分段函數求導的若干問題

張禮林

【摘要】求分段函數的導函數或分段點處的導數是高等數學學習中的難點，大多數學生在解這類問題時會遇到困難或理解不透.本文從導數極限定理及其證明出發，給出導函數連續的判定定理，結合實例闡明分段函數求導的關鍵要點.

【關鍵詞】分段函數;單側導數;導數極限定理

【基金項目】紹興市課堂教學改革項目（SXSKG2017091）.

在分段函數求導問題中，大多數學生能夠理解為什么在分段點處要用導數定義，但因為有時遇到的分段函數直接求導跟用導數定義所得結果并無差別，這就導致很多學生不明白個中原因.

例如，求分段函數

F（x）=f（x），a

的導數，在f（x），g（x）可導下，直接求導得

F′（x）=f′（x），a

這種結果在分段點處的導數時對時錯.常規的做法是在函數連續的情況下用導數定義進行判斷，不過在一定條件下也可用導數極限方法，這在一些文獻中也有提及[1-4].但對高職或高中學生而言，定理表述上還應精煉，證明要簡潔易懂，而且例題要更有代表性，所以還有必要對這一問題進行探討，并且文中還給出另一重要推論，這些結論對理解分段函數的導數意義明顯.

一、導數極限定理及其推論

分段函數在除分段點外均可導的情況下，求其導數顯然只要討論分段點處的可導性，通常用導數定義進行判斷，這涉及分段函數在分段點處的連續性和左右導數.下面從導數極限定理出發，介紹一些常用的結論，便于理解什么情況下不必用導數定義，什么情況下要用導數定義.

引理?如果函數f（x）在（a，x0]（或[x0，b））上連續，在（a，x0）（或（x0，b））內可導，且 limx→x-0f′（x）=A（或 limx→x+0f′（x）=B），則f（x）在點x0處左導數（右導數）存在，且f′-（x0）=A（或f′+（x0）=B）.

下面證明f（x）在點x=x0處左側導數的情形.

證明?由于函數f（x）在（a，x0]上連續，在（a，x0）內可導，顯然函數f（x）在[x，x0]（a，x0]上連續，在（x，x0）（a，x0）內可導，運用拉格朗日中值定理可得

f′-（x0）=limx→x-0f（x）-f（x0）x-x0=limx→x-0f′（ξ）（x-x0）x-x0

=limx→x-0f′（ξ）=limξ→x-0f′（ξ）=A，

這里，由于ξ∈（x，x0），所以有x→x-0ξ→x-0，即證得f（x）在點x0處左導數存在，且f′-（x0）=limx→x-0f′（x）=A.

類似地，可以證明f（x）在點x=x0處右側導數的情形.

定理?設函數f（x）在點x0的δ鄰域內連續，在點x0的δ去心鄰域內可導，若f′（x0-0）和f′（x0+0）均存在，則f′（x0）存在的充要條件是f′（x0-0）=f′（x0+0），且

f′（x0）=f′（x0-0）=f′（x0+0）.

證明?由函數在點x0處導數存在的充要條件是f′-（x0）與f′+（x0）存在，且f′-（x0）=f′+（x0），根據引理有f′-（x0）=f′（x0-0），f′+（x0）=f′（x0+0），故在定理的條件下f′（x0）存在的充要條件是f′（x0-0）和f′（x0+0）相等.

推論?設函數f（x）在點x0的δ鄰域內連續，在點x0的δ去心鄰域內可導，若f′（x0-0）和f′（x0+0）均存在且相等，則f（x）的導函數在點x0處連續.

證明?因為f′（x0-0）=f′（x0+0），

所以 limx→x0f′（x）存在，

且limx→x0f′（x）=f′（x0-0）=f′（x0+0）.

由定理可知f′（x0）存在且

f′（x0）=f′（x0-0）=f′（x0+0），

即 limx→x0f′（x）=f′（x0）.

根據推論，可以斷定不存在滿足推論條件的函數，其導數具有第一類間斷點.

二、典型例題

例1?求函數f（x）=x2+ex，x≤0，x+cosx，x>0 的導函數.

分析?因f（x）在點x=0處連續，且當x≠0時，

f′（x）=2x+ex，x<0，1-sinx，x>0.

又 limx→0-f′（x）=limx→0-（2x+ex）=1，

limx→0+f′（x）=limx→0+（1-sinx）=1，

即f′（0-0）=f′（0+0）=1.

根據定理，f（x）在點x=0處可導，

且f′（0）=f′（0-0）=f′（0+0）=1，

解得f′（x）=2x+ex，x≤0，1-sinx，x>0.

例2?已知函數f（x）=ex，x≤0，ax2+bx+c，x>0 在點x=0處的f″（0）存在，試確定a，b，c的值.

分析?因為已知函數在x=0處的二階導數存在，所以f（x）和f′（x）在x=0處都要連續，

因此，f（0-0）=f（0+0）=1，f′（0-0）=f′（0+0）=1，

得c=1，b=1.

又當x≠0時，f″（x）=ex，x<0，2a，x>0，

由此得f″（0-0）=1，f″（0+0）=2a.

根據定理，f″（0）存在的充要條件是f″（0-0）=f″（0+0）=2a=1，

即a=12，

綜上，a=12，b=1，c=1.

例3?求函數f（x）=ln（1-x2），x≤0，x2sin1x，x>0 在點x=0處的導數.

分析?當x≠0時，由已知函數得

f′（x）=-2x1-x2，x<0，2xsin1x-cos1x，x>0，

所以 limx→0-f′（x）=0，limx→0+f′（x）不存在，

但是f′-（0）=limx→0-ln（1-x2）x=0，

f′+（0）=limx→0+x2sin1xx=0，

所以f′（0）=0.

例4?討論函數f（x）=arctan1x，x≠0，0，x=0 在x=0處的可導性[4].

分析?當x≠0時，f′（x）=-11+x2，

所以 limx→0f′（x）=-1，

但是 limx→0f（x）=limx→0arctan1x不存在，即f（x）在x=0處不連續，顯然f（x）在x=0處不可導.

例1和例2說明，如果函數滿足定理的條件，求分段點處的導數可不必用導數定義，尤其如例2，其解題方法比用導數定義要簡練;而例3和例4說明，定理的運用應注意其適用的條件，即函數在分段點連續以及導函數在該點的左右極限存在且相等.

三、結?論

特別對高職學生而言，分段函數的求導問題一直是個難點，原因在于分不清什么情況下可以直接求導，什么情況下又不可以直接求導.文中給出導數極限定理及其推論和證明，在理論上闡明這一問題，對學生理解分段函數求導問題會有幫助.當然，導數定義方法和導數極限方法在不同的題型中各有千秋，譬如，當導函數極限并不簡單時，導數極限方法反而更煩瑣，而且導數極限方法也有其適用條件.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]房小棟.關于分段函數求導方法的研究[J].數學學習與研究，2015（15）：107-108.

[3]張立卓，孫輝.分段函數在分界點求導的一個方法[J].高等數學研究，2001（3）：20-22，43.

[4]王禧宏.關于分段函數在分界點處導數問題的討論[J].高等數學研究，1999（3）：13.