Heston模型下具有違約風(fēng)險的DC型養(yǎng)老金計劃的均衡投資策略

乾丞健，殷艷紅，郭宇超，夏登峰

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

養(yǎng)老金是世界各國養(yǎng)老保險制度的主要表現(xiàn)形式，是社會保障制度中最重要的構(gòu)成部分，關(guān)系到社會的和諧穩(wěn)定。養(yǎng)老金計劃類型中最為常見的是確定收益型(Defined Benefit，DB)計劃和確定繳費型(Defined Contribution，DC)計劃。DB型養(yǎng)老金計劃中養(yǎng)老金的受益額是提前確定的，繳費率可以隨時調(diào)整，因此基金管理者需要承擔(dān)相應(yīng)的金融風(fēng)險。在DC型養(yǎng)老金計劃中，繳費率是提前確定的，養(yǎng)老金的受益額依賴于養(yǎng)老基金投資回報率，因此，受益人需要承擔(dān)相應(yīng)的金融風(fēng)險，這更有利于養(yǎng)老基金的管理和保值增值，因而DC型養(yǎng)老金計劃更加符合養(yǎng)老金的管理現(xiàn)狀。

我國企業(yè)年金制度起步較晚，但也引起了學(xué)者們關(guān)注，他們對養(yǎng)老基金和社會保障基金的研究為我國企業(yè)年金的研究提供了一些參考[1-3]。從研究方法看，Merton[4]開創(chuàng)了嶄新的連續(xù)時間投資消費組合理論，使用隨機(jī)最優(yōu)控制方法，Merton導(dǎo)出了優(yōu)化問題中價值函數(shù)的非線性偏微分方程。Vigna[5]等在高斯利率模型下，應(yīng)用隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃方法去分析養(yǎng)老基金計劃中的金融風(fēng)險。Haberman[6]等擴(kuò)展了他們的論文。Devolder[7]等在幾何布朗運動描述的利率模型下，研究養(yǎng)老基金合約管理。以上研究是在不同利率模型下進(jìn)行的研究。另外一種方法是鞅方法，由Cox[8]等引入，這個方法一般用于在風(fēng)險中性測度下求解偏微分方程。

在DC型養(yǎng)老保險金里，因為要將繳款投入到金融市場進(jìn)行投資，所以風(fēng)險資產(chǎn)的定價顯得尤為重要。第一種風(fēng)險資產(chǎn)服從(Geometric Brownian Motion,GBM)模型，即幾何布朗運動模型。但服從GBM模型就意味著其波動率為常數(shù)，很顯然，這不符合我們的現(xiàn)實生活。有許多實證研究支持股票價格存在隨機(jī)波動性[9-11]。Cox[12]等提供的恒定彈性方差(Constant Elasticity of Variance,CEV)模型開創(chuàng)了隨機(jī)波動率市場研究的先河，引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注。如Xiao[13]和Gao[14]應(yīng)用Legendre變換和對偶理論研究了DC型養(yǎng)老金計劃在CEV模型下對養(yǎng)老金成員整個生命的最優(yōu)投資問題。Heston模型是隨機(jī)波動率模型的一種，是均值回復(fù)平方根的過程，并且其回報率和波動率都是隨機(jī)的。因此，Heston隨機(jī)波動率模型優(yōu)于GBM模型，并克服了CEV模型回報率為常數(shù)的不足之處。Guan[15]等在隨機(jī)利率和Heston模型框架下考慮了DC型養(yǎng)老金。文獻(xiàn)[16-17]也考慮了類似的問題。

根據(jù)管理者及參與者關(guān)注投資目標(biāo)不同，如終端財富期望效用最大化，平方損失最小化以及均值-方差目標(biāo)準(zhǔn)則，Boulier[18]等在隨機(jī)利率的假設(shè)下，利用鞅方法研究了退休后具有支付保證約束的DC型養(yǎng)老基金的管理問題。Han[19]等和Guan[20]等研究了隨機(jī)利率情況下的DC型養(yǎng)老基金最優(yōu)投資策略。

研究在Li[21]和吳奕東[22]研究的基礎(chǔ)上將資產(chǎn)投資于無風(fēng)險資產(chǎn)、風(fēng)險資產(chǎn)和違約債券，在MV標(biāo)準(zhǔn)下得出DC型養(yǎng)老金的均衡投資策略。無風(fēng)險資產(chǎn)服從Hull-White隨機(jī)利率模型，風(fēng)險資產(chǎn)價格服從Heston模型。在均值方差的原則前提下，利用動態(tài)規(guī)劃原理，建立了相應(yīng)的HJB(Hamilton Jacob Bellman)方程并求解，得到最優(yōu)均衡投資策略。最后使用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，分析各項參數(shù)對我們得到的DC型養(yǎng)老金最優(yōu)策略的影響，對現(xiàn)有模型進(jìn)行了拓展。

1 模型的建立

令(Ω,G,P)是一個完備的帶流概率空間，G=(Gt)0≤t≤T為信息流，表示截止到時刻t的所有的市場信息，并且G是由Gt=Ft∨Zt給出的擴(kuò)張的信息流。信息流Ft是由布朗運動{W(t)}產(chǎn)生的，而Zt是由表示違約到達(dá)的泊松過程來表示的。

在DC型養(yǎng)老金計劃中，養(yǎng)老金基金的繳款假定是在積累階段的預(yù)定金額的保險費。假設(shè)每單位時間的保險費為c，并且累積期限從w0年齡開始，一直持續(xù)到w0+T，直到退休金成員退休為止，即退休金的累積期限為T，為了獲得更高的收益，養(yǎng)老基金可以投資于由無風(fēng)險資產(chǎn)、可違約債券和風(fēng)險資產(chǎn)組成的金融市場。P測度下的無風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程遵循以下過程：

dS0(t)=rS0(t)dt,S0(0)=1。

風(fēng)險資產(chǎn)的財富過程由Heston模型描述：

式中，r>0表示無風(fēng)險利率；λ,k,θ,σ均為正常數(shù)；W1(·)和W2(·)是兩個一維布朗運動，相關(guān)系數(shù)為ρ∈[-1,1]；同時為了確保過程L(t)是幾乎處處非負(fù)的，假設(shè)2kθ≥σ2成立。

為了研究可違約債券的價格過程，類似于文獻(xiàn)[23]，定義如下違約過程。

定義1 令τ為非負(fù)隨機(jī)變量，代表發(fā)行債券的公司的違約時間。在隨機(jī)時間T進(jìn)行離散跳躍的非遞減右連續(xù)過程稱為違約過程。用Z(t):=1τ≤t表示違約過程，其中1表示指標(biāo)，如果有跳躍則值為1，否則為0。

引用文獻(xiàn)[24]對違約時間的定義，違約時間T可以被建模為泊松過程的首次到達(dá)。跳躍過程的強(qiáng)度用h表示，它度量違約值的到達(dá)率。如文獻(xiàn)[23]中所示，存在面值為1單位，到期日為T1的可違約零息債券。投資者在違約前收回違約債券市值的一小部分，則違約后債券的違約值為0。損失率用ζ∈[0,1]表示，那么恢復(fù)率為1-ζ。在風(fēng)險中性測度Q下，令δ=hQζ表示為風(fēng)險中性信用利差，并且hQ是在Q測度下的違約泊松過程的恒定強(qiáng)度，則在Q測度下可違約債券的價格過程：

dB(t,T1)=rB(t,T1)dt-ζe-(r+δ)(T1-t)dMQ(t),

式中，MQ(t)是補(bǔ)償跳躍過程和Q測度下的鞅過程。

引理1[25](Girsanov's Theorem)概率P等價于G上的概率Q，當(dāng)且僅當(dāng)存在循序可測的過程ψ和可預(yù)測過程Δ>0使得：

(1)EP[V(T)]=1。

V(t)=V1(t)V2(t),

dB(t,T1)=B(t-,T1)[rdt+(1-Z(t))(1-Δ)δdt-(1-Z(t-))ζdMP(t)]。

(1)

式中,可違約債券的預(yù)期收益包括兩個部分(見Yu[26])，第一部分是無風(fēng)險資產(chǎn)的回報，第二部分是在時間t尚未發(fā)生違約的情況下，風(fēng)險中性信用利差與實際信用利差之間的差異。

用π1(t)和π2(t)分別表示養(yǎng)老金管理人在時刻t時在風(fēng)險資產(chǎn)和違約債券中分配的金額，其余部分分配在無風(fēng)險資產(chǎn)中，則養(yǎng)老金經(jīng)理在t時刻的投資策略為π:={(π1(t),π2(t))}t∈[0,T]。

(2)

為了簡化式(2)，我們定義：

成立。類似的，

那么式(2)則變成

(3)

當(dāng)n→∞時，財富過程Xπ(t)滿足：

(4)

對死亡率μ(t)函數(shù)和生存函數(shù)s(t)進(jìn)行如下定義：

其中w表示生存的最大年齡。于是式(4)退化為：

(5)

當(dāng)發(fā)生違約時，即π

在以下部分中，考慮MV準(zhǔn)則下的最優(yōu)投資問題,假設(shè)T

定義3(允許策略) 對于任何固定的t∈[0,T]，如果以下的情況成立，則π={(π1(v),π2(v))}v∈[t,T]被認(rèn)為是可以接受的策略：

(1)π是G可預(yù)測的；

(3)?(x,l,z)∈×××(0,1)，當(dāng)Xπ(t)=x，L(t)=l,Z(t)=z時，式(5)有唯一解Xπ(v)v∈[t,T]；

(4)?v∈[t,T],?φ∈[1,+∞]。?(t,x,l,z)∈[t,T]×××{0,1},Et,x,l,z(sup|Xπ(v)|φ)<+∞，其中Et,x,l,z[g]是Xπ(t)=x，L(t)=l,Z(t)=z下的條件期望。

另外，令∏(t,x,l,z)表示所有允許策略的集合，而z表示初始默認(rèn)狀態(tài)。z=1和z=0分別對應(yīng)于違約后情況τ>t和違約前情況τ≤t。

(6)

式中，γ是風(fēng)險規(guī)避系數(shù)。式(6)是時間不一致的，因為方差項中的終端財富期望值具有非線性函數(shù)，因此Bellman最優(yōu)性原則不適用。大多數(shù)文獻(xiàn)中，最優(yōu)策略在時間上不一致。但是，對于希望獲得一個均衡策略的理性決策者來說，時間一致性是不容忽視的，該均衡策略一次是最優(yōu)的，但隨著時間的推移，它仍是最優(yōu)的，即均衡策略是時間一致的。因此，我們旨在得出式(6)的均衡策略。

定義4 給定任何初始狀態(tài)(t,x,l,z)∈[0,T]×××{0,1}，考慮可容許的策略π*(t)。定義以下策略

那么π*被稱為均衡策略，均值函數(shù)為：

(7)

根據(jù)定義4，均衡策略是時間一致的。為簡單起見，定義C1,2([0,T]×××{0,1}={φ(t,x,l,z)|φ(t,·,·,·)}是在[0,T]上一次可微分并且φ(·,x,l,·)在×上連續(xù)兩次可微分。為了提供驗證定理，定義了一個變分算子：對于?φ(t,x,l,z)∈C1,2([0,T]×××{0,1})和?(t,x,l,z)∈[0,T]×××{0,1}，令w-w0-t=t，w-w0-T=T，φ(t,x,l,z)縮寫為是φ相對于相應(yīng)變量z的偏導(dǎo)數(shù)，且下文的V(t,x,l,z)，g(t,x,l,z)也使用這個記法，則

(8)

以下定理分別提供了在違約后情況(z=1)和違約前情況(z=0)下對擴(kuò)展HJB方程的驗證。

定理1(驗證定理) 對于違約后情況(z=1)和違約前情況(z=0)，如果?(t,x,l,z)∈[0,T]×××{0,1}存在兩個值函數(shù)V(t,x,l,z)，g(t,x,l,z)滿足以下擴(kuò)展HJB系統(tǒng)：

(9)

V(T,x,l,z)=x,

在原料（g）∶水（mL）∶氨水（mL）為1.00∶1.75∶0.55、反應(yīng)時間為10min、攪拌速度為100r/min、自然冷卻6h的條件下，改變反應(yīng)溫度，考察其對直收率的影響，結(jié)果如圖1所示，并利用X射線衍射儀（XRD）、掃描電子顯微鏡（SEM）分析其對產(chǎn)品物理性能（物相組成、表面形貌、粒度）的影響，結(jié)果如圖2、圖3所示。

(10)

Aπ*g(t,x,l,z)=0,g(T,x,l,z)=x,

(11)

(12)

那么W(t,x,l,z;π*)=V(t,x,l,z),Et,x,l,z[Xπ(T)]=g(t,x,l,z);π*就是均衡投資策略。

2 模型的求解

我們分別得出違約后情況(Z=1)和違約前情況(z=0)下DC型養(yǎng)老金計劃的均衡投資策略。在違約后情況下，則B(t,T1)=0,τ≤t≤T,因此π2(t)=0,τ≤t≤T。假設(shè)存在兩個函數(shù)V(t,x,l,1)和g(t,x,l,1)滿足定理1中給出的條件，根據(jù)式(8)中Aπ的表達(dá)式，式(9)可改寫為

(13)

在違約后情況下，假設(shè)存在兩個函數(shù)V(t,x,l,0)和(t,x,l,0)滿足定理2.7中給出的條件，根據(jù)式(8)中Aπ的表達(dá)式，將式(9)重寫為

(14)

對于違約后的情況，由于式(11)和式(13)的線性結(jié)構(gòu)以及根據(jù)邊界條件，我們嘗試以下形式猜測解：

(15)

那么就有

(16)

對式(13)中的π進(jìn)行求導(dǎo)，得到一階條件：

(17)

將式(16)和式(17)代入式(11)和式(13)，令

則有

lφ1+ψ1=0,lφ2+ψ2=0。

(18)

通過分離變量，得到以下微分方程：

φ1=0,ψ1=0,φ2=0,ψ2=0。

(19)

(20)

相似的，對于違約前的情況，由于式(11)和式(13)的線性結(jié)構(gòu)以及邊界條件，我們嘗試以以下形式猜測解：

(21)

那么就有

(22)

對式(14)中的π進(jìn)行求導(dǎo)，得到一階條件

(23)

(24)

將式(22)、式(23)和式(24)代入式(11)和式(14)，令

則有

lφ3+ψ3=0,lφ4+ψ4=0。

(25)

通過分離變量，得到以下微分方程：

φ3=0,ψ3=0,φ4=0,ψ4=0。

(26)

(27)

(28)

定理2 對于均值方差問題(6)，給出如下均衡投資策略：

(29)

(30)

均衡價值函數(shù)為

(31)

此外，與均衡投資策略相關(guān)的最終價值的期望和方差是

(32)

根據(jù)式(7)，有

(33)

(34)

由式(34)得到

(35)

在現(xiàn)代投資組合理論中，式(35)被稱為初始狀態(tài)(t,x,l,z)的投資問題的有效前沿。無論處于哪種狀態(tài)，有效邊界都是在平均標(biāo)準(zhǔn)偏差平面上的一條直線。與現(xiàn)有文獻(xiàn)相比，研究一方面考慮了具有違約風(fēng)險的DC計劃的最優(yōu)投資問題。我們發(fā)現(xiàn)，違約前情況下的均衡價值函數(shù)高于違約后情況下的均衡價值函數(shù)。另一方面考慮了Heston模型下帶保費返還條款的DC計劃的最優(yōu)投資問題。

注2 當(dāng)ρ>0時，修正因子N(t)是關(guān)于t的增函數(shù)。當(dāng)ρ<0時，N(t)關(guān)于t遞減。此外，N(t)具有以下性質(zhì)：

證明Nt(t)=λρσe(λρσ+k)(t-T)，且N(T)=1，結(jié)論顯然成立。

注3 結(jié)論2說明修正系數(shù)主要依賴于時間t以及Heston模型中W1和W2的相關(guān)系數(shù)ρ。而且當(dāng)ρ>0時，投保人投資與風(fēng)險資產(chǎn)的比例隨著時間的推移而增加，并且最優(yōu)投資比例較GBM模型更少；而ρ<0時，結(jié)論恰恰相反，最優(yōu)投資比例較GBM模型更多，初期投資較大的資金于風(fēng)險資產(chǎn)，隨著退休時間的逐漸臨近，投資于風(fēng)險資產(chǎn)的比例逐漸降低。

注4 在有效前沿直線中，對于相同的風(fēng)險(終端財富方差)，收益(終端財富期望)關(guān)于x,l遞增。這個結(jié)果具有一定的經(jīng)濟(jì)意義。一方面，當(dāng)初始投入財富增加時，在相同的風(fēng)險條件γ下當(dāng)然能獲得更多的收益；另一方面，Heston模型中的l表示承擔(dān)一定程度風(fēng)險的風(fēng)險資產(chǎn)的溢價，因此l越大，在相同的風(fēng)險條件下當(dāng)然能夠獲得更多的收益。

3 數(shù)值分析

利用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬，假設(shè)基本參數(shù)設(shè)置如下：r=0.05，γ=0.5,σ=0.08,β=1,a=1,ζ=0.5,hP=0.005,c=1,w=100,w0=20,T=10,S(0)=5。

風(fēng)險系數(shù)γ對風(fēng)險資產(chǎn)投資的均衡投資策略的影響如圖1所示。由圖1可知，隨著風(fēng)險厭惡系數(shù)γ的增加，投資于風(fēng)險資產(chǎn)的比例下降，這是具有相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)意義的。一方面，具有較高風(fēng)險厭惡系數(shù)的投資人通常會將較少的財富投資于風(fēng)險資產(chǎn)，從而規(guī)避風(fēng)險。

圖1 風(fēng)險系數(shù)γ對風(fēng)險資產(chǎn)投資的均衡投資策略的影響 圖2 ω和ω0對時間為0時向風(fēng)險資產(chǎn)投資的均衡投資策略的影響

4 結(jié)論

將資產(chǎn)投資于無風(fēng)險資產(chǎn)、風(fēng)險資產(chǎn)和違約債券，在MV標(biāo)準(zhǔn)下得出DC型養(yǎng)老金的均衡投資策略。其風(fēng)險資產(chǎn)價格服從Heston模型，根據(jù)動態(tài)規(guī)劃原理建立相應(yīng)的HJB方程，并求解HJB方程，獲得了DC型養(yǎng)老金的均衡投資策略。最后，通過數(shù)值模擬給出各參數(shù)對DC型養(yǎng)老金的均衡投資的影響。所得結(jié)果和相應(yīng)分析給基金管理者在金融市場中對于財富的投資提供一定的理論指導(dǎo)。