全概率公式的教學研究

李春娥 張曉 徐翔燕

【摘要】全概率公式是理論和應用相結合的知識點.通過對學校所在城市附近的塔里木河河水的含沙量的計算，激發學生學習全概率公式的興趣和潛能，引入計算復雜事件概率的思想——“分類討論，化繁為簡”，引入劃分概念和全概率公式后，以學生非常關心的大四考上研究生和找到工作的概率為例題，進行探討和研究.

【關鍵詞】分類討論;全概率公式;劃分

【基金項目】塔里木大學高等教育教學改革研究項目“課程思政”示范課程的課堂教學質量評價體系研究（TDGJYB1934）;塔里木大學應用多元統計分析“課程思政”示范課項目（2201029069）;塔里木大學重點課程項目“高等數學”220101405）.

全概率公式以條件概率公式、乘法公式和概率的有限可加性為基礎，全概率公式又是貝葉斯公式的基礎，因此，全概率公式在概率論中是非常重要的公式之一，也是考研內容之一.

在實際的生活中，常遇到難以用概率的有限可加性、乘法公式等直接計算出的復雜概率，怎么辦呢？考慮將復雜事件分解為多個部分，如果每個部分的概率能夠比較容易地計算，再把每個部分的概率求和，便得到了復雜事件的概率.

一、實際問題驅動，激起學習興趣

在回顧條件概率和乘法公式后，播放“遠方的家”錄制的“中國第一大內流河，塔里木河源頭的介紹”，其內容為：塔里木河全長2 179千米，由發源于天山的阿克蘇河，發源于昆侖山的葉爾羌河、和田河匯流而成.塔里木河自西向東蜿蜒于塔里木盆地北部，上游地區大多流經起伏不平的戈壁荒漠，所以來自冰山的融水含沙量大，河水很不穩定，被稱為“無韁的野馬”.通過這一小小的視頻讓學生了解塔里木河的源頭和塔里木河河水的特點，同時激起學生學習的興趣.接著提出以下問題.

問題1?已知阿克蘇河、和田河和葉爾羌河的含沙量和流量比（見表1），試計算塔里木河河水的含沙量是多少？

分析?易知三河交匯后塔里木河的河水含沙量為

P=710×3.86+210×9.85+110×3.2=4.992 kg/m3.

交匯后的含沙量，是原來各支流含沙量的加權求和，其權重就是各支流的流量比.

求解的過程充分體現了分類討論、化繁為簡的思想，使學生掌握其求解思想.在概率論與數理統計中也常遇到求復雜事件的概率，是否也可以用分類討論、化繁為簡、化整為零的思想解決復雜事件的概率問題呢？由于要分類，下面引出劃分的概念.

二、全概率公式及其應用

定義[1]?設Ω為試驗E的樣本空間，A1，A2，…，An為E的一組事件，若

（1）A1∪A2∪…∪An=Ω;

（2）Ai∩Aj=，

則稱A1，A2，…，An為樣本空間Ω的一個劃分，或稱為一個完備事件組.

從Venn圖上解釋劃分的概念，關鍵在于對樣本空間進行分開和分完，另外，樣本空間的劃分是不唯一的.

定理（全概率公式）[2]?若A1，A2，…，An為樣本空間Ω的一個劃分，且P（Ai）>0，i=1，2，…，n對Ω中的任一事件B，有

P（B）=∑ni=1P（Ai）P（B|Ai）.

證明見參考文獻[2].

分析?從內容上來看，事件B發生的概率不易直接求得，但積事件AiB（i=1，2，…，n）的概率通過乘法公式可以求得，即條件概率P（B|Ai），P（Ai）在題目中已知或通過簡單計算易求.

從Venn圖上對全概率公式進行直觀的解釋，事件B與樣本空間Ω的一個劃分A1，A2，…，An的每一部分都有交集，直接求事件B的概率沒有頭緒，通過求積事件AiB（i=1，2，…，n）概率的和，求得事件B的概率，這里積事件AiB（i=1，2，…，n）的概率是通過乘法公式求得的.如果視A1，A2，…，An為“原因”，那么B就是“結果”，每個原因都可能導致B發生，故發生B的概率是各原因引起B發生的概率的總和.

問題2?假設你大四報考新疆大學的研究生，你能否通過建立模型利用全概率公式，計算自己考上新疆大學研究生的概率？

分析?帶領學生思考哪些主要因素影響考研復習，對這些主要因素（如學習環境、學習態度、教師教學水平和學校的管理等）的重要性賦予合理的權重，在這些因素的影響下對考上新疆大學研究生的概率（即條件概率）進行賦值.

大四時考上研究生的概率是學生非常關心的問題之一，能夠引起學生對未來的關注.學生不僅“學其概率”，而且在生活中“用其概率”，使學生了解到全概率公式還可以對未來進行預測.假設某大四學生在考研筆試成績出來后，得知有一門課程沒過線，你能否幫他計算一下，他找到工作的概率，具體問題如下.

問題3?我校某名大四學生在南疆、北疆和疆外找工作的概率分別是50%，30%和20%，而在南疆、北疆和疆外被聘用的概率分別是0.9，0.4和0.1，試求該畢業生找到工作的概率.

解?設A1={畢業生在南疆找工作}，

A2={畢業生在北疆找工作}，

A3={畢業生在疆外找工作}，

B={畢業生找到工作}.

由題意知

P（A1）=50%，P（A2）=30%，P（A3）=20%，

P（B|A1）=0.9，P（B|A2）=0.4，P（B|A3）=0.1.

由全概率公式得

P（B）=∑3i=1P（Ai）P（B|Ai）

=50%×0.9+30%×0.4+20%×0.1

=0.59.

該畢業找到工作的概率僅為0.59，如果該畢業生提前決定只在南疆找工作，則他找到工作的概率為0.9.因此，在兵團向南發展亟須大量人才的大背景下，鼓勵學生扎根邊疆，為南疆經濟社會的發展貢獻一分力量.

思考：若已知該名畢業生找到工作，求他在南疆工作的概率是多少？由此引出貝葉斯公式.

三、總?結

全概率公式用于求復雜事件B的概率，求解的方法是將復雜事件B分解為n個部分，即樣本空間的一個劃分與事件B的n個積事件，選擇的樣本空間劃分要便于計算積事件的概率，積事件的概率利用乘法公式計算，再對其概率求和.其求解的過程體現了分類討論、化繁為簡的數學思想.從另一方面來說，全概率公式用于已知每個因素發生的概率和每個因素發生的條件下結果發生的概率，求結果發生的概率，即全概率公式用于“由因索果”事件.

在學習的過程中，使學生知其概率的基本理論，培養學生運用概率方法，建立簡單的概率、統計模型解決實際問題的能力，提升邏輯推理能力、自主學習的能力，增強創新能力和應用能力，進而提高學生的數學素質，為學生今后學習專業課程打下必要的數學理論基礎.最終，達到培養創新型、復合型、應用型人才的目的.

【參考文獻】

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程：第2版[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅，等.概率論與數理統計：第4版[M].北京：高等教育出版社，2011.