淺談直角三角形射影定理

胡軍

【摘要】本文從切割線定理和相交弦定理的概念出發，指出通過相似三角形證明直角三角形射影定理的局限性，并提出從切割線定理和相交弦定理的運動的角度來研究直角三角形射影定理.本文指出直角三角形射影定理是切割線定理的特殊形式或是相交弦定理的特殊形式結合垂徑定理的轉化.進一步論述了直角三角形一定滿足直角三角形射影定理，但是滿足直角三角形射影定理的三角形不一定是直角三角形.

【關鍵詞】切割線定理;相交弦定理;直角三角形射影定理

直角三角形射影定理雖然可以通過相似三角形證明而得，但是如果我們單純從直角三角形射影定理來看，感覺幾個公式不好記，有時反而容易搞混淆.經查閱，也沒有以切割線定理和相交弦定理的運動的角度來研究直角三角形射影定理的相關資料.誠然，在學了切割線定理和相交弦定理之后，再從切割線定理和相交弦定理的角度來研究直角三角形射影定理，會給我們一種“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處”的感覺，也讓我們對知識的鏈接有了更清晰的脈絡.

一、從切割線定理來談直角三角形射影定理

1.如圖1所示，AC是⊙O的切線，AB是⊙O的割線，與⊙O交于點D，則AC2=AD·AB.

如圖2所示，AC是⊙O的切線，AB是⊙O的割線，當B，O，C共線時，連接BC和CD，易證△ABC，△BCD和△ACD是直角三角形.此時的切割線定理AC2=AD·AB是直角三角形射影定理中的一條.

二、從相交弦定理來談直角三角形射影定理

1.如圖3所示，AB，CE為⊙O的兩條弦，交于⊙O的內部，則CD·DE=AD·BD.

如圖4所示，AB，CE是⊙O的兩條弦，AB與CE交于⊙O的內部，當AB運動到過圓心O，CE運動到與AB垂直時，垂足為D，易證△ABC，△BCD和△ACD是直角三角形.結合垂徑定理，易得CD=DE，此時的CD2=AD·BD是直角三角形射影定理中的另一條.

三、直角三角形射影定理

1.如圖5所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，則有射影定理如下：① BC2=BD·BA;② AC2=AD·AB;③ CD2=AD·BD.

綜上所述，直角三角形射影定理前兩個公式是切割線定理的特殊形式，后一個公式是相交弦定理的特殊形式結合垂徑定理的轉化.同時也讓我們從另一個新的角度去理解直角三角形射影定理，在運用過程中得心應手.當然從切割線定理和相交弦定理來談直角三角形射影定理，也充分說明了直角三角形一定滿足直角三角形射影定理，但是滿足直角三角形射影定理的三角形不一定是直角三角形.

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