;

(2)分流電路中電路參數的大小決定了機械能被轉化并消耗的能力。

針對參數優化，Hagood和Von Flotow[2]研究了電阻R以及電阻R和電感L串聯的兩種分支電路形式，推導出了參數優化公式并且建立了被控結構為單自由度系統時的數學模型；WU[3]在大量前人研究基礎上，延伸推導出了并聯RL電路的參數優化表達式，并且證明了并聯電路同樣可以控制結構產生的振動與噪聲；楊志春教授[4]對壓電分流阻尼技術的機電耦合系數進行了研究，找到了機電耦合系數對壓電分流阻尼系統減振效果的影響規律；毛崎波教授[5]利用四邊固支的薄板模型，對比了3種不同分流電路的減振效果，證明在達到最優參數時，3種分流電路都可以起到很好的減振效果。

在計算電路參數時，前人對于傳遞函數法與極點配置法的研究已經較為成熟。其中，傳遞函數法是建立單自由度彈簧等效系統及其位移傳遞函數。利用傳遞函數優化方法，降低傳遞函數幅值。極點配置法是建立機電耦合模型，由系統阻抗公式出發，并進行展開，從系統位移衰減入手，用極點與虛軸之間距離代表衰減量，以增大衰減量為目標。但利用這二種方法僅僅可以解決單一頻率處的振動問題，并不能對特定頻率范圍內的多個頻率處的振動進行控制。本文運用模擬退火算法對薄板結構的分流電路參數進行優化，對0-500 Hz內的結構振動幅值進行控制與分析。并與傳遞函數方法、極點配置方法的優化結果進行對比，體現了此方法對于多點振動控制的有效性。

1 動力學基本方程

1.1 薄板單元分析

本文研究對象是外形規則的矩形薄板，因而在有限元建模時宜選用矩形單元。為了較好地反映真實的變形情況，在相鄰單元在公共節點處除了應有相同的撓度之外，還應有沿x及y向斜率(傾角)的連續性。因此，在任意節點處有3個節點位移分量：撓度、法線繞x軸及y軸的轉角[5]，如圖1所示。

圖1 單元薄板自由度示意圖

一個單元薄板對應12個自由度，每個節點處對應各自的撓度與轉角，所以單元位移可假設成包含12個常數的多項式，通過求解可將撓度利用節點位移表示[6-7]：

w=[N]{η}.

(1)

其中：

[N]=[N1,Nx1,Ny1,N2,Nx2,Ny2,N3,Nx3,Ny3,N4,Nx4,Ny4],

{η}={w1,θx1,θy1;w2,θx2,θy2;w3,θx3,θy3;w4,θx4,θy4}T.

薄板中面內的點在Z方向位移W，稱為撓度。當撓度小于或者等于薄板厚度的五分之一時，可利用基爾霍夫假設，即：

(2)

1.2 壓電薄板分析

壓電元件在建模的過程中作如下假設：忽略壓電元件的轉動慣量；壓電元件的尺寸遠小于薄板的相應尺寸；薄板的水平方向變形與垂直方向變形相比忽略不計。

對于線性壓電材料，根據自變量的不同，一共有4類壓電方程?，F根據第2類壓電方程，取壓電層的極化方向為z向，并在z方向施加外加電場，則壓電體的本(結)構方程可簡化為[8-9]：

(3)

其中，Dz、Ez分別為Z向電位移及Z向外加電場強度；[CE]、[e]、{ε}分別為壓電材料的彈性常數矩陣、壓電常數矩陣和壓電層厚度方向的介電常數；{σ}、{ε}分別為應力和應變向量。

2 動力學微分方程

設Vp是PZT板的單元體積；Vb是薄板單元體積；ρp是PZT板密度；ρb是薄板密度；hp是PZT板厚；Ve是PZT板上產生的電壓。單元動能(僅考慮結構在z方向上的動能)由薄板動能與PZT板的動能組成：

(4)

(5)

單元勢能由薄板應變能、PZT薄板應變能以及PZT薄板電勢能組成：

(6)

(7)

(8)

薄板受到單位力p,如圖2所示，與薄板法線方向成θ，外力作用下薄板單位面積受力f=pcosθ。則外力做功：

WF=?AwfdA.

(9)

圖2 薄板受力示意圖

根據Hamiton原理，薄板壓電片單元系統的有限元方程為：

(10)

將以上式子帶入后得：

?A[N]{η}fdA]dt=0.

(11)

將上式對{η}進行變分運算，再由δ{η}得任意性，可推得單元在僅受外加平面載荷時的方程：

(12)

其中，

[F]=?A[N]fdA.

再將阻尼項加入：

(13)

綜合上述得：

(14)

假設電位移沿著壓電元件表面均勻分布，得到[9]：

(15)

選取RL串聯分流電路，其阻抗表示為Z=R+Ls，并將上式入(14)，得到針對第n階模態控制時的方程式為：

ηn(s)=F.

(16)

式中，mb、mp分別為薄板與壓電片的模態質量；kb、kp分別為薄板與壓電片的模態剛度；c為模態阻尼。由式(16)可推導出函數G(s)，代表系統的被動阻尼特性，在力F的作用下，得到的系統某點處位移η(s)。G越小則表明系統的輸出位移越小，過程中消耗的能量越多，系統位移響應振幅衰減越快，減振效果更好。因此對分流電路的阻尼參數進行優化，進而達到更好的減振的目的。

(17)

3 分流電路的參數優化

通過對電路參數的優化，從而使壓電分流阻尼電路轉化更多的熱能。對于不同的優化目標可將優化方法分為：傳遞函數法與極點配置法。本文將運用模擬退火算法，對分流電路的參數進行優化。通過仿真實驗驗證其有效性，并將其與傳遞函數優化方法、極點配置優化方法設計的分流電路的應用效果進行對比[10-11]。

3.1 建立優化模型

在垂直于薄板平面的方向上施加力F，在對角點處得到輸出位移，如圖3所示，通過式(18)得到輸出點處垂直位移與外力F之間的傳遞函數?？紤]壓電分流電路對整體結構的影響，建立線性規范模型并以A(R,L)表示，以傳遞函數最小值作為目標函數，求得相對應的最優電阻值Ropt與最優電感值Lopt，即：

(18)

(19)

約束條件為：R>0，L>0。

圖3 壓電薄板結構示意圖

3.2 運用算法對函數進行優化

模擬退火算法的思想源于固體退火過程。將固體加熱至足夠高的溫度，再等其緩慢冷卻，同時內能趨于最小。其中，緩慢冷卻即隨機解，內能大小即為目標函數，將隨機解不斷進行擾動，并以一定概率接受解，使目標函數值不斷優化，最終趨于最優。模擬退火算法步驟描述如下[12]：

步驟1設S為初始狀態，初始溫度T0=90 ℃，終止溫度T1=89 ℃，降溫速率q=0.98。

步驟2產生新解S’。

步驟3按照一定方式進行降溫，計算溫差Δt。

步驟4利用Metropolis準則進行判斷：計算S的增量df=f(S)一f(S’)，若df<0，則將S’視為新的當前解；否則按照S的接受概率exp(-df/Δt)接受S。

步驟5直到退火溫度小于設定溫度時，輸出結果，停止計算。

步驟6利用降溫速率q=0.98進行降溫，即T=0.98*T0。然后跳回到步驟2，直到T小于終止溫度。

其主要實現流程如圖4[13]所示：

圖4 模擬退火算法流程圖

3.3 數值算例

3.3.1 模擬退火算法對分流電路參數優化

本文被控對象是壓電—薄板結構，薄板大小為400×400×2 mm3，材料為鋁。仿真利用Comsol Multiphysics對其整個結構進行特征頻率分析，得到前四階模態陣型如圖5所示。

(a) 55.815 Hz (b)113.96 Hz

(c) 113.97 Hz (d) 168.25 Hz

由前四階模態分析可知，振幅最大的位置處于薄板中心，所以將壓電片粘貼在薄板正中心，并與阻抗大小為Z的RL串聯分流電路相連接如圖3所示，壓電片規格為50×50×1 mm3。

在薄板的左下角施加固定激勵，方向垂直于薄板平面，令F的對角點作為輸出點，輸出垂直于薄板方向的位移。利用輸入與輸出位移，得到薄板的位移傳遞函數。接下來利用模擬退火算法對函數進行優化。在規定的退火時間內，通過輸入不同電阻、電感值可以得到各自對應不同的傳遞函數。施加相同的激勵，對輸出的不同結果進行比較，這里以10-500 Hz范圍內輸出振幅的期望值進行比較，選擇期望值最小時的結果為最優值,如圖6所示。運用模擬退火算法獲得最優電感為：9.5 H，最優電阻為3 065 Ω。

圖6 不同R與L條件下，振幅在不同頻率下的期望值

為了驗證參數優化方法的效果，利用3.2節推導的壓電—薄板結構進行數值仿真計算，部分參數見表1。

表1 壓電片(p)與薄板(b)相關參數

圖7是壓電—薄板結構在無外接分流電路情況下，與帶有優化后的分流電路情況下輸出點振動位移變化曲線。由圖7可知，在10-500 Hz的低頻范圍內，當添加分流電路時，輸出點處的薄板振動位移小于無分流電路時。具體來看，在振動位移的峰值頻率451 Hz處該點的幅值降低了1倍。由此說明，模擬退火算法優化后的壓電分流阻尼系統，可以在中低頻段內有效的降低薄板上的振動幅值。即表明在中低頻段內，通過壓電分流阻尼技術抑制了薄板的振動。

圖7 薄板上指定點振動幅值曲線對比

3.3.2 不同參數計算方法的減振效果對比分析

對分流電路參數的選擇及優化，可以使分流阻尼電路達到最佳的振動抑制效果。對于不同的優化目標可以將其優化方法分為：使系統傳遞函數最小化和使衰減系數最大化。前者是傳遞函數優化方法，后者屬于極點配置方法。WU[3]、Park[14]等人對RL串聯、并聯以及RL-C并聯的電路參數進行優化；柳[15]等人對串聯、并聯分流電路參數進行了計算并驗證了其減振效果。運用不同的方法對其進行優化，會產生不同程度的減振效果。因此，對模擬退火算法、傳遞函數法、極點配置法等，對整體結構的抑振效果進行對比。

利用傳遞函數法得到，RL串聯電路的優化參數公式：

(20)

(21)

利用極點配置法得到，RL串聯分流電路優化參數公式：

(22)

(23)

由于前四階固有頻率相隔較寬，針對其中一階固有頻率進行控制時，可以將其看成一個單自由度系統。將壓電片依舊粘貼于薄板中心位置，壓電片的固有電容Cp=240 nF。在計算機電耦合系數k時，一般的壓電振子具有損耗，在壓電振子諧振時，會產生最小阻抗頻率fm、最大阻抗頻率fn、諧振頻率fr、反諧振頻率fa、串聯諧振頻率fs、并聯諧振頻率fp6個不同頻率。在進行一級近似之后得到：

fs=fm=fr，fp=fn=fa.

(24)

表2 不同優化方法下分流電路參數

利用Comsol Multiphysics對其結構進行仿真實驗分析。由圖8可知，3種優化方法得到的振幅曲線，振動趨勢基本相同，只是在146 Hz、190 Hz、217 Hz、386 Hz、451 Hz、490 Hz處振幅值略有不同。分析如下：如圖9所示，在451 Hz處，前兩種優化方法振動幅值相差7 mm，與圖7無分流電路的振幅相比，振幅減少約30%。利用模擬退火算法優化后的振幅相比傳遞函數法與極點配置法分別減少了16.3%和10.6%，減振效果更明顯。如圖10所示，在146 Hz處，運用傳遞函數法比極點配置法振幅要低0.6 mm。運用算法優化后，相比較前兩種優化方法，振幅分別降低了10.1%、11.7%。3種優化方法相比，運用模擬退火算法優化后的分流阻尼電路，其減振能力更佳。如圖11所示，在190 Hz處，運用極點配置法比傳遞函數法振幅低0.4 mm，與模擬退火算法優化后相比，振幅分別高出11.3%、26.08%。

綜上所述，通過對薄板振動幅值數據的分析可以說明：模擬退火算法對于分流電路參數優化的有效性與合理性，并且通過此方法優化后的分流阻尼電路，對振動的控制效果更佳。

圖8 同一模型3種優化方法振幅對比

圖9 3種優化方法在451 Hz處振幅對比

圖11 3種優化方法在190 Hz處振幅對比

4 結束語

本文建立了帶有壓電分流阻尼電路的壓電—薄板結構的動力學基本方程，推導出位移傳遞函數并建立相應的目標函數及優化模型。利用模擬退火算法對電阻、電感值進行選擇，得到振幅最小的結果，從而獲得最優電感值與電阻值。通過有、無分流電路的仿真實驗，驗證了模擬退火算法的有效性。最后將模擬退火算法與傳遞函數法、極點配置法3種方法的減振效果進行對比。結果顯示，運用3種方法均可有效降低振幅，從而驗證了模擬退火算法對于分流電路參數優化的可靠性。