談初、高中數學過渡中要做到的幾個轉變

◇ 山東 王 迪

(作者單位:山東省淄博市周村區第三中學)

高中數學相較于初中數學來說難度有所增大,不同類型的知識分類更具體、形式更抽象.因此教學中教師要引導學生做好如下的轉變.

1 由定量到變量的轉變

高中數學所涉及的問題大多含有參數,以函數為例,相關問題的求解中需對參數的可能取值進行討論,而初中的問題一般是不含參數的.因此學生在處理含參問題時,常常忽視對參數的討論.

例1若函數y＝ax2－x－1的圖象與x 軸有且僅有一個交點,則實數a 的值是________.

在含參問題的處理中,要明確分類討論的標準,確定分類的層次,做到不重不漏.

2 由感性到理性的轉變

初中學生在解答某類問題時,一般都是按教師提供的“程序”進行求解,將解題的思維方式停留在對問題的感性認知上.以一元二次不等式的恒成立問題為例,學生常結合開口方向以及判別式進行求解.

例2已知函數x2－(a＋3)x＋1＞0在(－∞,＋∞)恒成立,則實數a 的取值范圍為________.

因為不等式左邊為二次函數,其開口方向確定,故只需判別式小于或等零,即可得出正確結論.但是如果將x 的范圍改為R的某個子集,部分學生就不知如何下手了.

變式不等式x2－(a＋3)x＋1＞0 對于一切x∈(0,＋∞)恒成立,則a 的取值范圍是________.

其實從不等式恒成立問題的本質來分析,f(x)≥0在(0,＋∞)恒成立,即函數fmin(x)≥0,因此只需求函數的最小值即可.而函數的對稱軸不確定,故可按對稱軸與[1,2]的關系進行討論.另外也可以創新思維,將參數分離出來,即x2－3x＋1＞ax,故只需要求的最小值即可.

明確了某類問題的本質,也就清楚了該類問題的處理方法,還可以用類似的思維方法處理不等式能成立、不等式恰成立問題.

3 由被動到主動的轉變

初中生數學學習的過程通常是在老師的引導下,按部就班地進行,缺少主動思考、獨立探究的訓練過程.例如在解答完一道題目后,可引導學生嘗試從題目條件、所求結論、問題背景等方面,將問題進行變化求解,以鍛煉其分析問題與解決問題的能力.

例3求y＝x2－2ax＋1(－5≤x≤5)的最值.

本題為閉區間上二次函數的最值問題,對稱軸x＝a 為參數形式,故最值的求解中需要按對稱軸與所給區間的關系進行討論.解答完此題后,可將問題進行變式.

變式求y＝x2－2x＋1(t≤x≤t＋1)的最值.

將問題變式后,使得對稱軸確定,所給的區間不確定,但求解方法與例3類似.通過問題的變式有效提升了學生靈活應用所學方法解決問題的能力.

4 由形象到抽象的轉變

以函數問題為例,初中數學中所涉及的都是具體的函數,如一次函數、二次函數、反比例函數等,學生在明確了函數類型的情況下研究函數的性質,較直觀形象.但高中數學中的函數往往不明確函數的類型,讓學生研究函數的性質,學生往往無從下手.

例4y＝f(x)(x∈R),f(0)≠0,當x＞0時,f(x)＞1,且對?a,b∈R,有f(a＋b)＝f(a)f(b).

(1)求證:對任意的x∈R,恒有f(x)＞0;

(2)判斷函數y＝f(x)的增減性.

(1)令a＝b＝0,可得f(0)＝0,若x＜0,則－x＞0,故f(0)＝f(x)f(－x)＝1,即當x＞0,f(x)＞1＞0,故x∈R,恒有f(x)＞0.

(2)設x1＜x2,則x2－x1＞0,所以

f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)f(x1).

因為x2－x1＞0,所以f(x2－x1)＞1.由(1)可知f(x1)＞0,所以f(x2－x1)f(x1)＞f(x1),即f(x2)＞f(x1),故f(x)為R上的增函數.

總之,針對剛剛升入高中的學生,教師要引導學生全身心地投入到學習中,注意對數學思想方法的歸納總結,積累解題經驗,養成善于思考的習慣,為學好數學打下扎實的基礎.