用函數與方程思想解題

孫寬程

【摘要】函數與方程的思想是中學數學中最常見的一種思想，它能夠使我們在解題中保持最正確的分析方向，在思考的過程中掌握此類問題的推理技巧，因此，我們必須在相同的類型題中找到規律，舉一反三，做到遇到這種題目就能夠得心應手地解決.

【關鍵詞】函數;方程;思想;轉化

一、方?程

（一）方程的概念

含有未知數的等式叫作方程.

（二）方程的思想

通俗地說，方程的出現就是把一個問題運用逆向思維去解決，我們在解方程的時候不難發現，每次都是先設要求的答案為未知數，從后往前推進，在這個過程中我們會得到一個含有未知數的等式，這個等式就是我們說的方程，而這個過程就叫作構造方程，由此及彼，方程的思想就是運用逆向思維去尋找一個等量關系.

二、函?數

（一）函數的概念

一般地，在一個變化過程中，假設有兩個變量x，y，如果對任意一個x都有唯一確定的一個y和它對應，那么就稱x是自變量，y是x的函數.x的取值范圍叫作這個函數的定義域，相應y的取值范圍叫作函數的值域.

（二）函數的思想

函數與方程最大的不同就是函數可以運用圖像來解決一些棘手的問題，因此，我們在分析函數問題時，總是會選擇運用函數的圖像或者它本身的性質來處理，其他的過程與方程思想無異，建立新的函數，將所要求的問題轉變為函數問題，以此來解決原有問題.

三、函數與方程的思想在實例中的應用

（一）用函數與方程的思想解決關于不等式類型的問題

在我們所學過的知識中，與函數和方程聯系最緊密的應該就是不等式，以前學過的一元一次方程，一元一次不等式和一次函數之間的關聯，還有一元二次方程，一元二次不等式和二次函數之間的關聯.所以我們以后再學習這種題型的時候，可以適當地聯系函數思想或者方程思想，這樣可以非常方便地解決此類問題.

例1?求證不等式：y1-2y

證明?令f（y）=y1-2y-y2（y≠0），

由f（-y）=-y1-2-y+y2=-y（2y-1）2y-1+-y2y-1+y2=y1-2y-y2=f（y），

所以f（y）=y1-2y-y2是偶函數.

當y>0時，2y>20，即1-2y<0，可知f（y）<0.

當y<0時，-y>0，f（y）=f（-y）<0，

故當y≠0時，f（y）=y1-2y-y2<0，

即y1-2y

注意：這道題運用函數的奇偶性來證明不等式，這需要對函數的性質有深刻的理解和掌握，并能應用在實際問題中.

（二）用函數與方程的思想解決關于三角函數類型的問題

三角函數一般都是與方程的思想相結合，在解決此類問題時，應注意把方程中的隱含條件與三角函數值相對應，從而得到結論.

例2?有一個△ABC的三個內角∠1，∠2，∠3的大小正好構成了等差數列，∠1<∠3，又已知tan∠1·tan∠3=2+3，∠3對應的邊z上的高等于43，求△ABC的三邊長x，y，z的大小以及三個內角∠1，∠2，∠3的大小.

解?由題可知，

tan∠1·tan∠3=2+3能夠讓人聯想到△ABC中的恒等式tan∠1+tan∠2+tan∠3=tan∠1·tan∠2·tan∠3，

因此，tan∠1+tan∠3=tan∠2·（tan∠1·tan∠3-1）.

又因為∠1，∠2，∠3成等差數列，則∠2=π3，

所以tan∠1+tan∠3=3（1+3），

即tan∠1，tan∠3是方程x2-（3+3）x+2+3=0的兩個根，

由∠1<∠3，

可以解得tan∠1=1，tan∠3=2+3，

則∠1=π4，∠3=5π12.

由此可以得出x=8，y=46，z=43+4.

注意：我們在中學階段就學過韋達定理，這道題正好是逆向使用了這個定理，再結合三角函數值從而求得出結果.

（三）用函數與方程的思想解決關于數列類型的問題

我們在高中時期學過數列的通項公式，這是數列中最基礎也是最重要的部分.那我們來看一下，數列的通項公式是一個永久不變的等式，我們可以很容易地發現，這種方法能夠很好解決此類問題.那么我們如何用方程的思想解決數列問題呢？

例3?若在數列{an}中，a1=3，以后各項滿足an+1=an-23，則{an}的前（??）項和最大.

解?由題可知，

{an}是以3為首項，-23為公差的等差數列，

故Sn=3n+n（n+1）2·-23=-13（n-4）2+163，

當n=4時，Sn取到最大值，故答案填4.

也可以由an=-23n+113得知an是關于n的單調遞減函數，

因此，僅僅有前若干連續項為整數，它們的和為Sn的最大值，

由an≥0，an+1<0得n=4.

注意：數列問題是一個比較靈活的知識，具有函數與方程的兩種特點，因此，我們可以就題而論.

【參考文獻】

[1]羅建宇.函數與方程的思想在解題中的應用[J].中學數學研究，2008（2）：19-22.

[2]聶毅.函數與方程思想在高中數學解題中的應用[J].課堂內外·教研論壇，2013（1）：50-51.

[3]何曉勤.函數與方程思想在解題中的應用[J].高中數學教與學，2014（5）：5-8.