古典概率計(jì)算中常見的錯(cuò)誤分析

肖紅梅

【摘要】古典概率是概率學(xué)的重要組成部分，對(duì)古典概率的學(xué)習(xí)主要是關(guān)于它的計(jì)算問題，古典概型的計(jì)算問題在中學(xué)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn).本文主要針對(duì)學(xué)生在古典概率計(jì)算中的易錯(cuò)點(diǎn)，進(jìn)行錯(cuò)誤分析，找到學(xué)生出問題的地方，希望對(duì)學(xué)生在古典概率的學(xué)習(xí)上能夠有所幫助.

【關(guān)鍵詞】古典概率;樣本空間;等可能;隨機(jī)事件

高中教科書中關(guān)于概率計(jì)算的問題包括兩個(gè)部分，分別是古典概率與幾何概率.本文主要通過列舉實(shí)際的古典概率的計(jì)算問題，來對(duì)古典概率計(jì)算中常見的幾個(gè)錯(cuò)誤進(jìn)行具體分析.

一、古典概率的定義與公式

對(duì)古典概率，首先是在假設(shè)隨機(jī)現(xiàn)象所能發(fā)生的事件是有限的、互不相容的，并且是在每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等的前提下進(jìn)行的.事實(shí)上，古典概率的假想世界是不存在的.一般地，設(shè)在所有可能出現(xiàn)的基本事件范圍內(nèi)構(gòu)成事件A的基本事件有N（A）個(gè)，總的基本事件個(gè)數(shù)是M，則出現(xiàn)事件A的概率是P（A）=N（A）M，這就是古典概率的計(jì)算公式，接下來我們通過幾道經(jīng)典的習(xí)題來分析一下學(xué)生常常出錯(cuò)的地方.

二、樣本空間的選擇錯(cuò)誤

（一）基本事件數(shù)與基本事件總數(shù)不屬于同一樣本空間

在古典概率的計(jì)算公式P（A）=N（A）M中，N（A），M分別是一個(gè)樣本空間中的事件A所含的基本事件數(shù)與基本事件總數(shù)，公式要求構(gòu)成A的基本事件個(gè)數(shù)N（A）與基本事件總數(shù)M要屬于同一個(gè)樣本空間，如果N（A），M在兩個(gè)不同的樣本空間，那么就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，為了便于我們的理解，來看下面兩道例題.

例1?某商店有24只燈泡，其中有4只是劣品，其余燈泡均可以正常發(fā)光，商店老板在這些燈泡中每次任取1只，取完后不放回，連續(xù)取3次，問取出的燈泡中恰好有一個(gè)是劣品的概率P（A）.

錯(cuò)解分析?情況一：因?yàn)闊襞菔且粋€(gè)一個(gè)取出來的，所以所有可能的取法與3次取得的順序是有關(guān)聯(lián)的，所以總的樣本空間為Ω1=P324，由此就得到了錯(cuò)誤答案：P（A）=C14C220P324.

情況二：因?yàn)榍蟮氖侨〕鰜淼?只燈泡中只有1只是劣品的概率，而不關(guān)心是哪一次取出來的，所以就沒有順序問題，總的樣本空間為Ω2=C324，由此得到錯(cuò)誤答案P（A）=P13（C14C220）C324.

此題的樣本空間有兩種取法，分別是有序與無序.產(chǎn)生這兩種錯(cuò)誤情況的原因是分子與分母分別在兩個(gè)不同的樣本空間中，也就是分子與分母的計(jì)算方法不同，導(dǎo)致出錯(cuò).

正確解答?此題的正確答案為P（A）=P13（C14C220）P324（有序）或P（A）=C14C220C324（無序）.

（二）樣本空間中的樣本點(diǎn)不是等可能的

古典概率的定義規(guī)定了古典概率要在假設(shè)事件發(fā)生的結(jié)果是有限的、等可能的前提下進(jìn)行的，如果忽略這一點(diǎn)就會(huì)得到錯(cuò)誤答案.所以學(xué)生在做題時(shí)一定要注意，所選擇的樣本空間的樣本點(diǎn)一定是等可能的.

例2?某人一次擲兩個(gè)骰子，求此人擲出的骰子數(shù)之和是偶數(shù)的概率P（A）.

錯(cuò)解分析?學(xué)生可能認(rèn)為一次試驗(yàn)后所有可能的結(jié)果有三種，分別是骰子數(shù)全部是奇數(shù)、全部是偶數(shù)和一奇一偶，由此得到錯(cuò)解P（A）=23.事實(shí)上，骰子數(shù)全為奇數(shù)、全為偶數(shù)和一奇一偶三種基本事件發(fā)生不是等可能的，全為奇數(shù)和全為偶數(shù)的概率都是14，而出現(xiàn)一奇一偶的概率是12，不符合古典概率的假設(shè)條件，所以就不能再運(yùn)用古典概率的公式來解答，因此，導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤.

正確解答?記（a，b）為一次擲兩個(gè)骰子的結(jié)果，其中a代表第一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，b代表第二個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，a或b可取的值為1，2，…，6，所以基本事件空間為6×6=36，事件A所包含的基本事件數(shù)為3×3+3×3=18，由此所求概率P（A）=1836=12.

三、常用的術(shù)語理解錯(cuò)誤

學(xué)生在學(xué)習(xí)古典概率問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到“至多”“至少”“不少于”“不超過”“都”“不都”“都不”“才是”等術(shù)語，這些詞都是解決問題的關(guān)鍵，只有正確地把握住這些詞的語境，才能將題目做正確.

例3?口袋中一共有10個(gè)球，其中白球8個(gè)，黑球2個(gè)，從中依次不放回地取出3個(gè)球，求第三個(gè)球是黑球的概率P（A）.

錯(cuò)解分析?通過審題可以知道要從口袋中依次不放回地取出3個(gè)球，所以與取球的先后順序有關(guān)聯(lián)，因此，總的事件空間為M=P310，但如果不能很好地理解此題中的關(guān)鍵詞，就很容易理解成就第三個(gè)球是黑球，導(dǎo)致出錯(cuò)，得到錯(cuò)誤答案P（A）=C12P28P310.

正確答案?第三個(gè)球是黑球的取法有C12種，而第一、二個(gè)球要從剩下的9個(gè)球中去取，所以可能的取法有P29種，因此，得到正確答案P（A）=C12P29P310.

四、概念混淆錯(cuò)誤

學(xué)生在剛接觸概率時(shí)，常常會(huì)把“頻率”當(dāng)作“概率”來進(jìn)行計(jì)算，導(dǎo)致出錯(cuò).頻率是在多次試驗(yàn)中某一事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總數(shù)的比值，概率是某一事件所固有的性質(zhì).頻率是變化的，概率是穩(wěn)定值，不變的.

例4?拋三次硬幣，求只出現(xiàn)兩次正面的概率P（A）.

錯(cuò)解分析?審?fù)觐}之后很多人可能認(rèn)為進(jìn)行三次試驗(yàn)，有兩次試驗(yàn)是正面，所以就會(huì)得到錯(cuò)誤答案P（A）=23，這是因?yàn)樽鲱}者誤將頻率當(dāng)成了概率.

正確答案?拋三次硬幣，總的基本事件空間Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，共8個(gè)基本事件，事件A={（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}，共3個(gè)基本事件，所以由古典概率計(jì)算公式可知P（A）=38.

五、小?結(jié)

通過以上的錯(cuò)誤分析，可以知道，我們?cè)谔幚砉诺涓怕实挠?jì)算問題時(shí)，可以從以上幾個(gè)方面進(jìn)行著手，做題并檢驗(yàn).值得注意的是本文提到的這幾個(gè)錯(cuò)誤，僅僅是學(xué)生在古典概率計(jì)算中常見的出錯(cuò)點(diǎn)，并不代表全部，所以在遇到具體問題時(shí)，我們要進(jìn)行具體分析.

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