基于分數階GM(1,1)模型的人口總量預測

(重慶工商大學 重慶 400067)

一、分數階GM(1,1)模型

分數階GM(1,1)模型是基于互逆的分數階累加生成算子與分數階累減生成算子，將GM(1,1)經典灰色預測模型的建模數據從一階累加生成算子拓展到分數階累加生成算子，建立的分數階算子灰色預測模型，并通過粒子群優化算法，給出該模型在最小平均相對誤差、最小均方誤差下的最優階數。

(一)分數階累加與累減生成算子

定義1[1]設X(0)為原始序列,X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))為X(0)的一階累加生成算子,其中

(1)

定理1[2]設X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))為原始序列,r=R+,

X(r)=(x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(n))為X(0)的r階累加生成算子,其中

(2)

定義2[1]設X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))為原始序列,X(-1)=(x(-1)(1),x(-1)(2),…,x(-1)(n))為X(0)的一階累減生成算子,其中

x(-1)(k)=x(0)(k)-x(0)(k-1),k=1,2,…,n

(3)

定理2[2]設X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))為原始序列,r∈R+,X(-r)=(x(-r)(1),x(-r)(2),…,x(-r)(n))為X(0)的r階累減生成算子,其中

(4)

(二)分數階GM(1,1)模型

定義3 設X(0)如定義1,X(r)如定理1定義,Z(r)=(z(r)(2),z(r)(3),…,z(r)(n)),其中,

稱

x(r-1)(k)+az(r)(k)=b

(5)

為分數階算子GM(1,1)模型.

特別當r=1時,x(r-1)(k)+az(r)(k)=b變為x(0)(k)+az(1)(k)=b,即均值GM(1,1)模型.

(三)階數優化粒子群算法

粒子群優化算法(Particle Swarm Optimization,PSO)是由Eberhart和Kennedy于1995年提出的一種全局優化進化算法[3],其基本概念源于對鳥群覓食行為的研究.PSO算法具有概念較簡單,需要調整參數不多,易于編程實現等優點,已廣泛應用于函數優化和神經網絡訓練等領域[4]。最小平均相對誤差下分數階算子GM(1,1)模型的最優階數在于求解如下最優化問題:

(10)

二、基于分數階GM(1,1)模型的人口總量預測

(一)原始序列長度及種群規模參數的確定

設原始數據序列個數為n,粒子群優化算法中種群規模為N，為了提高模型預測精度，本文從原始數據序列長度和粒子群優化算法中種群規模兩個方面對模型進行參數調節，以期得到一個精度相對較高的預測模型。當種群規模N=50、60、70、80，原始數據序列的長度n=5、6、7、8、9、10、11、12、13、14時，分別對我國人口總量進行預測。

分析研究結果，從總體來看，當種群規模一定的情況下，原始數據序列長度對預測精度的影響較大，而當原始序列長度一定時，種群規模大小對預測精度的影響相對較小。當種群規模N分別為50、60、70、80，原始數據序列長度均為n=7時，預測精度最高，因此最優原始序列長度為n=7。當n=7時，種群規模為50時模型模擬精度最高。由此，本文中當n=7，N=50時，分數階GM(1,1)模型預測精度較高，平均相對誤差為0.35%，模擬精度為99.65%，符合灰色系統理論的一級精度要求,可用于對中國未來總人口進行預測。

(二)基于分數階GM(1,1)模型的人口總量預測

基于以上分析，確定當參數原始序列長度n=7,種群規模N=50時，分數階GM(1,1)模型預測精度較高。本文構建n=7,N=50的分數階GM(1,1)模型，選取2009-2015年全國人口總量為原始數據序列，即X0=(133450，134091，134735，135404，136072，136782，137462)，預測2016-2018年的人口總量，預測結果如表2所示。

表2 2016-2018年人口總量預測值(單位：萬人)

三、結論與討論

本文在分數階GM(1,1)模型的基礎上，通過調節原始數據序列長度及粒子群優化算法中種群規模大小兩個參數，得到模型模擬精度相對較高的參數，構建分數階GM(1,1)模型，對全國人口總量進行預測。經過誤差檢驗，調節參數后的分數階GM(1,1)模型避免了傳統分數階GM(1.1)模型因原始數據序列長度及種群規模大小選取不同而導致的模型模擬精度時高時低的問題，從而能夠更加準確地預測人口總量。