有限到無限：基于離散靜力平衡推導懸鏈線方程和梁位移方程

羅雯瑛

(清華大學航天航空學院，北京100084)

1 問題引入

問題：有2n= 100 顆，質量為m的小球等距串在無質量細繩上，繩長為2L，懸掛于A、B點，AB距離為L，如圖1 所示。求最低點處細繩的張力、端點處角度。

這是一個靜力平衡的問題，對每個小球及每段細繩整體都有受力及力矩平衡。因為要求最低點處繩子的張力，可采用截面法，即將左右兩端繩子分離開來，考慮其中一段。由系統的對稱性可知左右兩段繩子并無差別，并且最低點處繩子是水平的，因此下面考慮右半段繩子，并為方便起見對小球做標號如圖2所示。

圖1 小球串在細繩上

圖2 右半段繩子及對小球的標號

設最低點處細繩的張力為FN0，由于每兩個小球之間連接的繩子均為輕繩，因此由力矩平衡可知每段輕繩均是直線。分析前i個小球的受力情況，如圖3所示。

圖3 前i 個小球的受力情況

系統有水平和豎直方向受力平衡

記c則由式(1)可得

式(2)中的c是待求量，注意到有條件：AB間距離為L，每段輕繩長度相同且整段繩長為2L，記每段輕繩長度為s，則有s= 2L/(2n+1)。設第i個小球和第i+1 個小球之間的水平距離為xi，即有cosθi=xi/s。因此

由式(2)、式(3)及n=50可數值解得c=0.086 2。

因此最低點處細繩的張力FN0和端點處角度θn分別為

2 懸鏈線方程的推導

上述問題的討論對象是一系列離散的質點，而當繩上掛的小球數量趨向于正無窮時，上述模型就可以等效為一有質量且兩端固定的懸鏈線模型，自然地可以利用和上述問題相同的分析方法得到懸鏈線方程。

當n→∞時，原來的離散模型變為連續模型，之前的分析對象“i個小球”，即相當于連續模型中的一段細繩，對這一段細繩的受力分析可完全類似于對小球的受力分析。……