逆向看問題 解題更迅疾

都穎

【摘要】逆向思維在中學數學解題中有著舉足輕重的地位，對學生數學核心素養的培養也起到了重要作用.本文將從逆向思維的對立方向和對立角度出發，旨在引導學生在數學解題過程中學會從正向和逆向靈活地看待問題，并熟練運用該思維解決問題.

【關鍵詞】逆向思維;中學數學;解題運用

數學思維根據其思維的方向可以分為正向思維和逆向思維[1].一般對學生而言，他們習慣于從正向來看待問題，這也是解題的一般思路，但有時順著思維正向解題時，會感到有分類討論種類煩瑣、計算篇幅長且復雜等各種各樣的困惑，甚至有些題目干脆顯示此路不通，這時如果加以引導，帶領學生體會從逆向解決問題的益處，不僅能夠提升學生的數學解題效率及正確率，還能夠為他們邏輯思維能力的提升打下堅實基礎.這么說來，在如今的中學數學解題訓練中，培養逆向思維的重要性就不言而喻了.

顯而易見，逆向思維也就是一種從對立的方向或對立的角度去考慮問題的思維方式，在如今的中學數學教材中，出現了很多的解題方法如反證法、分析法、逆否命題法等，都是這種思維方式的折射[1]，教師要善于將這種思維方法植入到學生的腦海中去，讓學生在日常的解題過程中靈活運用，做到出奇制勝.而筆者也將從該思維入手，從“逆向思維之對立方向”和“逆向思維之對立角度”兩個方面來談談逆向思維在中學數學解題中的神奇作用，旨在引導學生碰到此類問題能夠舉一反三，利用逆向思維快速解決問題.

一、運用逆向思維從對立方向解決問題

“對立方向”即“反方向”，在日常數學解題過程中，大多數學生都會存在一種正向的定式思維，也就是當他們拿到題目時，會先由各個已知條件得出其中隱藏的深意，再將這些隱藏的內容一一羅列，最終證明或解答，這也是我們常見的演繹思維中的“由因溯果”的解題策略.但有時，特別在一些證明題中，從那些已知條件入手，很難明白出題者想要考查學生哪些知識點，找不著點也就做不出題，但倘若從問題出發，反推出我們所需要的條件，然后在已知條件中對應尋找這些所需條件，題目的考查點和解題思路都會變得清晰可見，可知，“執果溯因”更能使解題過程暢通無阻.

（一）逆向巧解代數問題

在函數、不等式、方程等代數類問題的解題過程中，公式的選擇較為繁多，計算的步驟較為復雜，許多學生開始琢磨不透何時何地該選擇怎樣的概念與怎樣的公式才能快準狠地解決問題，為了在解題過程中少走些彎路，我們可以根據概念的逆運用與公式的逆運用，從結論出發，快速找出題設所需要的概念定理.

例1?設a，b∈R+且a≠b，求證：a3+b3>a2b+ab2.

分析?按照證明不等式的一般步驟，應為移項，然后合并同類項，令不等式大（小）于0即可，或者左右兩邊相除，比值大（小）于1即可，但此題采用這樣的形式解題，在解題過程中會出現很多問題，比如，合并同類項時應以a，b中哪個為未知數，哪個為常數，在做比值時怎樣判斷分子大還是分母大等等.此時，不如從結論出發，要證明a3+b3>a2b+ab2成立，就要證（a+b）（a2-ab+b2）>ab（a+b）成立，因為a，b∈R+，a+b>0，只需要證a2-ab+b2>ab成立，即（a-b）2>0成立，很顯然上式是成立的.

證明?上述分析已經從反方向推導出了令題中不等式成立的條件，于是在證明時，只要把我們反向推導出的結論當作條件，逆向推出題中要證明的不等式即可，證明如下：因為（a-b）2>0，所以a2-ab+b2>ab，又因為a，b∈R+且a+b>0，所以（a+b）（a2-ab+b2）>ab（a+b），即a3+b3>a2+ab2[2].

（二）逆向巧解幾何問題

無論是初中的相似全等，還是高中的點線面關系，又或者是空間幾何等問題，都會大量運用到這種逆向思維，因為在幾何問題中給出的已知條件幾乎都是在圖形中已經存在的邊角關系，學生很難在這些邊角關系中正向整理出出題者想要考的那個知識點，反而從結論出發，倒推出解題所需要的知識點，直至推到已知條件，這樣做會顯得更加快捷方便.

例2?如圖所示，在矩形ABCD中，將∠ABC繞點A按逆時針方向旋轉一定角度后，BC的對應邊B′C′交CD邊于點G.連接BB′，CC′，若AD=7，CG=4，AB′=B′G，則CC′BB′為多少？

分析?此題涉及了幾何圖形中線段長度的比值問題，常規思路就是分別計算CC′與BB′長度，然后作比，但是在這個幾何圖形中，發現所要求的兩條線段不在一個規則的圖形當中，可以說是相差甚遠，那怎么把它們聯系起來呢？于是，和大多數幾何題類似，反過來思考，嘗試從問題出發，在中學階段求兩條線段之比，除了在三角形中解出長度再作比，很容易想到的就是圖形的相似，那么CC′與BB′就在兩個相似三角形中，由于圖中BB′只存在于△ABB′中，而線段BB′所對應的角度恰好是一個旋轉角，C′也是由C轉過一個相同的角度后得到的，旋轉中心為A，于是很容易聯想到連接AC，AC′，這時會發現△ABB′與△ACC′相似，則CC′BB′=ACAB，也就是矩形對角線與寬之比，問題也就轉換成了求矩形的寬，已知CG=4，求出DG的長即可，于是令DG=x，要求線段長度，必定放在三角形中去求，于是又連接AG，構造直角三角形，由題意可知，AG=2AB′，AB′=AB=CD=4+x，于是在△ADG中可以解出x，求出矩形的寬.

解答?連接AC，AG，AC′，設DG=x，AB=AB′=B′G=DC=4+x，因為∠AB′G=90°，所以AG=2（4+x），在△ADG中，72+x2=2（4+x）2，解得x=1，所以AB=DC=5，AC=74.又因為∠BAB′=∠CAC′，ABAC=AB′AC′，所以△ABB′與△ACC′相似，所以CC′BB′=ACAB=745.

二、運用逆向思維從對立角度解決問題

“對立角度”即“反方面”，這也是逆向思維的另一個要義，也可以稱作為“求異思維”.如今很多的中高考題，為了評估學生的實際運用能力，考題中都會加上些實際情境，要求學生根據情境自主討論，然后盡可能從正面給出完整的解答，但有時情境情況一復雜，學生就會條理紊亂，錯情況的事件常常發生，如若嘗試著從反面進行解答，求其補集，再得正解，這樣的做法會顯得干凈利落、準確無誤.這種解題思想在排列組合的題型中出現得比較多，而反證法也是該思想的典型代表.

（一）逆向巧解排列組合問題

在高考中，排列組合及計數原理這一模塊運用反面求解的題型比較常見，在一個整體為“1”的事件中，若符合條件的正面事件出現的次數比較繁多且復雜，這時不妨嘗試著從對立角度看待問題，找出不符合條件的對立事件，用整體“1”減去這個對立事件的概率，得到的就是符合條件的事件概率.

例3?某公司有男演員6人，女演員4人，其中男、女隊長各1人.現要選派5人外出演戲.問：在下列情形中各有多少種選法？

（1）至少有1名女演員;（2）隊長中至少有一人被選派外出.

正面分析?（1）至少有1名女演員被選派外出包括了以下幾種情況：第一種，1名女演員4名男演員，即C14C46=60（種）;第二種，2名女演員3名男演員，即C24C36=120（種）;第三種，3名女演員2名男演員，即C34C26=60（種）;第四種，4名女演員1名男演員，即C44C16=6（種）.利用分類加法計數原理，可得至少有1名女演員被選派外出的選法有60+120+60+6=246（種）.（2）隊長中至少有一人被選派外出包括了以下幾種情況：第一種，只有男隊長被選派外出，即C48=70（種）;第二種，只有女隊長被選派外出，即C48=70（種）;第三種，男、女隊長都被選派外出，即C38=56（種）.利用分類加法計數原理，可得隊長中至少有一人被選派外出的選法有70+70+56=196（種）.

反面分析?（1）“至少有1名女演員”的反面為“全是男演員”，于是，只要從整體中扣除“全是男演員”的情況即可.整體的情況為從10人中任選5人，即共有C510=252（種），“全是男演員”的情況共有C56=6（種），則至少有1名女演員被選派的情況有252-6=246（種）.（2）“至少有1名隊長”的反面為“沒有隊長”，于是，只要從整體中扣除“沒有隊長”的情況即可.整體的情況為從10人中任選5人，即共有C510=252（種）.“沒有隊長”的情況共有C58=56（種）;則隊長中至少有一人被選派的情況有252-56=196（種）.

說明?根據上述正反分析，容易看出從對立面解決問題能省去許多不必要的分類討論.而在高考中，許多排列組合的題目都與此題類似，題目中總喜歡有“至少”“至多”等詞語的出現，適當地利用反面情形間接求解，體會逆向解題的快捷方便.

（二）逆向巧解綜合實踐問題

綜合實踐類問題主要是體現逆向思維在實際生活中的巧妙運用，實際應用問題不比精心設計過的純數學題，存在更加復雜的討論以及讓人琢磨不透的不確定因素，從正面解答往往會導致思維的混亂，結合數軸、集合等工具從反面解決問題有時會讓自己豁然開朗.

例4?某年級有50名學生參加了鋼琴、象棋興趣班，在學校舉辦的鋼琴、象棋技能大賽中，在鋼琴比賽中獲獎的有40人，在象棋比賽中獲獎的有31人，兩個比賽都沒有獲獎的有4人，問：兩個比賽都獲獎的有多少人？

正面分析?通過對題目的分析，我們發現，本題包含了四種人：鋼琴比賽得獎且象棋比賽也得獎的人、鋼琴比賽得獎但象棋比賽沒得獎的人、鋼琴比賽沒得獎但象棋比賽得獎的人、鋼琴比賽沒得獎且象棋比賽也沒得獎的人.根據已知題目條件，我們可以羅列出四個恒等式：四種人數之和=50、鋼琴比賽得獎且象棋比賽也得獎人數+鋼琴比賽得獎但象棋比賽沒得獎人數=40、鋼琴比賽得獎且象棋比賽也得獎人數+鋼琴比賽沒得獎但象棋比賽得獎人數=31、鋼琴比賽沒得獎且象棋比賽也沒得獎人數=4.于是，根據上述四種人與四個恒等式，我們可以聯想到設未知數解方程，所以，設鋼琴比賽得獎且象棋比賽也得獎人數x名、鋼琴比賽得獎但象棋比賽沒得獎人數y名、鋼琴比賽沒得獎但象棋比賽得獎人數z名，則有x+y+z+4=50，x+y=40，x+z=31，解出x=25，即為兩個比賽都獲獎的人數.

反面分析?“鋼琴比賽中獲獎的有40人”的反面為“鋼琴比賽中沒獲獎的有10人”，“象棋比賽中獲獎的有31人”的反面為“象棋比賽中沒獲獎的有19人”，由于兩個比賽都沒有獲獎的有4人，那么至少有一個比賽沒獲獎的有10+19-4=25（人），則剩下的人數就為兩個比賽都獲獎的人數，即為50-25=25（人）[3].

說明?根據上述正反分析，可知當題目中涉及的變量比較多時，可嘗試使用逆向求解的方法.此題的反面求解法也運用到了集合的思想，如果用Venn圖加以輔助說明，此題條理會變得更加清晰.

三、結束語

綜上所述，逆向思維在中學數學解題過程中的巧妙應用不僅可以提高學生的解題速度和正確率，還可以培養學生的直觀想象、邏輯推理等數學素養，同時逆向看待題目少了些彎彎繞繞，可以讓學生體會到解題成功的成就感，提高他們的解題興趣，讓他們愛上數學.

【參考文獻】

[1]許衛俊.逆向思維在高中數學解題中的應用[J].中學數學，2014（4）：52-53.

[2]王明禮.逆向思維在解題中的應用[J].中學教研（數學版），2007（7）：19-20.

[3]白北平.逆向思維在初中數學解題教學中的應用[J].中學數學，2018（12）：85-86.