一類具有混合時滯的脈沖Hopfield神經網絡的反周期解

曾國斌 張林麗

（1.海口經濟學院科研處 海南省海口市 571127 2.海南大學應用科技學院 海南省儋州市 571737）

1 引言

在神經網絡動力學模型的研究中，作為目前最流行的人工神經網絡之一的Hopfield 神經網絡模型被廣泛地應用于生物、信號與圖像處理、最優化設計和工程等諸多領域。在這些應用中，大都要求所設計的神經網絡模型是穩定的。但是，信號在傳播和處理過程中不可避免地會受外界干擾和產生時滯現象，而脈沖和時滯往往是神經網絡系統振動和不穩定的原因。因此，探討具有脈沖和時滯的神經網絡的動力學行為具有重要的實際意義。

近年來,對具有脈沖和時滯的神經網絡動力學行為的研究吸引了國內外廣大學者的關注[1-6]。然而，大多數神經網絡同步的研究僅僅考慮離散時滯，鑒于神經網絡中各種軸突大小和長度的平行通路的存在，在模型中同時考慮離散時滯和分布時滯會更合理。文獻[7]利用Brouwer 不動點定理、Barbalat 引理和Lyapunov 函數法研究了一類具有混合時滯神經網絡模型平衡點的存在唯一性和全局漸近穩定性。文獻[8]利用分析技巧和 Poincaré 映射給出了一類變系數混合時滯神經網絡周期解的存在、唯一和指數穩定的充分條件。文獻[9]利用不動點理論、Liapunov 及不等式的分析技巧給出了具有混合時滯的細胞神經網絡的概周期解的存在性和全局指數穩定性的一個充分條件。文獻[10]利用李雅普諾夫函數和一些分析技巧給出了在時間尺度上具有離散和分布時滯的脈沖Hopfield 神經網絡的周期解全局指數穩定的一個充分條件。1988年，H.Okochi 最早提出了反周期的問題，并且對其在理論和應用方面作了進一步研究[11]。反周期函數是周期函數的一種特例，是具有兩倍周期性的有界連續函數。神經網絡的信號傳播過程通常也被看作是一個反周期過程，但目前研究具有脈沖和混合時滯神經網絡反周期解的文獻尚不多見 。本文利用迭代分析方法研究了一類具有脈沖和混合時滯的Hopfield 神經網絡模型反周期解的存在性、唯一性以及平衡點的一致穩定性。

本文考慮如下一類具有混合時滯和脈沖的Hopfield 神經網絡模型：

其中，n 是神經網絡中神經元的個數；脈沖時刻tk滿足

假設：

如果常向量滿足如下以下兩個方程，則稱x*為模型（1）的平衡點：

在本文中，我們假設滿足一些條件可使得模型（1）的平衡點存在。如果常向量x=x*是模型（1）的平衡點，則令可得：

令

可得：

為了證明模型（1）的平衡點是一致穩定的，我們只需要證明模型（2）的平凡解是一致穩定的即可。

定義范數：

定義1[15]若一個分段連續函數滿足以下兩個條件，則稱x(t)為系統（1）的解：

定義2[15]若一個分段連續的函數滿足下列三個條件，則稱之為系統（1）的一組T-反周期解：

2 基本假設

下面給出本文的基本假設條件：

(H1)存在常數Li>0 使得成立；

(H2)存在常數qik>0 使得成立；

(H3)時滯核函數Kij是定義在上的連續、可積的函數，并且滿足：

給出如下記號：

其中

證明：令則zi(t)滿足以下邊值問題：

當時，此時無脈沖，可得

則當t=t1時，可得

在上考慮柯西問題（2）和初始值，可得

在（3）式中令t =T 可以得到

將（4）代入到（3）式中去，即得到都有下式成立：

3 主要結論

首先，利用迭代分析法證明模型（2）的T-反周期解的存在性，即可得到模型（1）的T-反周期解的存在性。

定理1 若假設條件(H1)-(H4)滿足，則模型（2）存在唯一的一組T-反周期解，并且滿足

證明：定義如下迭代序列：

其中i=j=1…,n.

利用歸納法易得如下不等式成立

則

接著，利用反證法證明模型（2）的T-反周期解的唯一性，即可得到模型（1）的T-反周期解的唯一性。

通過移項和合并同類項可推出如下（6）式成立

由假設條件(H4)可得即則說明模型（2）只有唯一的一組T-反周期解。

由定理1，可得到如下定理2：

定理 2 若假設條件(H1)-(H4)滿足，則模型（1）有唯一的一組T-反周期解

下面，利用反證法證明模型（2）的平凡解是一致穩定的即可得到模型（1）的平凡解是一致穩定的,先給出平凡解是穩定的和一致穩定的定義。

定義 3[15]對于任意的，存在對于任意的，當時，有成立，則稱模型（2）的平凡解是穩定的；如果δ 和t0無關，則稱模型（2）的平凡解是一致穩定的。

定理 3 若假設條件(H1)-(H4)滿足，則模型（2）的平凡解是一致穩定的。

根據定理3，則可得到如下定理4：

定理 4 若假設條件(H1)-(H4)滿足，則模型（1）的平衡點是一致穩定的。