基于代數(shù)余子式的四階行列式對(duì)角線法則展開法

卓穆湘

【摘要】線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)及研究生考試的一門基礎(chǔ)課程，而行列式是線性代數(shù)的一個(gè)重要的基本工具，下文是基于二階和三階行列式對(duì)角線法則，以及代數(shù)余子式計(jì)算方法，通過總結(jié)規(guī)律，推導(dǎo)出四階行列式展開公式，并附此展開公式的應(yīng)用案例.

【關(guān)鍵詞】對(duì)角線法則;四階行列式;代數(shù)余子式;行列式展開公式

一、引?言

行列式是線性代數(shù)重要的內(nèi)容之一，且在線性代數(shù)中占有重要地位，因此，有必要對(duì)行列式進(jìn)行研究，在《線性代數(shù)》教材[1]中僅介紹二階和三階行列式的對(duì)角線法則，然后找出規(guī)律，給出n階行列式的定義，但對(duì)角線法則無法對(duì)四階行列式展開，本文運(yùn)用代數(shù)余子式推導(dǎo)出四階行列式完全展開公式.

二、基于對(duì)角線法則展開的三階行列式

三階行列式按圖1對(duì)角線法則展開，有

圖1中左傾的實(shí)線可看作是平行于主對(duì)角線的連接線，右傾的虛線可看作是平行于副對(duì)角線的連接線，行列式外添加了做輔助連接線的兩列元素，與第一列和第二列元素相同.實(shí)線上三個(gè)元素的乘積項(xiàng)冠以正號(hào)，虛線上三個(gè)元素的乘積項(xiàng)冠以負(fù)號(hào)，每項(xiàng)均為行數(shù)列數(shù)不同的三個(gè)元素的乘積.

三、四階行列式的完全展開公式

在四階行列式中，分別對(duì)第一行元素a1j（j=1，2，3，4）劃去所在行和所在列，余下一個(gè)三階行列式，即余子式.把余下的三階行列式按對(duì)角線法則完全展開，以（-1）1+ja1j左乘三階展開式，得到六個(gè)不同行、不同列的展開項(xiàng)，共有四組不同的六個(gè)展開項(xiàng).

可按圖2中四個(gè)圖進(jìn)行理解，（a）（b）（c）（d）四個(gè)圖中依次劃去了第一行第一列、第一行第二列、第一行第三列、第一行第四列，將余下的三階行列式按對(duì)角線法則展開，再分別以第一行元素（-1）1+ja1j（j=1，2，3，4）左乘對(duì)應(yīng)三階展開式，得到四組不同的六個(gè)展開項(xiàng).所有展開項(xiàng)相加即四階行列式完全展開公式.第一行元素對(duì)應(yīng)的三階余子式按對(duì)角線法則展開，即實(shí)線上三個(gè)元素乘積冠正號(hào)，虛線上三個(gè)元素乘積冠負(fù)號(hào)，可以發(fā)現(xiàn)四階展開式各項(xiàng)符號(hào)由首元素下標(biāo)1+j（j=1，2，3，4）和的奇偶性與三階行列式展開后各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)決定.

由代數(shù)余子式推導(dǎo)出四個(gè)四階展開式相加即得到四階行列式完全展開公式：

四、用推導(dǎo)四階行列式展開公式的思想解決行列式中未知數(shù)系數(shù)問題

例?設(shè)

則f（x）中，x3的系數(shù)是.[2]

分析?四階行列式分別劃去第一行不同列元素，對(duì)應(yīng)的行列式如圖3所示.

當(dāng)劃去第一行的第一列元素時(shí)，按四階行列式展開帶未知數(shù)x的項(xiàng)有-2x3，同理，劃去第二列元素有-x2、8x、10x，劃去第三列元素有-4x、-8x2，劃去第四列元素有-x4，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)劃去第一行第一列時(shí)才有未知數(shù)x的三次方，對(duì)應(yīng)的四階行列式展開項(xiàng)為a11a23a32a44=-2x3，故x3的系數(shù)為-2.

五、結(jié)?論

四階行列式完全展開公式按對(duì)角線法則無法給出，但引入代數(shù)余子式概念后，結(jié)合對(duì)角線法則可以方便地給出四階行列式完全展開公式，具體的可按照?qǐng)D示方法來理解和操作.理解和掌握這一方法及背后的思想，對(duì)研究四階行列式有一定意義.

【參考文獻(xiàn)】

[1]?同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]李永樂，王式安，武忠祥.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書[M].北京：國(guó)家行政學(xué)院出版社，2018.

[3]劉希強(qiáng)，趙穎，王璞.四階行列式對(duì)角線法則的圖解法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014（1）：93-95.