由一道高考題引發(fā)的思考

何春蘭

【摘 要】 構(gòu)造函數(shù)是解決不等式問題的基本方法，根據(jù)題目的條件，相應(yīng)地構(gòu)造出輔助函數(shù)。

【關(guān)鍵詞】 變換自變量;構(gòu)造函數(shù);解答思考

在利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題中，我們經(jīng)常會用到構(gòu)造函數(shù)的思想。構(gòu)造函數(shù)是解決不等式問題的基本方法，根據(jù)題目的條件，相應(yīng)地構(gòu)造出輔助函數(shù)。對于含參不等式就可以通過構(gòu)造不同變量的函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，通過進(jìn)一步研究輔助函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，給予巧妙的解答。

本文從一道高考試題出發(fā)，追根溯源，研究并尋求更簡捷的運(yùn)算方法。

例題：（2016年新課標(biāo)文科卷3）設(shè)函數(shù)。

（1）討論的單調(diào)性;

（2）證明當(dāng)時(shí)，;

（3）設(shè)，證明當(dāng)時(shí)，。

這里只研究第（3）問。

解：由題設(shè)，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，設(shè)，

則，令，解得。

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減。

由（2）知，，故，

又，故當(dāng)時(shí)，。

所以當(dāng)時(shí)，。

這種證明方法對學(xué)生來說，難點(diǎn)在于如何能將與第（2）問的不等式相結(jié)合。但是換個(gè)角度考慮，打破常規(guī)，如果將著手點(diǎn)放在c>1，將待證的不等式移項(xiàng)，構(gòu)造關(guān)于c的函數(shù)，則可有如下證明過程：

，

。

又。

在上單調(diào)遞增，。

。

我們習(xí)慣構(gòu)造關(guān)于自變量是x的函數(shù)，但是像這樣，通過變換自變量，使得構(gòu)造的函數(shù)形式相對簡捷，從而可以簡化運(yùn)算，達(dá)到目的。將此方法可以推廣應(yīng)用，如下：

例1：恒成立，求x的取值范圍。

分析：本題要求，都有恒成立，這里可以將看為自變量，看為參數(shù)，問題等價(jià)于，函數(shù)g（a）=a（3-x）+3x3-50恒成立。

解，設(shè)，

恒成立等價(jià)于恒成立，而g（a）為關(guān)于a的常函數(shù)或者一次函數(shù)，max=max。

恒成立，即，解得。

故x的取值范圍是。

例2：已知a>ln2-1，求證：x>0時(shí)，。

證明：令f（x）=ex-x2+2ax-1，可設(shè)。

，是關(guān)于a的一次函數(shù)，為增函數(shù)。

在（ln2-1，+∞）單調(diào)遞增，ln2-1）。

，既。

令，，

，令ln2

當(dāng)單調(diào)遞減;

當(dāng)單調(diào)遞增。

，∴在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴h（x）>h（0）=2>0。

。

也可以將這個(gè)方法應(yīng)用到2018年新課標(biāo)文科（I）卷和（III）中，具體過程如下：

（2018年新課標(biāo)文I）已知f（x）=aex-lnx-1。（1）略;（2）當(dāng)時(shí)，f（x）0。

證明：。

∵ex>0，是關(guān)于a的一次函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，

。

令。

在上單調(diào)遞增，且。

∴當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

，，

。

關(guān)于2018年新課標(biāo)文科（III）卷的過程不再贅述。

波利亞：“觀察可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)，觀察將揭示某種規(guī)則、模式或定律。” 在教學(xué)過程中，根據(jù)我們所學(xué)習(xí)的知識，通過觀察，認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識和技巧進(jìn)行求解，從而將抽象復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為具體簡單的問題，使解題順利完成。我們能從課標(biāo)出發(fā)，處理好高考題，運(yùn)用好高考題，研發(fā)教學(xué)資源;結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際做好教學(xué)設(shè)計(jì)，努力創(chuàng)設(shè)一種更和諧的學(xué)習(xí)氛圍，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、積極性，師生之間相互配合，共同完成教學(xué)任務(wù)，就能使學(xué)習(xí)目標(biāo)高質(zhì)量地完成。