基于顯式算法的RC框架結(jié)構(gòu)抗地震倒塌能力分析

趙鵬舉，于曉輝，陸新征

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程災(zāi)變與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江，哈爾濱 150090;2.清華大學(xué)土木工程安全與耐久教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084)

汶川地震的震害調(diào)查發(fā)現(xiàn)，許多鋼筋混凝土(RC)框架結(jié)構(gòu)，如居民住房和教學(xué)樓等，發(fā)生了較為嚴(yán)重的破壞甚至倒塌[1－2]。由于建筑結(jié)構(gòu)發(fā)生倒塌是造成人員傷亡的主要原因，因此，合理評(píng)估建筑結(jié)構(gòu)在地震作用下的抗倒塌能力一直是地震工程研究的熱點(diǎn)。近年來(lái)，針對(duì)我國(guó)量大面廣的RC框架結(jié)構(gòu)的抗地震倒塌的設(shè)計(jì)[3]和能力評(píng)估[4]開(kāi)展了一系列研究。

目前，結(jié)構(gòu)抗地震倒塌能力評(píng)估的主要方法是增量動(dòng)力分析(Incremental Dynamic Analysis, IDA)方法[5]。該方法選取一組地震動(dòng)作為地震輸入，通過(guò)對(duì)每條地震動(dòng)進(jìn)行調(diào)幅，最終獲得結(jié)構(gòu)發(fā)生倒塌所對(duì)應(yīng)的地震動(dòng)強(qiáng)度，并將其作為結(jié)構(gòu)的抗地震倒塌能力。考慮地震動(dòng)之間的不確定性，最終獲得的結(jié)構(gòu)抗地震倒塌能力通常體現(xiàn)為地震倒塌易損性的形式。我國(guó)學(xué)者采用IDA方法對(duì)RC框架結(jié)構(gòu)的抗地震倒塌能力開(kāi)展了一系列研究。例如：范萍萍等[4]對(duì)不同抗震設(shè)防烈度和抗震等級(jí)的RC框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了地震倒塌易損性分析，比較了不同抗震等級(jí)下框架結(jié)構(gòu)的抗地震倒塌能力的差異。呂大剛[6]采用IDA方法，比較了分別采用FEMA準(zhǔn)則和結(jié)構(gòu)動(dòng)力失穩(wěn)點(diǎn)作為結(jié)構(gòu)倒塌判據(jù)的RC框架結(jié)構(gòu)地震倒塌易損性。于曉輝和呂大剛[7]將可靠度分析中的均值一次二階矩法與IDA方法相結(jié)合，提出了一種隨機(jī)IDA方法來(lái)考慮結(jié)構(gòu)不確定性對(duì)地震倒塌易損性的影響。

要進(jìn)行IDA分析，一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題是選擇合適的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)數(shù)值計(jì)算方法。在已有的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)數(shù)值計(jì)算方法中，逐步積分法由于其簡(jiǎn)單高效的特點(diǎn)被廣泛采用。逐步積分法分為隱式算法與顯式算法。其中，顯式算法無(wú)須求解聯(lián)立方程組，對(duì)于多自由度結(jié)構(gòu)以及非線性分析問(wèn)題，與隱式算法相比，顯式算法有更高的計(jì)算效率[8－9]。目前，顯式算法已經(jīng)被一些商業(yè)化軟件所采用[10]，并在土木工程領(lǐng)域得到了一些應(yīng)用。例如：陳國(guó)興等[11]針對(duì)地鐵地下結(jié)構(gòu)比較了ABAQUS在并行計(jì)算時(shí)隱式算法與顯式算法的計(jì)算效率與精度，表明顯式算法具有遠(yuǎn)高于隱式算法的計(jì)算效率；梁艷晨等[12]基于ANSYS顯式動(dòng)力模塊模擬了碎石墊層地基對(duì)框架結(jié)構(gòu)抗震能力的提高。近年來(lái)，作為一種免費(fèi)開(kāi)放式有限元模擬軟件平臺(tái)，OpenSees軟件得到了廣泛應(yīng)用。張書(shū)豪[13]基于蛙跳法提出了一種新的顯式積分算法，并將該算法集成于OpenSees軟件中，同時(shí)對(duì)該算法的精確性進(jìn)行了驗(yàn)證。由于顯式方法不存在隱式算法常有的收斂性問(wèn)題，其在非線性分析計(jì)算時(shí)能更好地模擬結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)，也更加適合進(jìn)行結(jié)構(gòu)的抗地震倒塌能力的評(píng)估。

鑒于顯式算法在進(jìn)行結(jié)構(gòu)抗地震倒塌能力分析中的優(yōu)勢(shì)，本文以O(shè)penSees軟件作為分析平臺(tái)，采用文獻(xiàn)[13]所提出的基于蛙跳法的顯式積分算法，通過(guò)IDA方法對(duì)按我國(guó)規(guī)范設(shè)計(jì)的RC框架結(jié)構(gòu)的抗地震倒塌能力進(jìn)行了評(píng)估。在分析過(guò)程中，考慮了4種不同倒塌判據(jù)的影響，包括：我國(guó)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》[14]推薦的結(jié)構(gòu)層間位移角限值θmax=1/50(判據(jù)1)、美國(guó)FEMA 356[15]推薦的θmax=4%(判據(jù)2)、文獻(xiàn)[16]建議的IDA曲線切線剛度退化為初始剛度的20%(判據(jù)3)以及結(jié)構(gòu)主要構(gòu)件豎向倒塌位移超過(guò)1 m(判據(jù)4)。其中，當(dāng)采用倒塌判據(jù)4時(shí)，結(jié)構(gòu)已經(jīng)進(jìn)入強(qiáng)非線性，此時(shí)用顯式算法可以很好地獲得結(jié)構(gòu)在這一狀態(tài)附近的非線性狀態(tài)，而隱式算法則會(huì)由于收斂性的問(wèn)題無(wú)法逼近這一極限狀態(tài)。

1 基于蛙跳法的顯式算法基本原理

顯式算法與隱式算法的主要差別在于顯式算法是由已知數(shù)據(jù)來(lái)表示下一積分步的狀態(tài)量(如式(1))，而隱式算法對(duì)下一積分步的狀態(tài)量不能直接給出公式，需要通過(guò)解方程來(lái)求解(如式(2))[17]。

式中：ωi、ti、ωi+1與ti+1分別為第i個(gè)積分步與第i+1個(gè)積分步的狀態(tài)量；y0為初值；h為步長(zhǎng)；f表示導(dǎo)函數(shù)。

中心差分法[18]是基本的顯式積分算法，其以有限差分在數(shù)值上代替求導(dǎo)。對(duì)于運(yùn)動(dòng)方程：

將其位移項(xiàng)進(jìn)行泰勒展開(kāi)可得：

將式(4)和式(5)相加和相減并舍去高階小量O(Δt2)可得：

將式(6)和式(7)代入式(3)中，即可得：

由式(8)、式(9)和式(10)可見(jiàn)，對(duì)于顯式算法，只要給定初值x0以及x-Δt即可依次求解之后任一時(shí)刻的狀態(tài)量。其中x-Δt可由式(5)舍去高階小量得到：

式中：x0和為初始條件；可由式(3)求得(t=0)。

蛙跳法在1970年由Hockney[19]提出，在分子動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[20－21]。蛙跳法可以認(rèn)為是中心差分法的一種變異格式[18]，其與中心差分法的差別在于蛙跳法是在半個(gè)時(shí)間步上求解速度，如式(12)和式(13)所示。

由式(12)與式(13)可見(jiàn)，速度與位移和加速度均未在同一時(shí)刻定義，故在將式(12)與式(13)代入運(yùn)動(dòng)方程式(3)時(shí)，可將代替，獲得：

根據(jù)式(14)，只需已知x0和即可依次求解之后任意時(shí)刻的狀態(tài)量。在式(14)中將代替，采用了速度近似，會(huì)導(dǎo)致算法精度低于傳統(tǒng)的中心差分法(只有一階精度)[13]。此外，使用該方法會(huì)造成系統(tǒng)的勢(shì)能與動(dòng)能不能在同一時(shí)刻定義[22]。為解決上述問(wèn)題，張書(shū)豪[13]提出了一種修正的蛙跳格式顯式算法。該方法首先計(jì)算xt+Δt：

計(jì)算得到xt+Δt后，繼而利用中心差分法可計(jì)算得t時(shí)刻的速度與加速度(見(jiàn)式(18)和式(19))，再利用蛙跳法基本步驟式(12)和式(13)，即可得修正后的速度和位移。

該顯式算法對(duì)單自由度彈性體系的穩(wěn)定性條件如式(20)所示[13,18]。其中，顯式積分極限步長(zhǎng)Δt需滿(mǎn)足：

式中：ζ為單自由度體系的阻尼比；ω為單自由度體系的自振頻率。

對(duì)于有限單元體系，顯式積分極限步長(zhǎng)Δt應(yīng)取所有單元極限步長(zhǎng)的最小值。單元對(duì)應(yīng)的極限步長(zhǎng)與單元的特征長(zhǎng)度與單元材料波速有關(guān)，梁柱單元以及桁架單元的極限步長(zhǎng)為[23]：

式中：L為梁柱單元長(zhǎng)度；V為單元材料波速，取壓縮波速；E為材料彈性模量；ρ為單元密度。

與基于蛙跳法的顯式算法相配合使用的阻尼格式為質(zhì)量阻尼與振型阻尼的組合形式，采用這種阻尼形式可以有效消耗大量的計(jì)算資源，能夠確保方程解耦并且有效抑制不合理的高階振型的影響[13, 24]。

2 RC框架結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和建模

本文采用文獻(xiàn)[25]中6個(gè)RC框架結(jié)構(gòu)作為結(jié)構(gòu)對(duì)象，包括2個(gè)5層結(jié)構(gòu)，2個(gè)8層結(jié)構(gòu)，2個(gè)10層結(jié)構(gòu)。其中，每一高度結(jié)構(gòu)采用2種地震設(shè)防烈度：Ⅶ度(0.1g)和Ⅷ度(0.2g)。為方便以后論述，將上述結(jié)構(gòu)編號(hào)為RC5-1、RC5-2、RC8-1、RC8-2、RC10-1、RC10-2。其中，RC后第一個(gè)數(shù)字代表樓層數(shù)，RC后第2個(gè)數(shù)字中，1代表設(shè)防烈度為Ⅶ度(0.1g)，2代表設(shè)防烈度為Ⅷ度(0.2g)。所有結(jié)構(gòu)的底層層高為4.4 m，其余層高3.3 m。所有結(jié)構(gòu)均按照設(shè)計(jì)地震動(dòng)分組為第1組，場(chǎng)地類(lèi)型為Ⅱ類(lèi)(場(chǎng)地特征周期0.35 s)進(jìn)行設(shè)計(jì)。結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)層活荷載為2.0 kN/m2，標(biāo)準(zhǔn)層恒荷載為4.5 kN/m2，屋面恒荷載為7.0 kN/m2，基本雪壓取0.30 kN/m2。

結(jié)構(gòu)平面和立面布置如圖1所示。各框架梁柱截面配筋如圖2所示。其中5層框架的B-1和B-2分別表示邊跨梁和中間跨梁，8層框架和10層框架的B-1和B-2分別表示結(jié)構(gòu)下4層或下5層的邊跨梁和中間跨梁，B-3表示結(jié)構(gòu)上4層或上5層的梁。

圖1 結(jié)構(gòu)平面和立面圖 /mmFig.1 Plan view and elevation view of structures

采用OpenSees進(jìn)行RC框架結(jié)構(gòu)的有限元建模，動(dòng)力分析時(shí)采用基于蛙跳法的顯式算法。由于dispBeamColumn單元為基于有限單元?jiǎng)偠确ǖ姆植妓苄詥卧瑹o(wú)須單獨(dú)定義塑性鉸，可以很好地用于框架結(jié)構(gòu)梁柱模擬[26－27]。而且張書(shū)豪[13]整合于OpenSees的顯式算法是基于該單元的，因此本研究中RC梁、柱采用dispBeamColumn單元進(jìn)行模擬，每一桿件采用3個(gè)單元，每個(gè)單元采用3個(gè)高斯積分點(diǎn)。結(jié)構(gòu)分析中考慮P-Δ效應(yīng)影響。混凝土采用Concrete01本構(gòu)模型，鋼筋采用Steel02本構(gòu)模型。材料強(qiáng)度取平均值，材料強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差按文獻(xiàn)[26]和文獻(xiàn)[28]取值。考慮箍筋約束對(duì)混凝土軸向抗壓能力的提升，采用Saatcioglu ＆ Razvi模型[29]進(jìn)行描述。本文以圖1中間一榀框架為研究對(duì)象進(jìn)行有限元建模，不考慮樓板的影響。

圖2 各框架截面配筋圖 /mmFig.2 Section reinforcement diagrams of each frame

3 顯式算法與隱式算法的對(duì)比分析

選取本文第2節(jié)中RC5-1結(jié)構(gòu)作為示例，對(duì)比研究顯式算法和隱式算法對(duì)結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的影響。其中，隱式算法使用瑞利阻尼，顯式算法使用質(zhì)量阻尼與前20階振型阻尼進(jìn)行組合。選取El-Centro(1940)地震動(dòng)記錄作為地震輸入，分別將地震動(dòng)的峰值加速度(PGA)調(diào)幅至0.1g和3.0g，對(duì)RC框架頂點(diǎn)的位移時(shí)程及運(yùn)算耗時(shí)進(jìn)行對(duì)比。圖3和圖4分別給出了PGA=0.1g和PGA=3.0g所對(duì)應(yīng)的RC框架頂點(diǎn)(左上角頂點(diǎn))位移時(shí)程。

由圖3和圖4中可以看出，在PGA=0.1g時(shí)，顯式算法與隱式算法的結(jié)構(gòu)響應(yīng)幾乎一致。當(dāng)PGA=3.0g時(shí)，隱式算法由于無(wú)法收斂，在6.57 s計(jì)算終止，而顯式算法無(wú)收斂性問(wèn)題。換言之，采用顯式算法可以更加接近結(jié)構(gòu)倒塌狀態(tài)。

在配備Inter? Core? i5-7300U CPU @2.60 GHz的計(jì)算機(jī)上，隱式算法和顯式算法的耗時(shí)情況如表1所示。從表1可以看出，當(dāng)PGA=0.1g時(shí)，隱式算法因易收斂，而耗時(shí)較小，平均單步耗時(shí)僅為0.0150 s。當(dāng)PGA=3.0g時(shí)，隱式算法由于存在收斂性的問(wèn)題，平均單步耗時(shí)為0.1766 s，較PGA=0.1g所對(duì)應(yīng)的平均單步耗時(shí)增大了約 12倍。對(duì)于顯式算法，無(wú)論P(yáng)GA大小，平均單步耗時(shí)保持穩(wěn)定，均為0.008 s左右。當(dāng)PGA= 3.0g時(shí)，顯式算法平均每秒分析耗時(shí)約為隱式 算法的2倍，較PGA=0.1g時(shí)(約21倍)，顯式算法與隱式算法的總體計(jì)算速度的差異有了顯著縮小。

圖3 PGA=0.1 g時(shí)RC框架頂點(diǎn)位移時(shí)程曲線Fig.3 The time history curve of the top displacement of the RC frame at PGA=0.1 g

圖4 PGA=3.0 g時(shí)框架頂點(diǎn)位移時(shí)程曲線Fig.4 The time history curve of the top displacement of the RC frame at PGA=3.0 g

表1 隱式算法和顯式算法耗時(shí)對(duì)比Table 1 A comparison of the time consumption of implicit algorithm and explicit algorithm

4 基于顯式算法的結(jié)構(gòu)抗地震倒塌能力分析

4.1 結(jié)構(gòu)倒塌判據(jù)

1) 判據(jù)1：根據(jù)我國(guó)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》[14]，RC框架結(jié)構(gòu)在地震作用下，其薄弱層彈塑性層間位移角不應(yīng)大于1/50，以防止結(jié)構(gòu)倒塌。為此，本文取結(jié)構(gòu)最大層間位移角θmax=1/50作為結(jié)構(gòu)倒塌判據(jù)1。

2) 判據(jù)2：美國(guó)FEMA 356[15]規(guī)定混凝土框架結(jié)構(gòu)防止倒塌(S-5，Collapse Prevention，CP)這一性能水準(zhǔn)的層間位移角限值為4%。為此，本文取θmax=4%為結(jié)構(gòu)倒塌判據(jù)2。

3) 判據(jù)3：根據(jù)文獻(xiàn)[16]，認(rèn)為當(dāng)結(jié)構(gòu)IDA曲線的切線斜率低于初始線彈性階段斜率的20%時(shí)，結(jié)構(gòu)將會(huì)發(fā)生倒塌，本文將其作為結(jié)構(gòu)倒塌判據(jù)3。

4) 判據(jù)4：本文以結(jié)構(gòu)變形達(dá)到不足以維持“安全使用空間”作為倒塌的物理定義[30]。因此，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析中，可取結(jié)構(gòu)構(gòu)件豎向倒塌位移超過(guò)某一數(shù)值作為結(jié)構(gòu)倒塌判據(jù)[4,30－31]。本文以結(jié)構(gòu)主要構(gòu)件豎向倒塌位移超過(guò)1 m作為判據(jù)4。本文所述的4種判據(jù)如圖5所示。

圖5 4種倒塌判據(jù)Fig.5 Four collapse criteria

4.2 IDA分析

選取文獻(xiàn)[32]推薦的22條遠(yuǎn)場(chǎng)地震動(dòng)進(jìn)行IDA分析，所選地震動(dòng)記錄的相關(guān)信息如表2所示。獲得不同結(jié)構(gòu)的IDA曲線，并在IDA曲線上按上述四種結(jié)構(gòu)倒塌判據(jù)獲得結(jié)構(gòu)倒塌點(diǎn)。僅以RC5-1為例，圖6給出了采用判據(jù)1～判據(jù)3所獲得的結(jié)構(gòu)倒塌點(diǎn)。圖7給出了采用判據(jù)4所獲得的結(jié)構(gòu)倒塌點(diǎn)。圖8進(jìn)一步給出了結(jié)構(gòu)RC5-1在表2中第4條地震動(dòng)作用下，當(dāng)?shù)卣饎?dòng)PGA達(dá)到判據(jù)4所定義的倒塌強(qiáng)度時(shí)，結(jié)構(gòu)θmax和豎向倒塌位移的時(shí)程曲線，以及在結(jié)構(gòu)在豎向倒塌位移達(dá)1 m時(shí)的θmax大小。

表2 遠(yuǎn)場(chǎng)地震動(dòng)記錄Table 2 Far-field ground motion records

圖6 RC5-1框架IDA曲線及前三種倒塌判據(jù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Fig.6 IDA curves of RC5-1 frame and corresponding points of the first three collapse criteria

由圖8可見(jiàn)，當(dāng)結(jié)構(gòu)達(dá)到判據(jù)4所定義的倒塌狀態(tài)時(shí)，結(jié)構(gòu)的θmax響應(yīng)在短時(shí)間內(nèi)急劇增加，可認(rèn)為結(jié)構(gòu)已經(jīng)崩潰。急劇增加的θmax響應(yīng)反映了結(jié)構(gòu)在該P(yáng)GA的地震動(dòng)作用下已經(jīng)更為真實(shí)地達(dá)到了“倒塌”這一極限狀態(tài)。當(dāng)?shù)卣饎?dòng)PGA達(dá)到判據(jù)4所定義的倒塌強(qiáng)度時(shí)，整個(gè)時(shí)程的θmax(1015)已不具有實(shí)際物理意義，故需要說(shuō)明的是，為方便展示，圖7中所繪倒塌點(diǎn)的狀態(tài)為達(dá)到判據(jù)4所定義倒塌強(qiáng)度前一個(gè)IDA調(diào)幅步所對(duì)應(yīng)θmax和PGA。

圖7 RC5-1框架IDA曲線及第四種倒塌判據(jù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Fig.7 IDA curves of RC5-1 frame and corresponding points of the fourth collapse criterion

4.3 地震倒塌易損性分析

基于獲得的結(jié)構(gòu)倒塌點(diǎn)，可進(jìn)一步采用對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)進(jìn)行擬合，獲得結(jié)構(gòu)的倒塌易損性曲線，如圖9所示。本文獲得6個(gè)RC算例框架結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)不同倒塌判據(jù)的倒塌易損性曲線，如圖10(a)、圖10(b)、圖10(c)所示。從結(jié)果可以看出，判據(jù)1明顯低估RC框架結(jié)構(gòu)的抗倒塌能力，進(jìn)一步說(shuō)明了如判據(jù)1這類(lèi)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中提供的供框架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)參考的層間位移角限值只能作為“結(jié)構(gòu)不倒塌”的判據(jù)，不能用來(lái)作為“結(jié)構(gòu)倒塌”的判據(jù)[33]。從易損性曲線可以看出，判據(jù)4對(duì)RC框架結(jié)構(gòu)的抗倒塌能力的評(píng)估要高于判據(jù)3，判據(jù)2對(duì)RC框架結(jié)構(gòu)的抗倒塌能力的評(píng)估則低于判據(jù)3。

圖8 RC5-1結(jié)構(gòu)最大層間位移角時(shí)程及最大豎向倒塌位移時(shí)程Fig.8 The time histories of the maximum drift ratio and maximum vertical collapse displacement of RC5-1

圖9 RC5-1 四種倒塌判據(jù)易損性曲線對(duì)比Fig.9 Comparison of vulnerability curves of four collapse criteria for RC5-1

圖10 算例結(jié)構(gòu)4種倒塌判據(jù)易損性曲線對(duì)比Fig.10 Comparison of vulnerability curves of four collapse criteria for case frames

4.4 地震倒塌模式分析

本節(jié)以RC5-1為例，對(duì)不同判據(jù)所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)地震倒塌模式進(jìn)行了對(duì)比。選擇表2中第4條地震動(dòng)為例，當(dāng)其分別達(dá)到不同判據(jù)所對(duì)應(yīng)的倒塌強(qiáng)度時(shí)(見(jiàn)表3)，所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)倒塌模式，如圖11所示。圖11中，采用真實(shí)結(jié)構(gòu)比例給出了結(jié)構(gòu)在前3種判據(jù)所對(duì)應(yīng)的倒塌強(qiáng)度下殘余變形模式，以及判據(jù)4對(duì)應(yīng)倒塌強(qiáng)度下結(jié)構(gòu)臨近倒塌狀態(tài)的變形模式。圖11中還分別給出了對(duì)應(yīng)各判據(jù)的頂層側(cè)向變形數(shù)值。

由圖11可以看出，判據(jù)1～判據(jù)3所定義的結(jié)構(gòu)倒塌狀態(tài)的殘余變形較小。因此，判據(jù)1～判據(jù)3顯然不能真實(shí)地反映結(jié)構(gòu)的倒塌狀態(tài)。從判據(jù)4所定義的結(jié)構(gòu)倒塌狀態(tài)的結(jié)構(gòu)變形來(lái)看，判據(jù)4對(duì)倒塌的定義顯得更加真實(shí)，相較于其他3種判據(jù)，判據(jù)4更好地表現(xiàn)出了結(jié)構(gòu)的倒塌極限狀態(tài)。

針對(duì)判據(jù)3和判據(jù)4，進(jìn)一步繪制了結(jié)構(gòu)頂層側(cè)向變形時(shí)程，以及不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)變形模式，如圖12所示。

圖11 4種判據(jù)致倒塌PGA下的位移模式Fig.11 The displacement states under the PGA that causes the collapse corresponding to the four collapse criteria

圖12 致倒塌PGA下判據(jù)3與判據(jù)4對(duì)應(yīng)頂層側(cè)向變形時(shí)程及不同時(shí)刻結(jié)構(gòu)變形模式Fig.12 The time histories of the lateral displacement of the top floor and the displacement states at different times under the PGA that causes the collapse corresponding to collapse criteria 3 and 4

由圖12可見(jiàn)，判據(jù)3致倒塌PGA作用下結(jié)構(gòu)位移時(shí)程響應(yīng)在整個(gè)時(shí)程中間一時(shí)刻達(dá)到最大，但是隨后又在波動(dòng)中有減少趨勢(shì)。而判據(jù)4致倒塌PGA作用下結(jié)構(gòu)位移時(shí)程響應(yīng)在整個(gè)時(shí)程中呈發(fā)散趨勢(shì)，直至結(jié)構(gòu)崩潰倒塌。

4.5 地震倒塌裕度比分析

地震倒塌裕度比(Collapse Margin Ratio, CMR)也稱(chēng)作結(jié)構(gòu)抗倒塌儲(chǔ)備系數(shù)，是文獻(xiàn)[32]推薦使用的結(jié)構(gòu)抗地震倒塌能力評(píng)估指標(biāo)。本文以PGA為地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)，罕遇地震對(duì)應(yīng)的CMR為：

式中：PGA50%倒塌為50%倒塌概率對(duì)應(yīng)的地震動(dòng)PGA；PGA罕遇地震為參考文獻(xiàn)[14]取值的地震動(dòng)強(qiáng)度。

基于算例框架的地震倒塌易損性，本文進(jìn)一步計(jì)算了6個(gè)算例框架對(duì)應(yīng)4種倒塌判據(jù)的倒塌裕度比，如表4所示，將不同結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)不同倒塌判據(jù)的倒塌裕度比進(jìn)行對(duì)比，如圖13所示。僅以RC5-1為例，相較于判據(jù)3而言，判據(jù)1對(duì)結(jié)構(gòu)的抗倒塌能力低估了約56%，判據(jù)2對(duì)結(jié)構(gòu)的抗倒塌能力低估了約13%，而判據(jù)4對(duì)結(jié)構(gòu)的抗倒塌能力高估了約47%。綜合6個(gè)算例結(jié)構(gòu)的倒塌裕度比結(jié)果來(lái)看，判據(jù)3對(duì)應(yīng)的CMR結(jié)果為判據(jù)1對(duì)應(yīng)的CMR結(jié)果的2.5倍左右，判據(jù)2對(duì)應(yīng)的CMR結(jié)果為判據(jù)1對(duì)應(yīng)CMR結(jié)果的2倍左右。這一結(jié)果進(jìn)一步說(shuō)明了判據(jù)1僅適合用作結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)的倒塌控制，不適合作為判斷結(jié)構(gòu)倒塌的判據(jù)[33]。換言之，當(dāng)結(jié)構(gòu)達(dá)到判據(jù)1所定義的倒塌狀態(tài)時(shí)，結(jié)構(gòu)仍具有很大的抗倒塌能力冗余度。

判據(jù)2相對(duì)于判據(jù)3而言，其所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)抗倒塌能力低估了13%～34%，且低估程度隨著結(jié)構(gòu)層數(shù)增加而加深。可見(jiàn)對(duì)于RC框架結(jié)構(gòu)，判據(jù)2對(duì)應(yīng)的倒塌狀態(tài)仍有一定的抗倒塌能力冗余度，換言之，F(xiàn)EMA 356[15]規(guī)定的混凝土框架結(jié)構(gòu)CP性能水準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的4%層間位移角限值對(duì)于國(guó)內(nèi)RC框架結(jié)構(gòu)而言，作為倒塌判據(jù)略顯保守。

判據(jù)4相較于判據(jù)3而言，其所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)的抗倒塌能力結(jié)果提高了約20%～70%。這一結(jié)果說(shuō)明判據(jù)4所定義的結(jié)構(gòu)倒塌狀態(tài)比其他判據(jù)定義的倒塌狀態(tài)更為危險(xiǎn)。由前文可知，判據(jù)4是直接基于倒塌物理定義的，結(jié)構(gòu)在達(dá)到判據(jù)4所定義的倒塌狀態(tài)時(shí)，迅速完全崩潰并真正達(dá)到了完全倒塌。因此，判據(jù)4定義的倒塌狀態(tài)更接近結(jié)構(gòu)的真實(shí)倒塌狀態(tài)，對(duì)于RC框架結(jié)構(gòu)，判據(jù)4定義的結(jié)構(gòu)抗地震倒塌能力可視為結(jié)構(gòu)抗倒塌能力的上限，也可視為結(jié)構(gòu)的極限抗倒塌承載能力判據(jù)。

表4 RC框架結(jié)構(gòu)4種倒塌判據(jù)的倒塌裕度比Table 4 CMR of RC frames corresponding to four collapse criteria

圖13 4種倒塌判據(jù)下RC框架結(jié)構(gòu)CMR比較Fig.13 Comparison of CMR of RC frame structures under four collapse criteria

5 結(jié)論

本文針對(duì)不同層數(shù)、不同設(shè)防烈度的6個(gè)RC框架結(jié)構(gòu)，基于改進(jìn)蛙跳法的顯式算法，進(jìn)行了RC框架結(jié)構(gòu)的抗地震倒塌能力分析，獲得了結(jié)構(gòu)的倒塌易損性曲線和倒塌裕度比，得到如下結(jié)論：

(1) 顯式算法與隱式算法在結(jié)構(gòu)非線性發(fā)展程度不強(qiáng)時(shí)，分析結(jié)果基本完全吻合。與隱式算法相比，顯式算法非線性分析的收斂性更好，也更易于模擬結(jié)構(gòu)在倒塌狀態(tài)附近的非線性行為。

(2) 判據(jù)1和判據(jù)2對(duì)結(jié)構(gòu)抗地震倒塌能力的評(píng)估結(jié)果較為保守，用其來(lái)評(píng)估結(jié)構(gòu)抗地震倒塌能力，結(jié)構(gòu)仍有較大抗倒塌能力冗余度。與判據(jù)3對(duì)應(yīng)的結(jié)果相比，判據(jù)4對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)倒塌裕度比要高20%～70%。

(3) 判據(jù)4基于結(jié)構(gòu)倒塌的物理意義，在判據(jù)4所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)倒塌狀態(tài)，結(jié)構(gòu)在地震動(dòng)作用下變形急劇增大乃至崩潰達(dá)到完全倒塌。相較于前3種倒塌判據(jù)，判據(jù)4能更好地體現(xiàn)結(jié)構(gòu)倒塌狀態(tài)的真實(shí)非線性行為。由于顯式算法較強(qiáng)的非線性分析能力，因此其可以不受制于收斂性問(wèn)題，而可以方便利用判據(jù)4來(lái)進(jìn)行倒塌能力的評(píng)估，有利于結(jié)構(gòu)真實(shí)抗倒塌能力的評(píng)估。