關于兩個單形頂點的距離、側面積及體積的不等式及其應用

陳士龍

（安徽廣播影視職業技術學院，安徽合肥230011）

0 引言與主要結果

關于歐氏空間En中單形的幾何不等式研究，近期取得了很多重要結果，文獻[1]收集了大量幾何不等式研究成果，其中十分重要又有趣的是涉及兩個單形的一類幾何不等式。1981年，楊路等[2]將涉及兩個三角形的著名Neuberg-Pedoe不等式推廣到兩個n維單形，建立了涉及兩個單形形式的n維Neuberg-Pedoe不等式。隨后，蘇化明[3]和LENG[4]建立了涉及兩個單形體積與棱長的n維Neuberg-Pedoe不等式。最近，冷崗松等[5]建立涉及兩個單形體積與側面積的n維Neuberg-Pedoe不等式，LI等[6]建立涉及兩個單形體積與其k維子單形k維體積的k-n型Neuberg-Pedoe不等式，WU 等[7]和LI 等[8]建立涉及兩個單形體積與中線的Neuberg-Pedoe不等式，YANG[9]和LENG 等[10]建立涉及兩個單形的另一些有趣的不等式。

本文中設歐氏空間En中兩個n維單形Ωn={A0,A1,…,An}，Ω'n={A'0,A'1,…,A'n}的體積分別為V,V'，側面fi={A0,…,Ai-1,Ai+1,…,An}，f'i={A'0,…,A'i-1,A'i+1,…,A'n}的面 積分別為Fi,F'i(i=0,1,…,n)，記最近WU 等[11]建立了涉及兩個單形頂點的距離、側面積與體積的2個重要不等式：

當Ωn與Ω'n皆為正則單形且它們的重心重合時，式（1）～（3）等號成立。楊世國等[12-13]研究了非歐空間中n維Neuberg-Pedoe不等式。

本文研究歐氏空間En中兩個單形頂點的距離、側面積及體積之間的幾何不等式問題，得到了幾個更一般的幾何不等式，此幾何不等式是式（1）～（3）的加強推廣和指數推廣。

對兩個n維單形Ωn與Ω'n，設

α,θ∈(0,1]，記

得到本文的主要結果：

定理1對En中兩個n維單形Ωn與Ω'n，α,θ∈(0,1]，有

當Ωn與Ω'n為正則單形且它們的重心重合時，式（4）～（6）等號成立。其中，

在定理1中，若令θ=α=1，便得到不等式（1）～（3）的加強推廣：

推論1對兩個n維單形Ωn與Ω'n，有

當Ωn與Ω'n為正則單形且它們的重心重合時，式（8）～（10）等號成立。

由于τn≥1,τ'n≥1，所以不等式（8）～（10）分別為不等式（1）～（3）的加強推廣。

由定理1可得不等式（1）～（3）的指數推廣：

當Ωn與Ω'n為正則單形且它們的重心重合時，式（11）～（13）等號成立。

在不等式（11）～（13）中,若取α=θ=1，便得不等式（1）～（3）。

1 定理的證明

為證明定理1，需先證明以下引理。

引理1[11]設En中兩個n維單形Ωn與Ω'n的棱長分別為

當且僅當質量組 {Ai(xi);i=0,1,…,n}與{A'i(x'i);i=0,1,…,n}的重心重合。

引理2對n維單形Ωn，有

當Ωn為正則單形時等號成立。

證明設m個正數bi(i=1,2,…,m)的算術平均值為Am(xi)，幾何平均值為Gm(xi)，B=max {bi}，b=min {bi}，利用文獻[14]中的不等式

當b1=b2=…=bm時等號成立。

利用文獻[15]中的不等式

即當Ωn為正則單形時等號成立。

由不等式（16）、（17），便得不等式（15）。

引理3[5]設Ωn為n維單形，α∈(0,1],λi=則有

當F0=F1=…=Fn時等號成立。

引理4[15]設σN={Ai(mi);i=0,1,…,N}為En中的質點組（N≥n），mi>0（i=0,1,…,N），σN中任意k+1個點Ai0,Ai1,…,Aik所生成的k維單形的k維體積為Vi0i1…ik(0≤i0<…ik≤N)，記

則有

當σN的慣量橢圓為一球時等號成立。

定理1的證明在引理1中，令xi=Fα-2Fi,x'i=Fθ i(i=0,1,…,n)，由文獻[5]引理3的證明過程可知，xi>0(i=0,1,…,n)，從而得

在引理4中，取N=n,k=1,l=n-1，此時σN是單形Ωn的頂點集，得

易驗證當Ωn為正則單形且m0=m1=…=mn時等號成立。

在式（21）中，令mi=Fα-2Fα i>0(i=0,1,…,n)，得不妨設F0≥F1≥…≥Fn，從而有Fα0≥Fα1≥…≥

令ui=Fα-2Fα i(i=0,1,…,n)，則有u0≤u1≤…≤un，從而有u-10F0≥u-11F1≥…≥u-1n Fn。

設λi(i=0,1,…,n)同引理3，利用Chebyshev不等式、不等式（18）及算術-幾何平均不等式，得到

由算術-幾何平均不等式，有

由式（20）～（24）得

由式（25）、（15）得

將不等式（21）應用于單形 Ω'n，并令mi=F'iθ(i=0,1,…,n)，得

由式（27）、（15）得

由不等式（20）、（26）、（28），便可得不等式（4）。由證明過程易知，當Ωn與Ω'n為正則單形且它們的重心重合時，式（4）等號成立。

在不等式（14）中，取xi=Fα-2Fα i，x'=F'θ-再由不等式（26）便得不等式（5）。在不等式（14）中，取0,1,…,n)，再由不等式（28）便得不等式（6）。

2 應 用

設K是En中的凸體，如果原點O∈intK，那么凸體K的極體定義為[14]

K*={x∈En/〈x,y〉≤1,y∈K}。由文獻[16]知，一個單形Ωn的極體也是一個單形Ω*n，Ω*

n稱為單形Ωn的極單形，且其 體積滿 足不等式

當且僅當Ωn的重心與原點重合時等號成立。

設n維單形Ωn的極單形Ω*n的頂點為A*i(i=0，1，…，n)，頂點A*i所對的側面積為Fi*(i=0,1,…,n)，記

對單形Ωn與Ω*n應用推論1、算術-幾何平均不等式及式（29），得

推論2設Ω*n為n維單形Ωn的極單形，則有

當Ωn為正則單形且其重心與O重合時，式（30）～（32）等號成立。

由于τn≥1，所以不等式（30）～（32）是文獻[11]中結果的加強推廣。

設單形Ωn的第i個旁切球半徑為ri，第i個側面上的高為hi，則有[1]

在推論1中，取Ωn與Ω'n為同一單形，并利用算術-幾何平均不等式和式（33），得

推論3對n維單形Ωn，有

當Ωn為正則單形時等號成立。

顯然不等式（34）～（36）推廣了文獻[11]中相應的結果。