點腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)隨機失效概率模型研究

(西安建筑科技大學(xué)管理學(xué)院，陜西 西安 710055)

1 前言

碳素鋼管是油氣輸送的主要工具，管道破損不僅影響油氣正常輸送，還會帶來環(huán)境污染等問題[1，2]。根據(jù)管道事故統(tǒng)計可知，腐蝕是造成碳素鋼管結(jié)構(gòu)失效的主要因素之一，它嚴(yán)重影響了鋼管的使用壽命[3，4]。因此，合理預(yù)測腐蝕鋼管的失效概率，為碳素鋼管系統(tǒng)提供最優(yōu)的維修策略，對保障碳素鋼管系統(tǒng)的安全運行具有深遠(yuǎn)的經(jīng)濟和社會效益。

碳素鋼管腐蝕損傷主要指由均勻腐蝕、局部腐蝕(點腐蝕)和腐蝕疲勞引起的管道壁變薄和開裂，從而對系統(tǒng)的安全運行造成影響[5，6]。對于發(fā)生均勻腐蝕的碳素鋼管，面對鋼管表面相同的腐蝕損耗厚度，只需要依據(jù)鋼管的剩余壁厚就可以評估其剩余強度[7]。由于點腐蝕碳素鋼管的不同腐蝕位置厚度減少不同，其剩余強度的求解相對較難，目前尚未針對鋼管點腐蝕損傷問題形成工程適用的可靠的評定方法。傳統(tǒng)的做法是通過等截面損失將點腐蝕等效為均勻腐蝕，該方法評價結(jié)果偏于保守[8-10]。因此，針對碳素鋼管系統(tǒng)中普遍存在的點腐蝕威脅，對點腐蝕碳素鋼管的隨機失效概率計算方法進行研究是非常必要和迫切的。

本文根據(jù)結(jié)構(gòu)可靠性原理，在合理計算點腐蝕碳素鋼管剩余強度的基礎(chǔ)上，基于首次穿越概率理論，構(gòu)建點腐蝕損傷碳素鋼管隨時間變化的隨機失效概率模型，研究了不同因素對預(yù)測的安全運行時間影響，為管理者開展腐蝕防護工作提供依據(jù)。

2 點腐蝕碳素鋼管剩余強度隨機模型

2.1 腐蝕點剩余強度

碳素鋼管局部腐蝕缺陷會造成鋼管薄膜應(yīng)力集中現(xiàn)象，集中應(yīng)力達(dá)到管材強度極值時鋼管結(jié)構(gòu)將會失效[11]。由文獻[12]可知，當(dāng)前國內(nèi)外腐蝕管道剩余強度評價主流標(biāo)準(zhǔn)有ASME B31G 和SY/T6151，而采用SY/T6151 預(yù)測的剩余強度比ASME B31G 更保守，所以采用標(biāo)準(zhǔn)ASME B31G 對局部腐蝕鋼管的剩余強度Q進行計算更適用，剩余強度Q求解公式如式(1)～(3):

其中，D為鋼管外徑，mm；b為鋼管壁厚，mm；h為局部腐蝕的深度，mm；L為局部腐蝕缺陷的長度，mm；σf為管材流變應(yīng)力，MPa；σs為管材最小屈服強度，MPa；mf為流變系數(shù)，一般取值1.1；M為膨脹系數(shù)。

雖然上述公式給出了局部腐蝕碳素管道剩余強度的計算方法，但是根據(jù)碳素鋼管點腐蝕缺陷軸向剖面示意圖(圖1)所示，在忽略相鄰蝕坑間完整厚度材料強度的條件下，采用上述公式直接計算點腐蝕碳素鋼管的剩余強度，其結(jié)果偏于保守[13]。

圖1 碳素鋼管點腐蝕缺陷軸向剖面Fig.1 Axial profile of pitting corrosion defects on carbon steel pipe

在文獻[13]中，通過引入一項強度補償量(腐蝕層厚度完整材料強度的一半)來彌補上述公式的計算缺陷，所以點腐蝕碳素鋼管的實際剩余強度估算公式如式(4):

點腐蝕碳素鋼管的剩余強度隨腐蝕點的增長而降低，若已知鋼管的點腐蝕增長率，可對碳素鋼管t時刻的剩余強度進行預(yù)測，假設(shè)點腐蝕的腐蝕增長率符合線性模型，具體表示如式(5)和式(6)[4]:

其中，h0和L0分別表示局部腐蝕點初始的深度和長度，v1和v2分別表示局部腐蝕點深度和長度方向的腐蝕速率。

綜上所述，點腐蝕碳素鋼管的剩余強度表達(dá)式如式(7):

2.2 隨機過程模型

碳素鋼管系統(tǒng)運行過程中，點腐蝕鋼管的剩余強度發(fā)生隨機變化，根據(jù)點腐蝕相關(guān)的基本變量可構(gòu)建碳素鋼管剩余強度隨機變化過程模型，所以公式(7)可以表示為式(8)[14，15]:

其中:h0，L0，σs，v1，v2，b，D為基本隨機變量，在已知各變量概率分布條件下，結(jié)合蒙特卡洛(Monte-Carlo)模擬分析可以獲取Q(t)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。

通過引入隨機變量ω來描述Q(t)的隨機變化過程，ω的均值具有統(tǒng)一性(E(ω)=1)，其變化系數(shù)λ是一個常量(λ=0.15～0.25)，所以公式(8)中的隨機過程模型可表示如式(9):

其中:Q1(t)是公式(7)中的純時間函數(shù)。由公式(9)可求出Q(t)的均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)如式(10)和式(11)所示[16]:

其中:ρ1是Q(t)在ti和tj時刻的相關(guān)系數(shù)。

3 點腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)隨機失效概率模型

3.1 結(jié)構(gòu)可靠性原理

針對點腐蝕碳素鋼管進行結(jié)構(gòu)可靠性分析，首先要建立鋼管結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)，表示如式(12)[17]:

其中:G稱為安全裕度，xi(i=1，2，…，n)為處于極限狀態(tài)的變量。

若安全裕度僅與鋼管結(jié)構(gòu)承載能力Q和荷載效應(yīng)P兩個隨機變量有關(guān)，則公式(12)可表示為式(13):

其中:當(dāng)G＞1 時，管道結(jié)構(gòu)可靠；當(dāng)G=1 時，管道結(jié)構(gòu)處于臨界狀態(tài)；當(dāng)0＜G＜1 時，管道結(jié)構(gòu)失效。在點腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)中，系統(tǒng)在t時刻的狀態(tài)可用故障函數(shù)如式(14):

其中:Q(t)是點腐蝕碳素鋼管在t時刻的剩余強度，P0是系統(tǒng)正常運行的操作壓力。在鋼管結(jié)構(gòu)可靠性問題中，通常采用失效概率Pf衡量鋼管結(jié)構(gòu)的安全性，表示如式(15):

其中:P是事情發(fā)生的概率。

碳素鋼管系統(tǒng)在點腐蝕影響下的失效概率Pf(t)大于系統(tǒng)的故障概率閾值Pa時，系統(tǒng)安全運行存在風(fēng)險，具體表示如式(16):

其中:TL是特定評估準(zhǔn)則下點腐蝕碳素鋼管的使用壽命。

3.2 首次穿越概率理論

公式(15)是標(biāo)準(zhǔn)不等式，可以用時變可靠性方法對其中隨機變量進行分析求解。在點腐蝕碳素鋼管剩余強度Q(t)隨機變化過程中，鋼管結(jié)構(gòu)的可靠性大小與系統(tǒng)的運行時間緊密相關(guān)，由結(jié)構(gòu)可靠性理論中的首次穿越概率可知，在特定的時間段內(nèi)Q(t)初次小于系統(tǒng)操作壓力P0的概率就是系統(tǒng)的失效概率P(t)，具體表示如式(17)[18]:

其中，Pf(0)是系統(tǒng)初始時刻的失效概率，v是Q(t)不斷降低的平均速率。由于v在很多實際問題中取值較小，所以公式(17)可以表示如式(18):

根據(jù)賴斯準(zhǔn)則可以對v進行求解，具體如式(19)[19]:

其中:v0是Q(t)逐漸小于P0的上通速率，分別是時間t時P0和Q(t)的導(dǎo)數(shù)，是Z 和的聯(lián)合概率密度函數(shù)。由文獻[19]可知，v0可以表示如式(20):

其中:μ和σ是關(guān)于Q和的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，φ和Φ是關(guān)于Q和的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。由隨機過程理論可知，公式(20)中的變量根據(jù)函數(shù)μQ(t)和CQQ(ti，tj)的取值可按式(21a)和式(21b)求解[20]:

其中，Q和的互協(xié)方差函數(shù)如式(21f):

由隨機過程理論可知，通過對式(10)和式(11)進行求解，式(21a)～式(21f)可以得到解答。

3.3 系統(tǒng)隨機失效概率模型

依據(jù)系統(tǒng)可靠性分析理論，結(jié)合公式(14)可求出點腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)的失效概率。在點腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)中各腐蝕點是一個串聯(lián)系統(tǒng)，該系統(tǒng)中任一單元出現(xiàn)故障都會導(dǎo)致整個系統(tǒng)失效，所以在時刻t時系統(tǒng)的失效概率Pf，s(t)表示如式(22)[21]:

其中，Pf，i(t)是系統(tǒng)中第i個腐蝕點t時刻引起的失效概率，結(jié)合公式(15)求解；n是腐蝕點個數(shù)。

4 結(jié)果與討論

4.1 研究對象

本研究以某原油輸送管道為對象，對所構(gòu)建隨機失效模型進行實例驗證。該管道工程于1997 年完成，管道全長3 km，鋼材等級為X52，管材最小屈服強度σs為359 MPa，鋼管外徑D為355 mm，鋼管壁厚b為11.9 mm，系統(tǒng)正常運行的操作壓力P0為10 MPa。通過對一段碳素鋼管觀察共發(fā)現(xiàn)3 處腐蝕點，各腐蝕點在深度方向的平均腐蝕速率v1為0.12 mm/a，在長度方向的平均腐蝕速率v2為4.5 mm/a，各腐蝕點的初始尺寸如表1 所示。

表1 各腐蝕點初始尺寸Table 1 Initial dimensions of corrosion points

4.2 構(gòu)建模型的驗證分析

結(jié)合文中構(gòu)建的隨機失效概率模型，可求出系統(tǒng)的隨機失效概率變化曲線，該曲線與公式(15)通過蒙特卡洛模擬方法求解的系統(tǒng)失效概率曲線對比結(jié)果如圖2 所示，兩種方法求解的系統(tǒng)失效概率曲線變化相似。當(dāng)系統(tǒng)運行到20 和25 a 時，基于上文構(gòu)建的時變可靠性分析方法求取的系統(tǒng)失效概率分別為0.06 和0.56，基于蒙特卡洛仿模擬方法求解的系統(tǒng)失效概率分別為0.18 和0.99，系統(tǒng)在低故障率下采用兩種方法求解的失效概率相差較小，可見系統(tǒng)的故障率越低，采用文中構(gòu)建的模型對點腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)隨機失效概率進行預(yù)測，其結(jié)果可靠性越高。

圖2 不同方法下的系統(tǒng)失效概率曲線Fig.2 System failure probability curves calculated by different methods

4.3 不同因素對系統(tǒng)失效概率的影響

(1)不同的時間點相關(guān)系數(shù)對系統(tǒng)失效概率的影響

結(jié)合公式(22)，通過以上數(shù)據(jù)可求出不同相關(guān)系數(shù)ρ1下的點腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)隨機失效概率，具體的求解結(jié)果如圖3 所示，不同時間點相關(guān)系數(shù)的系統(tǒng)失效概率曲線變化相似。當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.1 時，不同的時間點相關(guān)系數(shù)ρ1下的運行時間分別為17.5，21和23.5 a；當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.6 時，不同的時間點相關(guān)系數(shù)ρ1下的運行時間分別為23.5，25.5和27.5 a。在系統(tǒng)失效概率確定時，不同時間點相關(guān)系數(shù)下的運行年限相差不大，所以在點腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)失效的研究中，可以忽略不同時間點的相關(guān)性大小對系統(tǒng)失效概率的影響，由隨機過程理論可知，該方法保守估計了點腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)的失效概率，提前預(yù)防管道安全事故的發(fā)生。

圖3 不同的時間點相關(guān)系數(shù)ρ1對系統(tǒng)失效概率影響Fig.3 Effect of different time-point correlation coefficient (ρ1) on system failure probability

(2)不同的操作壓力對系統(tǒng)失效概率的影響

結(jié)合公式(22)，通過以上數(shù)據(jù)可求出不同操作壓力P0下的點腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)隨機失效概率，具體的求解結(jié)果如圖4 所示，不同操作壓力下系統(tǒng)失效概率曲線變化明顯不同。當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.1 時，不同的系統(tǒng)操作壓力P0下的運行時間分別為16，21 和28 a；當(dāng)系統(tǒng)的失效概率為0.7 時，不同的系統(tǒng)操作壓力P0下可允許的最大運行時間分別為18，27 和38 a。在系統(tǒng)失效概率確定時，不同操作壓力下的安全運行年限相差較大，隨著系統(tǒng)運行年限的增長，年限差距的大小也在增加，可見系統(tǒng)操作壓力的變化對點腐蝕碳素鋼管的安全壽命有明顯影響。當(dāng)已知特定失效概率下的系統(tǒng)運行時間時，可以幫助管理者在系統(tǒng)可接受的操作壓力下明確碳素鋼管實施維修的時間。

(3)不同的腐蝕速率對系統(tǒng)失效概率的影響

圖4 不同的操作壓力P0對系統(tǒng)失效概率影響Fig.4 Effect of different operating pressure (P0) on system failure probability

結(jié)合公式(22)，通過以上數(shù)據(jù)求取的不同點腐蝕速率條件下的系統(tǒng)失效概率變化曲線如圖5 所示，不同腐蝕速率的系統(tǒng)失效概率曲線變化明顯不同。當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.1 時，不同腐蝕速率下的系統(tǒng)運行時間分別為11，21 和40 a；當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.6 時，不同腐蝕速率下的系統(tǒng)運行時間分別為13，25.5 和70 a。當(dāng)系統(tǒng)的可接受失效概率確定時，腐蝕速率對系統(tǒng)的安全運行年限影響較大；系統(tǒng)可允許的失效概率越大，不同的腐蝕速率造成的安全運行時間差距越明顯。結(jié)合研究對象的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，求出系統(tǒng)失效概率為0.1 時的安全運行時間TL為21 年，若資產(chǎn)管理者在21 年中沒有對鋼管進行過維修和更換，TL代表特定評估準(zhǔn)則下點腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)首次出現(xiàn)故障的時間，它有助于資產(chǎn)管理者制定合理的維修策略，由此可見，準(zhǔn)確地測量點腐蝕的腐蝕速率有助于提高碳素鋼管系統(tǒng)的可靠性預(yù)測。

圖5 不同的腐蝕速率(v1和v2)對系統(tǒng)失效概率影響Fig.5 Effect of different corrosion rates (v1and v2) on system failure probability

(4)不同的鋼管尺寸對系統(tǒng)失效概率的影響

結(jié)合公式(22)，通過以上數(shù)據(jù)求取的不同鋼管尺寸條件下系統(tǒng)的失效概率變化曲線如圖6 所示。當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.1 時，不同鋼管尺寸下的運行時間分別為14，21 和24 a。當(dāng)系統(tǒng)的失效概率確定時，依據(jù)圖6 中的鋼管尺寸變化引起的安全運行時間差距大小可知，鋼管尺寸的變小相對會加快系統(tǒng)失效的進程。隨著鋼管尺寸的變大，點腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)的安全運行時間也在增加，由此可見，在系統(tǒng)其他參數(shù)不變的條件下，大直徑鋼管的管道壁越厚，系統(tǒng)出現(xiàn)故障的概率越低。

圖6 不同的鋼管尺寸(D 和b)對系統(tǒng)失效概率影響Fig.6 Effect of different steel pipe sizes (D and b) on system failure probability

(5)不同的管材屈服強度對系統(tǒng)失效概率的影響

圖7 不同的管材屈服強度(σs)對系統(tǒng)失效概率影響Fig.7 Effect of different pipe yield strength (σs) on system failure probability

結(jié)合公式(22)，通過以上數(shù)據(jù)求取的不同管材屈服強度條件下系統(tǒng)的失效概率變化曲線如圖7 所示，不同管材屈服強度下系統(tǒng)失效概率曲線變化相似。當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.1 時，不同的管材屈服強度下的運行時間分別為18，21 和23 a；當(dāng)系統(tǒng)可允許的最大失效概率為0.8 時，不同管材屈服強度下的運行時間分別為23.5，28 和33.5 a。由圖7 可見，系統(tǒng)在特定失效概率下不同屈服強度條件下的安全運行時間的差值，伴隨失效概率的增大而變大。系統(tǒng)可允許的失效概率越低，失效概率變化曲線相似度越高，這說明低風(fēng)險條件下，管材屈服強度對點腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)的失效概率影響較小。

5 結(jié)論

針對點腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)失效評估問題，運用時變可靠性分析方法，結(jié)合首次穿越概率理論，在線性腐蝕速率模型的基礎(chǔ)上，通過引入隨機變量建立了點腐蝕碳素鋼管系統(tǒng)隨機失效概率模型。借助蒙特卡洛仿真方法驗證了所構(gòu)建模型的可行性，管理者依據(jù)模型可求出系統(tǒng)隨時間變化的失效概率，為制定合理的管道維修策略提供指導(dǎo)。

運用文中構(gòu)建的模型對影響系統(tǒng)故障概率的相關(guān)參數(shù)進行研究發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)操作壓力和點腐蝕速率是影響碳素鋼管系統(tǒng)失效的關(guān)鍵因素，相比可以忽略時間點相關(guān)系數(shù)和管材屈服強度兩者在系統(tǒng)低故障率下對失效概率的影響，同時證實了點腐蝕影響下的大直徑鋼管管壁越厚，破壞其結(jié)構(gòu)完整性需要的時間越長。