不同結構的超混沌系統的自適應滑模同步

2020-03-18 02:38:08蔡茂國

智能計算機與應用 2020年9期

陳寧，蔡茂國

(深圳大學電子與信息工程學院，廣東深圳 518060)

0 引言

自從1990年Pecore和Carroll提出并實現混沌同步以來，混沌通信在世界范圍內得到廣泛的研究[1]。混沌系統以非線性動力系統所特有的一種運動形式，對初始條件極其敏感，使得混沌通信難以捕捉，而成為研究的熱門。與低維混沌系統相比，超混沌系統具有更高的維數，以及更加復雜的非線性動力學行為，使得保密性更高[2]。

目前，關于混沌同步的研究取得了一些研究成果，實現了具有參數不確定性、外部干擾以及非線性控制輸入的混沌系統的完全同步[3]。但是現有的研究成果大多是在混沌系統的不確定性和外部干擾的上界已知情況下實現的同步。在實際工程應用中，上界值一般是很難或根本無法測量的[4]。針對帶未知上界的不確定性和外界擾動的超混沌系統同步問題，提出一種新的主動自適應滑模器和參數更新規則，將系統中的未知參數估計至上界，利用連續函數來替代控制律中的非連續符號，消除滑模控制器的抖動問題，在控制器下實現混沌同步[5]。本文對任意不同的超混沌系統，是否可以實現同步進行研究，針對這種同步問題，設計兩個新型的四維超混沌系統，模擬外界擾動情況，利用自適應滑模同步方法，設計合適的控制器，設計simlink模塊仿真，實現超混沌同步的研究。

1 新的四維超混沌系統

1.1 基于Lorenz系統的超混沌系統

超混沌系統相比低維的系統，具有更加復雜的非線性動力學特征，系統保密性更高，在新三位自治混沌系統基礎上，通過引入非線性控制器，可以構造一個可產生超混沌現象的四維系統。已知現有的Lorenz系統為式(1)：

(1)

(2)

其中，(x1、x2、x3、x4)∈R4為狀態變量。選取參數a=35,b=7,c=12,d=3,r=0.5，非線性學動力學系統成為新型四維系統。

研究新型系統是否是超混沌系統。取系統(2)為驅動系統，再取系統(3)為響應系統

(3)

式中,u1、u2、u3、u4為非線性控制項。設系統的誤差定義為式(4)：

e=(e1,e2,e3,e4)=(y1-x1,y2-x2,y3-x3,y4-x4).

(4)

由方程(2)和方程(3)，可得系統的誤差系統，誤差系統可表示為式(5)：

(5)

為了使系統(2)與系統(3)同步，設計一個非線性控制器為式(6)：

(6)

系統在非線性控制器的控制下，使得系統誤差漸近為原點，使得驅動系統和響應系統達到同步。

V沿時間t求導數為式(7)：

(7)

將式(5)和(6)帶入方程(7)中

采用四階龍塔-庫塔法，用MATLAB數值模擬驅動系統和響應系統的同步過程。數值仿真中，驅動方程初試值(e1(0),e2(0),e3(0),e4(0))=(1,1,2,0)，得到的驅動系統與響應系統的誤差同步曲線如圖1所示。

在Matlab數值仿真下，從圖(1)誤差系數e1,e2,e3,e4都趨向于原點，說明在非線性控制器的控制下，驅動系統和響應系統實現了同步，說明該新的四維系統是超混沌系統。

1.2 基于chen系統的超混沌系統

已知現有的Chen系統為式(8)：

(8)

(9)

其中，(x1、x2、x3、x4)∈R4為狀態變量。選取相同的參數a=35,b=7,c=12,d=3,r=0.5，研究新的四維系統是否處于超混沌狀態。設系統(8)為驅動系統，再取系統(10)為響應系統：

(10)

式中，uii=1,2,3,4 為非線性控制項。定義系統誤差為式(11):

(11)

圖1 驅動系統和響應系統誤差同步曲線

則誤差系統可表示為式(12)：

(12)

為了使系統(9)與系統(10)同步，根據上述系統同步化的定義，設計了一個非線性控制器為式(13)：

(13)

V沿時間t的求導數為式(14)：

(14)

將式(12)和式(13)帶入方程(14)中：

采用四階龍塔-庫塔法，用MATLAB數值模擬驅動系統和響應系統的同步過程。數值仿真中，驅動方程初始值(e1(0),e2(0),e3(0),e4(0))=(0,3,1,2)，得到的驅動系統與響應系統的誤差同步曲線如圖2所示。

從誤差曲線可以得出，新設計的四維系統是能夠實現同步的超混沌系統，針對兩種不同結構的超混沌，研究其同步情況，本文采用自適應滑模同步進行研究。

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2 同步控制

2.1 自適應滑模同步

不同的超混沌系統，其運動軌跡不同，在不加外部干預的條件下，很難同步，設置合適的滑模面，使得系統運動軌跡在滑模面上趨近，但系統在通信過程中會有外部干擾，在構造滑模面時需要考慮其中，本文采用自適應滑模同步方式，設計合適的控制器，研究兩個混沌的同步。

考慮如下n維混沌系統，式(15)和式(16)：

(15)

(16)

式中，x,y∈Rn是系統的n維狀態向量；A1,A2∈Rn×n表示系統的線性部分；f1(x),f2(x)∈Rn表示系統的非線性部分；u(t)是控制輸入；δ1(t),δ2(t)∈Rn表示系統的外部干擾向量。

定義如下誤差系統，式(17)：

e=y-x.

(17)

將式(15)、式(16)代入式(17)，可得誤差系統為式(18)：

圖2 超混沌Chen系統的驅動系統和響應系統

(18)

通過設計加在響應系統上的控制器，使得驅動系統和響應系統達到同步，也就是要滿足如下條件：

本文‖·‖表示Euclidean范數。

2.2 同步控制器的設計

根據主動控制的思想，可以如下設計控制器，式(19)：

u(t)=G(t)-F(x,y).

(19)

根據滑模控制律設計思想得式(20)

G(t)=Kv(t).

(20)

式中，K=[K1,K2,K3,K4]T是一個確定的增益向量。

設系統的滑模面為式(21)：

s=Ce.

(21)

當系統在滑模面上運動時，系統誤差應該滿足：s=Ce=0.

為了使狀態軌跡到達滑模面上，需要對運動點進行趨近，這里采用的是指數趨近律，運動點在向切換面運動速度大，但在接近切換面時，其速度漸近趨于零。

(22)

根據上式計算可以得到：

δ1(t)+Kv(t)],

v(t)=-(CK)-1[CA2e+Cδ2(t)-

Cδ1(t)+·tanh(s)+rs].

則可以得到u(t)公式(23)：

u(t)=G(t)-F(x,y)=-C-1[CA2e+Cδ2(t)-Cδ1(t)+·tanh(s)+rs]-[f2(y)-f1(x)-(A1-A2)x].

(23)

3 分析討論

本文針對設計的新四維超混沌系統，判斷是否能夠實現同步，兩個新四維超混沌系統選取相同的參數a=35，b=7，c=12，d=3，r=0.5。

假設不確定部分：

外部干擾：

其中，k1、k2、k3、k4、w1、w2、w3、w4∈R,

則驅動系統為式(24)

(24)

響應系統式(25)：

(25)

同步誤差系統為式(26)：

(26)

假設驅動系統的初始值為(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0))=(1,2,-1,2),響應系統的初始值為(y1(0),y2(0),y3(0),y4(0))=(-2,5,-1,2)。根據已知設計的系統參數設計simlink模塊進行仿真，圖3是滑模控制器的輸出，圖4～圖7是在控制器作用下，系統誤差的輸出。