復變函數(shù)論中的解析函數(shù)教學探析

李曉焱

【摘要】在針對復變函數(shù)展開研究的過程中，較為關鍵的內(nèi)容之一就是解析函數(shù)，其具備較為關鍵的性質(zhì)且應用范圍較為廣泛.因此，在學習復變函數(shù)論的過程中，一定要針對解析函數(shù)的概念與性質(zhì)展開全面了解.基于此，在本篇文章中先闡明了如何理解解析函數(shù)的定義與判別，進而針對復變函數(shù)論中的解析函數(shù)教學展開全面分析，旨在為相關人員提供參考依據(jù).

【關鍵詞】復變函數(shù)論;解析函數(shù)教學;研究

【基金項目】雙解析函數(shù)與解析函數(shù)一些問題的研究與應用（2016CXY-12）.

在計算機、電子等專業(yè)課程中復變函數(shù)是必修課之一，主要是由高等數(shù)學發(fā)展而來，如今其已經(jīng)逐漸變成高等數(shù)學的延續(xù).其實復變函數(shù)和實變函數(shù)這兩者較為相似，但卻有著很多不同之處，這樣在學習時就會認為復變函數(shù)的內(nèi)容會更加抽象，而且復變函數(shù)的教學時間遠比高等數(shù)學的教學時間短，這就會導致學生無法充分學習復變函數(shù)的相關知識.而在復變函數(shù)中，較為關鍵的內(nèi)容就是針對解析函數(shù)展開研究，因此，在學習復變函數(shù)的過程中，一定要針對其中的解析函數(shù)教學展開全面探析.

一、理解解析函數(shù)的定義與判別

復變函數(shù)屬于一種定義一類復數(shù)集合到另一類復數(shù)集合的映射關系，而解析函數(shù)則是定義在某一復數(shù)領域中處處可微的復變函數(shù).復變函數(shù)無論在某一點解析或某一復數(shù)集合內(nèi)解析，都可以針對某一個區(qū)域內(nèi)處處可微.因此，復變函數(shù)可微并不等價于函數(shù)解析，除非是在特定的區(qū)域內(nèi)，但是從基礎上而言，復變函數(shù)與實變函數(shù)之間的可微性具備較大的區(qū)別.解析函數(shù)所對應的兩個二元實變函數(shù)屬于一個非獨立體，而在實際應用這類定義或定理的過程中，部分學生會將對復變函數(shù)定義的記憶轉變?yōu)槎ɡ恚@時在實際運用的過程中就會出現(xiàn)較大的偏差，最終就會影響到實際解題的準確性，而這時教師就需要教授學生多種復變函數(shù)解題的定義與定理，并確保學生可以靈活運用這類定義與定理，從根本上確保學生可以靈活運用不同的方式判別函數(shù)的解析性，這也是研究解析函數(shù)的主要基礎[1].

二、解析函數(shù)的微分性質(zhì)與積分性質(zhì)

（一）解析函數(shù)的微分性質(zhì)

一個解析函數(shù)不僅具備一階導數(shù)，同時其還包含了各個高階導數(shù)，這一特點與實變函數(shù)的特點之間存在著較大的不同之處.解析函數(shù)高階導數(shù)存在的證明，不能完全通過簡單的定義與定理來獲取，而是通過解析函數(shù)的積分性質(zhì)來推算出解析函數(shù)的高階導數(shù).通過解析函數(shù)的無窮次可微性可以進一步了解到二元函數(shù)u（x，y），v（x，y），這樣一來就可以更加有效地了解到解析函數(shù)的性質(zhì)與特殊關系.u（x，y），v（x，y）所有一次偏導數(shù)會處處可微并且可以充分滿足柯西-黎曼方程，這時就可以得知u（x，y），v（x，y）之間均可以變化為調(diào)和函數(shù).諸如此類，就可以在實際教學的過程中了解到更多關于u（x，y），v（x，y）的高階偏導數(shù)性質(zhì).而在理解解析函數(shù)的過程中可以充分運用解析函數(shù)具備高階導數(shù)的特點，這樣就可以得到更多的解題結論，例如，劉維爾定理、積分均值定理、代數(shù)學基本定理等.由此可見，解析函數(shù)具備著特殊的性質(zhì)，同時其也可以成為解決諸多問題的有效方式，而在實際應用解析函數(shù)的過程中，可以充分激發(fā)出學生對學習函數(shù)知識的興趣與探索動力，這樣一來就可以有效提高函數(shù)知識在學生解題過程中的運用效率，最終為學生的學習以及學生的未來發(fā)展起到良好的推動作用.

三、解析函數(shù)的級數(shù)性質(zhì)與保角性

（一）解析函數(shù)的級數(shù)性質(zhì)

當復變函數(shù)處在某個圓域或圓環(huán)之內(nèi)處處解析時，這時就需要該函數(shù)在圓域或圓環(huán)內(nèi)的任意一點函數(shù)值，可以寫成以圓環(huán)為中心的級數(shù)形式.由于函數(shù)不同的解析性，相對應的級數(shù)形式主要包括泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù).在實際教學的過程中需要學生可以精準確定函數(shù)展開所對應的中心點，同時還需要確保學生對圓域或圓環(huán)有著全面的了解，并且使學生知道函數(shù)所在確定的圓域或圓環(huán)內(nèi)可以實現(xiàn)處處解析.與此同時，在實際教學的過程中，需要確保學生可以掌握部分基本解析函數(shù)之間的級數(shù)形式，并且可以將這些級數(shù)形式套用在解決函數(shù)問題中.此外，在實際教學的過程中教師需要充分向?qū)W生教授如何收斂級數(shù)的部分基本性質(zhì)，以便可以確保學生在面對這類函數(shù)問題時，可以將所學的基本性質(zhì)套用在問題中.級數(shù)在函數(shù)中占據(jù)著極為重要的位置，是函數(shù)的主要因素，所以學生在掌握與理解這類內(nèi)容之后，對其掌握解析函數(shù)而言有著極為重要的意義.

（二）解析函數(shù)的保角性

復變函數(shù)從幾何的角度而言，可以將其解釋為兩個復平面內(nèi)中點數(shù)交集之間的變換，而通過解析函數(shù)所形成的變換性質(zhì)也較為重要，例如，保角性.保角性：當函數(shù)在某一點解析時，通過該點的任意兩條曲線內(nèi)的夾角，在其通過函數(shù)映射之后可以保持方向與大小不會發(fā)生變化.其在解決流體力學、彈性力學、電力學等學科內(nèi)的實際問題時，屬于一種可以使問題簡化的有效方式.對理科學生而言，教師可以在教學的過程中讓學生自己預習這方面的知識點，而后在實際教學的過程中可以通過學生提問、教師解答的方式，來實現(xiàn)讓學生全面掌握這類知識的目的，最終為學生全面掌握并靈活運用這類知識提供良好的基礎保障[2].

四、結束語

綜上所述，在學生針對復變函數(shù)展開學習時，最為關鍵的一部分就在于，如何能夠使其深入了解解析函數(shù)，因此，在針對復變函數(shù)展開實際教學時，如果針對解析函數(shù)的應用與性質(zhì)展開全面講解的話，不僅可以加深學生對復變函數(shù)的印象，還可以加強學生對解析函數(shù)的認知，最終為學生靈活運用解析函數(shù)定理提供良好的基礎保障.

【參考文獻】

[1]張瓊芬，封全喜，宋奇慶.信息與計算科學專業(yè)復變函數(shù)課程教學改革探索[J].教育教學論壇，2017（13）：91-92.

[2]李春龍，寶音特古斯.關于復變函數(shù)論教育教學改革的探討[J].內(nèi)蒙古民族大學學報（自然蒙古文版），2017（2）：38-40.