小樣本條件下基于Bayes方法的裝備狀態(tài)評估

谷廣宇 劉建敏 喬新勇

摘要：??針對小樣本條件下單純采用使用期無法準(zhǔn)確衡量裝甲裝備技術(shù)狀況的問題，本文以裝甲車輛發(fā)動機(jī)狀態(tài)評估為例，分析了小樣本條件下，裝備各技術(shù)狀況等級特征參數(shù)分布及其有效性和適用性。同時，采用Bayes決策法，從裝備屬于各技術(shù)狀況等級的概率和錯判風(fēng)險兩方面出發(fā)，對裝備狀態(tài)進(jìn)行評估。評估結(jié)果表明，利用兩種Bayes方法均能準(zhǔn)確評估發(fā)動機(jī)技術(shù)狀況，評估準(zhǔn)確率達(dá)90%以上，并且基于最小風(fēng)險的Bayes評估方法具有更好評估效果，評估準(zhǔn)確率較高，符合裝甲車輛技術(shù)狀況隨使用時間增加而逐漸變差的一般規(guī)律。該方法在裝備狀態(tài)評估中具有實用性及可行性。

關(guān)鍵詞：??狀態(tài)評估;?小樣本;?Bayes決策法;?發(fā)動機(jī)

中圖分類號：?TK428;?E923.1?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：?A

收稿日期：?2019-03-25;?修回日期：?2019-06-27

基金項目：??國家自然科學(xué)基金資助項目（U1836101）

作者簡介：??谷廣宇（1989-），男，漢族，博士研究生，主要研究方向為發(fā)動機(jī)狀態(tài)評估與預(yù)測。

裝甲裝備在使用過程中，其技術(shù)狀況將隨著使用時間的增長發(fā)生變化，且呈現(xiàn)劣化趨勢。雖然其技術(shù)狀況在一定程度上可以采用運(yùn)行時間來衡量[1]，但由于使用環(huán)境、使用強(qiáng)度及工作地點(diǎn)等因素不盡相同，該方法有時不能完全真實地反映裝備的實際技術(shù)狀況。因此，需要運(yùn)用科學(xué)的方法對裝甲裝備進(jìn)行技術(shù)狀況評估[2]。通常情況下，在裝備的狀態(tài)檢測評估過程中，首先要采集裝備狀態(tài)信息，并對數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行統(tǒng)計分析，才能得到相關(guān)結(jié)論。目前，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的評估方法主要有模糊聚類[3]、支持向量機(jī)[4]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5]、Bayes決策法[6]等。這些方法就統(tǒng)計分析而言，均需要盡可能大的樣本量，然而在實際評估過程中，受試驗成本、試驗周期等條件影響，無法進(jìn)行大量試驗來獲取大樣本。在此情況下，仍采用傳統(tǒng)大樣本條件下的統(tǒng)計方法，難以保證其最終得到評估結(jié)果的可靠性。因此，研究在小樣本條件下的狀態(tài)檢測評估方法具有實際意義[7]。另外由于在狀態(tài)信息采集測量過程中，用以描述各個技術(shù)狀況的特征參數(shù)都是隨機(jī)變量，同一技術(shù)狀況下所有采集測量的樣本只可能是相似的，不可能完全一樣，而且某一特征值可能不只出現(xiàn)在某一特定狀況下，在其他狀況中也可能出現(xiàn)。鑒于Bayes決策理論既能參考各類狀態(tài)的分類錯誤率，又能考慮分類錯誤的風(fēng)險程度，具有較強(qiáng)的分類決策能力。因此，本文采用Bayes決策法對裝備技術(shù)狀況進(jìn)行評估，并利用小樣本統(tǒng)計方法構(gòu)造各技術(shù)狀況下特征參數(shù)的分布，以獲取Bayes決策中的類條件概率密度。該研究可以對即將變“差”的車輛提前進(jìn)行預(yù)防性維修，降低故障風(fēng)險。

1?小樣本統(tǒng)計原理與方法

為提高統(tǒng)計分析精度，在小樣本條件下，最有效的解決方法是設(shè)法增加信息量。在此類方法中，以美國斯坦福大學(xué)B.Efron教授提出的Bootstrap法[8]及B.R.Donald提出的Bayes?Bootstrap法[9]最為簡單有效，而且在工程應(yīng)用中取得了豐碩成果[10-13]。其基本思路都是依據(jù)現(xiàn)有小樣本模仿未知分布，進(jìn)而獲取再生樣本，將小樣本問題轉(zhuǎn)化成大樣本。因此，該方法適用于本文對不同技術(shù)狀況下小樣本狀態(tài)信息的統(tǒng)計分析。

1.1?Bootstrap方法

Bootstrap方法又稱自助估計法，其原理主要根據(jù)觀測到來自于未知總體分布F的隨機(jī)子樣X=（X1，…，Xn），估計總體分布F的某一分布特征R（X，F(xiàn)），如均值、方差等，從而推測總體分布F。具體方法如下：

設(shè)總體分布F的某個分布特征θ=θ（F）（如均值，方差等），由觀測子樣X=（X1，…，Xn）構(gòu)造經(jīng)驗分布Fn，則有對θ的估計=（Fn），估計誤差為

Tn=（Fn）-（F）（1）

根據(jù)經(jīng)驗分布Fn，重新抽取再生子樣X（1）=（X（1）1，…，X（1）n），進(jìn)而構(gòu)造經(jīng)驗分布函數(shù)F（1）n。于是由X（1）又可得到θ的估計（F（1）n）。此時，可得到估計誤差Tn的Bootstrap統(tǒng)計量R（1）n，即

R（1）n=（F（1）n）-（Fn）（2）

重復(fù)抽取多組再生子樣X（i），i=1，2，…，m，可計算相應(yīng)R（i）n，i=1，2，…，m，并利用R（i）n的分布去逼近Tn的分布，并根據(jù)式（1）得到θ（F）的樣本，即

θ（i）（F）=（Fn）-Tn≌（Fn）-R（i）n（3）

該方法與傳統(tǒng)統(tǒng)計方法相比，在小樣本估計中具有較高精度。

1.2?Bayes?Bootstrap方法

Bayes?Bootstrap方法，即隨機(jī)加權(quán)自助法，也是將子樣信息“提攜”的方法，是對Bootstrap方法的改進(jìn)。其原理主要利用Dirichilet隨機(jī)向量對子樣X=（X1，…，Xn）進(jìn)行加權(quán)，從而計算隨機(jī)加權(quán)統(tǒng)計量Dn，進(jìn)而利用Dn模仿估計誤差Tn的分布。具體方法如下：

設(shè)子樣X=（X1，…，Xn）來自于未知總體分布F，μ和σ2為F的未知期望和方差，和S2為X的統(tǒng)計期望和方差，則估計誤差為

T1=-μ（4）

T2=nn-1S2-σ2（5）

式中，T1和T2為期望的估計誤差和方差的估計誤差。生成N個參數(shù)為（1，…，1）的Dirichilet隨機(jī)向量Vi=（vi1，vi2，…，vin），i=1，2，…，N，可獲取隨機(jī)加權(quán)統(tǒng)計量為

Di1=∑nk=1vikxk-（6）

Di2=nn-1∑nk=1vik（xk-）2-nn-1S2（7）

利用Di1和Di2模仿估計誤差T1和T2的分布，根據(jù)式（4）和式（5），可得

μ=-T1≈-1（8）

S2=nn-1S2-T1≈nn-1S2-2（9）

已有成果的實際應(yīng)用及仿真計算表明，該方法分析精度較高于Bootstrap方法[14]。

2?Bayes決策理論

Bayes決策理論是模式識別問題中經(jīng)典的分類決策理論，其基本思想是通過各狀態(tài)下的先驗概率分布推定后驗概率[15]。根據(jù)決策規(guī)則，Bayes決策又分為基于最小錯誤率[16]和基于最小風(fēng)險的Bayes決策[17]。

2.1?基于最小錯誤率的貝葉斯決策

假設(shè)共有m個決策狀態(tài)總體W=（w1，w2，…，wm），已知其先驗概率P（wi），i=1，2，…，m，依據(jù)前文小樣本統(tǒng)計理論可推定各狀態(tài)下特征參數(shù)x的分布模型，并獲得其類條件概率密度P（x|wi）。則根據(jù)Bayes公式，可得各狀態(tài)后驗概率為

P（wi|x）=P（x|wi）P（wi）∑mi=1P（x|wi）P（wi）（10）

并有決策規(guī)則：若P（wi|x）=max＼[P（wi|x）＼]，則x∈wi。此類決策規(guī)則稱為基于最小錯誤率的貝葉斯決策。

2.2?基于最小風(fēng)險的貝葉斯決策

實際決策過程中除了錯誤率外，有時也需要考慮決策錯誤所帶來的風(fēng)險，在這種情況下，通常可以選擇基于最小風(fēng)險的貝葉斯決策方法[18]。

基于最小風(fēng)險的貝葉斯方法在基于最小錯誤方法上引入了“損失”的概念，即把屬于wi的狀態(tài)錯判為aj狀態(tài)的損失，可記為cji，一般決策損失表如表1所示。

根據(jù)表1及前文所得后驗概率，可計算決策為wi的狀態(tài)條件風(fēng)險為

R（wi|x）=E＼[c（i|j）＼]=∑mj=1c（j|i）P（wj|x）（11）

并有決策規(guī)則：若R（wi|x）=min＼[R（wi|x）＼]，則x∈wi。

3?應(yīng)用實例

基于貝葉斯方法的裝備狀態(tài)評估，實質(zhì)上就是將裝備的技術(shù)狀況劃分為從優(yōu)到劣幾個等級的問題，本文以裝甲車輛發(fā)動機(jī)狀態(tài)評估為例，并依據(jù)摩托小時（使用時間）將其技術(shù)狀況分為“優(yōu)”、“良”、“一般”、“較差”、“差”這5個等級，分別以“0～200”，“200～300”，“300～400”，“400～500”，“500～600”這5個階段統(tǒng)計特征表示，即有W=（w1，w2，w3，w4，w5）={“優(yōu)”，“良”，“一般”，“較差”，“差”}。

3.1?特征提取

評估發(fā)動機(jī)技術(shù)狀況的參數(shù)很多，但實踐證明，通過減速時間評估技術(shù)狀況是一種簡單有效的辦法[19]，因此本文選取柴油機(jī)減速時間作為技術(shù)狀況評估的特征參數(shù)。減速時間是指發(fā)動機(jī)在最高空轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速下運(yùn)轉(zhuǎn)時迅速停止供油，使其自行減速，計算從最高空轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速減到轉(zhuǎn)速為0的時間。隨著使用時間增長，發(fā)動機(jī)活塞缸套磨損增加，阻力減小，減速時間將變長[20]。

發(fā)動機(jī)瞬時轉(zhuǎn)速如圖1所示，將實際計算瞬時轉(zhuǎn)速從n3減速到n4的時間作為發(fā)動機(jī)減速時間，此時取n3=2?200?r/min，n4=800?r/min。

依此方法在5種技術(shù)狀況等級下，分別對同一型號6輛不同摩托小時的裝甲車輛進(jìn)行測試，提取減速時間，并作為統(tǒng)計樣本，用以計算該等級下分布特征，以檢驗本文評估方法的準(zhǔn)確性。另外，隨機(jī)抽取5輛未知狀況的裝甲車，提取修正減速時間作為測試樣本，利用本文方法對其進(jìn)行評估。統(tǒng)計樣本減速時間如表2所示，測試樣本減速時間如表3所示。

3.2?小樣本統(tǒng)計

假設(shè)發(fā)動機(jī)減速時間在各個使用階段均服從正態(tài)分布，利用Bayes?Bootstrap小樣本統(tǒng)計方法，對各個階段減速時間進(jìn)行統(tǒng)計，根據(jù)式（4）～式（9），得各階段分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，Bayes?Bootstrap法下各技術(shù)狀況分布特征如表4所示，各技術(shù)狀況等級分布特征如圖2所示。由表4和圖2可以看出，減速時間隨技術(shù)狀況等級變化較為明顯，因此能夠較好地反映發(fā)動機(jī)技術(shù)狀況的變化。

3.3?基于Bayes決策的狀態(tài)評估

由于測試車輛摩托小時在0～600?h內(nèi)呈均勻分布，因此各狀態(tài)的先驗概率為

P（W）=＼[1/3，1/6，1/6，1/6，1/6＼]

考慮評估過程中錯誤率的存在，根據(jù)經(jīng)驗，引入發(fā)動機(jī)狀態(tài)評估決策損失C，發(fā)動機(jī)狀態(tài)評估決策損失如表5所示。

3.4?評估準(zhǔn)確性對比

根據(jù)表4及式（10）和式（11），分別利用兩種Bayes方法對統(tǒng)計樣本進(jìn)行評估，統(tǒng)計樣本評估結(jié)果如表6所示。

由表6可以看出，利用兩種Bayes方法均能夠準(zhǔn)確評估發(fā)動機(jī)技術(shù)狀況，評估準(zhǔn)確率達(dá)90%以上，并且基于最小風(fēng)險的Bayes評估方法具有更好評估效果。

3.5?測試樣本狀態(tài)評估

采用基于最小風(fēng)險的Bayes評估方法，對表3測試樣本進(jìn)行評估，在5種狀態(tài)下，各測試樣本的條件風(fēng)險及評估結(jié)果如表7所示。

由表7可以看出，評估結(jié)果符合裝甲車輛技術(shù)狀況隨使用時間增加而逐漸變差的一般規(guī)律，證明該方法在裝備狀態(tài)評估中的實用性及可行性。

該方法還能判斷測試樣本的變化趨勢，例如測試樣本1根據(jù)表7被評估為“優(yōu)”狀態(tài)，但其“良”狀態(tài)的風(fēng)險與“優(yōu)”狀態(tài)只有很小差別。因此，可判斷該樣本接近“優(yōu)”狀態(tài)與“良”狀態(tài)的邊緣，即將退化為“良”狀態(tài)。依據(jù)該方法可以對即將變“差”的車輛提前進(jìn)行預(yù)防性維修，以降低故障風(fēng)險。

4?結(jié)束語

本文通過結(jié)合Bootstrap小子樣統(tǒng)計方法及Bayes決策法，有效地解決了小樣本條件下的裝甲裝備狀態(tài)評估的問題，并以裝甲車輛發(fā)動機(jī)為例，驗證了該方法的有效性。采用Bootstrap小子樣統(tǒng)計方法，能夠有效擴(kuò)充發(fā)動機(jī)狀態(tài)參數(shù)樣本，實現(xiàn)小樣本條件下的裝備狀態(tài)評估的先驗統(tǒng)計;Bayes決策法在裝備狀態(tài)評估過程中，不但考慮了各技術(shù)狀況出現(xiàn)的概率，還考慮了錯誤評估的風(fēng)險，比其他技術(shù)狀況評估方法更具合理性;采用本文方法進(jìn)行裝甲車輛發(fā)動機(jī)的技術(shù)狀況等級評估，評估結(jié)果較符合實際規(guī)律，正確率可達(dá)90%以上。該研究具有一定工程實用性及可行性。

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Equipment?States?Evaluation?Based?on?Bayes?Method?with?Small?Sample

GU?Guangyu，?LIU?Jianmin，?QIAO?Xinyong

（Vehicle?Engineering?Department，?Army?Academy?of?Armored?Forces，?Beijing?100072，?China）

Abstract：??In?order?to?solve?the?problem?that?the?technical?condition?of?armored?equipment?can?not?be?accurately?measured?by?using?the?service?life?alone?under?the?condition?of?small?sample，?this?paper?takes?the?engine?state?evaluation?of?armored?vehicle?as?an?example，?and?analyzes?the?effectiveness?and?applicability?of?the?characteristic?parameters?distribution?in?each?technical?condition?of?the?equipment?under?the?condition?of?small?sample.??At?the?same?time，?the?Bayes?decision?method?is?used?to?evaluate?the?equipment?status?from?two?aspects：??the?probability?of?the?equipment?belonging?to?each?technical?condition?grade?and?the?misjudgment?risk.??The?evaluation?results?show?that?both?Bayes?methods?can?accurately?evaluate?the?engine?technical?status，?and?the?evaluation?accuracy?is?larger?than?90%.??The?Bayes?evaluation?method?based?on?minimum?risk?has?better?evaluation?effect?and?higher?evaluation?accuracy，?which?accords?with?the?general?law?that?the?technical?condition?of?armored?vehicles?becomes?worse?with?the?increase?of?service?time.??This?method?is?practical?and?feasible?in?equipment?condition?evaluation.

Key?words：??states?evaluation;?small?sample;?Bayes?decision;?engine