康托和柯西究竟誰對

張喜安

【摘 要】 康托集合論的基本觀點是，一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應，部分可以和全體相等。關于部分可以和全體相等，康托將[0，1]的基數定義為c，并且認為c+c+c=c，也就是說，康托的這種無窮數不遵守算術公理。對于康托的上述觀點，法國著名數學家柯西認為，這是自相矛盾的。但是康托卻認為，無論數學家們曾經做過什么樣的假定，我們都不應認為有窮的性質可以適用于無窮的各種情況。這也就是說，在康托看來，有窮的數遵守算術公理，而無窮的數就不一定遵守算術公理。本文將證明，柯西的觀點是正確的，而康托的觀點則是錯誤的。

【關鍵詞】 柯西;認為;康托集合論;自相矛盾

為了論述方便，我們首先引述康托集合論的兩個集合間一一對應的定義如下：

定義 如果存在函數y=f（x）為集合A→B的雙射函數，那么集合A和B為一一對應的關系。

前面已經指出，康托集合論的基本觀點是，一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應，部分可以和全體相等，而這正是康托集合論的一個定理，本文稱這個定理為康托集合論的基本定理。現在，我們把這個定理及其證明引述如下：

康托集合論基本定理 令a，b為實數，且a

證明：令y=f（x）=a+（b-a）x，顯然，y=f（x）為[0，1]→[a，b]的一個雙射函數，這就證明了[a，b]的基數等于[0，1]的基數，即等于c。

為了使論述簡單明了，我們取一種具體的情況，即令a=0，b=2，于是得到集合[0，2]。根據康托集合論的基本定理，存在y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數，因此，[0，1]和[0，2]為一一對應的關系。請注意，無窮集合[0，1]是[0，2]的真子集，并且[0，1]和[0，2]是兩個實數點的集合，這些是已知條件。

現在假定[0，1]和[0，2]為一一對應的關系，這時，[0，1]和[0，2]互相對應的元素的性質就存在相同和不同兩種情況。如果[0，1]和[0，2]互相對應的元素的性質相同，則根據集合論的外延公理：如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，同時集合B的每一個元素都是集合A的元素，那么A=B。因此，[0，1]=[0，2]，這顯然和客觀事實矛盾。如果[0，1]和[0，2]互相對應的元素的性質不同，那么[0，1]不是[0，2]的子集，因此，[0，1]也就不是[0，2]的真子集，這和已知條件矛盾。于是得出結論，[0，1]和[0，2]不可能是一一對應的關系，而只能是非一一對應的關系。這說明，我們根據康托集合論的基本定理和它的已知條件就可以得出和康托集合論的基本定理相反的結果，因此可以說，康托集合論的基本定理是自相矛盾的，康托集合論也就是一個自相矛盾的理論，或者說，柯西是正確的，而康托則是錯誤的。

文章寫到這里，疑問就來了，由于存在函數y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數，則[0，1]和[0，2]就是一一對應的關系，這又如何解釋？這個問題是一個困難的問題，我們首先給出一個一般的回答，一方面，由于存在函數y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數，所以[0，1]和[0，2]為一一對應的關系，而另一方面，正是由函數y=2x的存在，改變了已知條件。具體地講，在已知的條件中，[0，1]和[0，2]是兩個實數點的集合，由于函數y=2x 的存在，使這兩個實數點的集合變成另外兩個非實數點的集合，所以才產生了上面的疑問，如果我們考慮到這種情況，上面的證明就是完全正確的。下面我們就來回答為什么由于函數y=2x的存在，使兩個實數點的集合[0，1]和[0，2]變成另外兩個非實數點的集合。

現在我們令y=2x=t，其中，t表示時間，單位為米/秒，y和x表示路程，單位為米。由于y=2x=t，則y軸和x軸上的點的運動速度分別為=1米/秒，=米/秒。現在讓[0，1]和[0，2]在不同的坐標軸上，例如讓[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上。因為y軸上點的運動速度是x軸上的點的運動速度的兩倍，這時[0，1]和[0，2]就一定是一一對應的關系，函數y=2x也就是[0，1]→[0，2]的雙射函數。如果讓[0，1]和[0，2]都在x軸上，那么[0，1]和[0，2]上的點的運動速度相同，所以它們就一定是非一一對應的關系，這時函數y=2x就不是[0，1]→[0，2]的雙射函數。康托只看到由于存在函數y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數，因此[0，1]和[0，2]為一一對應的關系，但是康托卻不知道，由于函數y=2x的存在，使得[0，1]和[0，2]上的點具有了速度的性質。因為實數點的集合的元素是不具有性質的，而現在具有了速度的性質，這樣就由于函數y=2x的存在，使兩個實數點的集合[0，1]和[0，2]變成另外兩個非實數點的集合。在康托看來，函數y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數與[0，1]和[0，2]是否在同一個坐標軸上無關，因為康托不知道，由于函數y=2x的存在，y軸上的點的運動速度是x軸上的點的運動速度的2倍，因此，康托也就不知道，在[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上的時候，由于y軸上的點的運動速度是x軸上的點的運動速度的2倍，因此[0，1]和[0，2]才是一一對應的關系，而函數y=2x才是[0，1]→[0，2]的雙射函數。但是，在[0，1]和[0，2]都在x軸上的時候，因為[0，1]和[0，2]上的點的運動速度相同，所以[0，1]和[0，2]只能是非一一對應的關系，因此，函數y=2x就不是[0，1]→[0，2]的雙射函數。

另外，由于存在函數y=x不是[0，1]→[0，2]的雙射函數，所以在y=x存在的條件下，[0，1]和[0，2]為非一一對應的關系。但是根據康托集合論的基本定理，由于存在函數y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數，所以[0，1]和[0，2]為一一對應的關系。這時我們就要質問康托：[0，1]和[0，2]是一一對應的關系，還是非一一對應的關系？由此我們也可以看出，康托的兩個集合間的一一對應的定義不能確定兩個實數點的集合是一一對應的關系還是非一一對應的關系。再有，康托的兩個集合間一一對應的定義是一個全稱量詞命題，由于同時存在相反的命題（即在y=x的條件下，[0，1]和[0，2]為非一一對應的關系），所以康托的兩個集合間一一對應的定義這個全稱量詞命題就是一個錯誤的命題。另外，康托集合論的兩個集合間一一對應的定義是判別[0，1]和[0，2]是否為一一對應的關系，它不能改變[0，1]和[0，2]的性質，前面已經指出，恰恰相反，由于函數y=2x的存在，使[0，1]和[0，2]從兩個實數點的集合改變為兩個非實數點的集合，因此，康托集合論的兩個集合間一一對應的定義就是一個錯誤的定義。由于康托集合論的基本定理是根據康托集合論的兩個集合間一一對應的定義證明的，由于這個定義是錯誤的，所以康托集合論的基本定理的證明就不能成立，所以康托集合論就是一個自相矛盾的錯誤理論。

【參考文獻】

[1][美]周-道本.康托的無窮的數學和哲學[M].大連：大連理工大學出版社.

[2]張錦文.集合論與連續統假設淺說[M].上海：上海教育出版社，1980，9.