一個帶權(quán)函數(shù)的擬線性橢圓方程的有界弱解

李仲慶

（貴州財經(jīng)大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院，貴州貴陽550025）

1 問題介紹

設(shè)Ω是RN中的有界開集,其光滑邊界記為?Ω。研究以下擬線性橢圓方程

其中,1

(H1)a(x)是一非負(fù)的可測函數(shù),a(x)∈Lr(Ω),r>1;且

(H2)函數(shù)f(x)∈Lm1(Ω),F(x)是一個向量場，并且 |F(x)|∈Lm2(Ω),其中，

當(dāng)a(x)≡1時,問題(1)就是來源于流體力學(xué)的p-Laplace 方程。這種不帶權(quán)函數(shù)方程的有界弱解的結(jié)果可參見文獻(xiàn)[1]。關(guān)于主部退化強制方程的研究見文獻(xiàn)[2]。CIRMI 等[3]研究了帶權(quán)形式的具自然增長條件的橢圓和拋物方程,使用的主要工具為帶權(quán)的Sobolev空間及帶權(quán)的Sobolev 嵌入[4]。DRáBEK 等[5]研究了帶權(quán)Sobolev空間框架下的pseudo-monotone算子理論。

本文的主要特點是不需要、也不涉及復(fù)雜的帶權(quán)的Sobolev空間,也不使用復(fù)雜的帶權(quán)形式的Sobolev 嵌入,而是在經(jīng)典的Sobolev空間中去研究帶權(quán)函數(shù)的橢圓方程,使得對問題的研究更加簡單和基礎(chǔ)。

主要技術(shù)路線:合理處理主部擴散項中的權(quán)函數(shù),采用改進(jìn)的De Giorgi 迭代技術(shù),得到L∞估計。應(yīng)用合適的檢驗函數(shù)于正則化方程,得到梯度序列的幾乎處處收斂和解的存在性。

主要結(jié)果如下:

定理1假設(shè)(H1)、(H2)成立,那么問題(1)存在有界弱解u∈W1,q0(Ω)∩L∞(Ω)。其中，u為分布意義下的弱解，對任意的?∈C∞0(Ω),有

上述結(jié)果可分幾部分來證明。

2 正則化問題

受文獻(xiàn)[6]啟發(fā),給出問題(1)對應(yīng)的一個正則化方程：

其中，

這樣就有an(x)≤a(x)+1;an(x)→a(x),a.e.于Ω，且

由pseudo-monotone算子理論[7],對每一個固定的正整數(shù)n,正則化問題 (2)存在弱解

3 最大模估計

引理1如果條件(H1)、(H2)成立,那么問題(2)的弱解序列{un}∞n=1是本征一致有界的，即存在不依賴于n的正常數(shù)C,使得

證明記Gk(s)=(|s|-k)+sign(s),選取Gk(un)作為問題(2)的一個檢驗函數(shù),得到

1o記Ak={x∈Ω:|un(x)|>k},|Ak|表示集合Ak的Lebesgue 測度。由H?lder不等式和Sobolev 嵌入(記SN,q為嵌入常數(shù)對式(4)右端兩項分別做估計:

2o注意到由H?lder不等式、q

這樣,根據(jù) 式(3),(5),(6)和帶ε的Young不等式,可得

3°根據(jù)Sobolev 嵌入

對上式估計，

其中，C僅依賴于初始數(shù)據(jù)N,p,s,

4°對任何的h>k>0,有

因此,由式(7)和(8)得

其中

注意到q的定義,則有

由改進(jìn)的De Giorgi 迭代引理[8],對所有的正整數(shù)n和幾乎處處的x∈Ω,有|un(x)|≤C,其中正常數(shù)C不依賴于n。

4 弱解的存在性

4.1 un的幾乎處處收斂

選取un作為問題(2)的一個檢驗函數(shù),得到

式(9)用到了un的一致L∞有界和H?lder不等式,

應(yīng)用H?lder不等式、帶ε的Young不等式、式(3)以及式(9),有

于是上式可估計為

注意到(H2)以及1

即q′1,即是 自 反的Banach空間。另外,引理1表明在L∞(Ω)有界,所以能從中抽出一個子列,不妨仍記作{以及存在中的一個函數(shù)u,使得

根據(jù)緊嵌入定理可得

4.2 ?un的幾乎處處收斂

由于所研究的問題是擬線性的,所以式(12)并不能保證正則化問題的極限過程。這是因為弱收斂無法保持非線性[9]，需要證明關(guān)于梯度序列進(jìn)一步的收斂性。

選取un-u作為問題(2)的檢驗函數(shù),可得

由式(12)和(14)，有

其中，

受文獻(xiàn)[10]啟發(fā),證明式(15)蘊含

1°當(dāng)1

由式(15),(12),(9)以及ε的任意性,得到式(16)。

由式(15)直接可得式(16)。

根據(jù)式(16)以及

可得

最后，選取?∈C∞0(Ω)作為問題(2)的一個檢驗函數(shù)，應(yīng)用Vitali 定理和弱收斂的定義，取極限即得到u是問題(1)的一個有界弱解。