染色問題新解

徐永毅

【摘 要】 染色問題是高考和競賽中的熱點問題，不少同學望而生畏，束手無策。筆者將結合實例，幫大家巧解染色問題。染色問題的解題思路對學生來說非常重要，若能嫻熟掌握，類似的數學問題就能舉一反三，達到觸類旁通的目的。

【關鍵詞】 數學;染色問題;舉一反三

求解染色問題，基本思路如下：

第一，將各區域編號;

第二，簡化圖形，將相鄰部分用短線連接;

第三，將不相鄰的兩個編號寫在一起，用顏色種類的多少分析、分類。

“實踐是檢驗真理的唯一標準?！毕旅嫣峁﹥傻赖湫屠}，對以上三個解題步驟加以具體分析，化繁為簡，輕松解決染色問題。

例1：某城市中心廣場建造一個花圃，花圃分為6部分（如圖1所示）?，F在要栽種四種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同種顏色的花，不同的栽種方法有多少種？

分析：①將各區域編號，如圖2所示;

②化簡圖形，如圖3所示;

③不相鄰區域的編號組有（2，4）、（2，5）、（3，5）、（3，6）、（4，6），由于用4種顏色的花栽6個區域，所以要有兩個不相鄰組（6-4=2）栽同色花，因此要將上述5組重新分組組合（含相同編號的不能分到同一組），即[（2，4），（3，5）]、[（2，4），（3，6）]、[（2，5），（3，6）]、[（2，5），（4，6）]、[（3，5），（4，6）]5組，現從這5組中任選一組，共有種選法，不妨設取出的是[（2，4），（3，5）]，此時將6個區域分成（2，4）、（3，5）、（1）、（6）四個區域，用4種顏色的花栽這四個區域有種可能，因此，此題總共有種不同的栽種方法。

例2：如圖4所示，將一個四棱錐每一個頂點染色，并使同一條棱上的兩端點異色，并只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數有多少種？

分析：區域編號、簡化圖形分別如圖5、圖6所示。

①當5種顏色全部使用時，有種染法。

②當用4種顏色染色時，只能有一個不相鄰組（5-4=1）染同色。而不相鄰組有（2，4）、（3，5）兩組，從兩組中選一組，有種方法，不妨設取出的是（2，4），此時將5個區域分成（1）、（3）、（5）、（2，4）四個區域，從5種顏色中取出4種顏色，有種方法，用這4種顏色染這四個區域，有種方法，因此，總共有種方法。

③當用3種顏色染色時，必有兩個不相鄰組（5-3=2）染同色。而不相鄰組有（2，4）、（3，5）兩組，從兩組中任選兩組，有種方法，即取出（2，4）、（3，5），此時將5個區域分成（2，4）、（3，5）、（1）三個區域，從5種顏色中取出3種顏色，有種方法，用這3種顏色染這三個區域，有種方法，因此，總共有種方法。

由①②③知，共有++=420（種）染法。

通過對以上兩道例題的解析，相信大家對解決染色問題的三個基本步驟有了更深的了解。其實表面上看很復雜、煩瑣的問題，往往有“跡”可尋，只要認真思考，掌握染色問題的解題思路，這是解答染色問題的關鍵。

通過以上兩例的分析，相信大家已經掌握了“新”解染色問題的方法，下面提供兩道習題操練一下吧！

練習：

（1）如圖7所示，用五種不同顏色分別給A、B、C、D四個區域涂色，相鄰區域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法有幾種？（答案：180種）

（2）如圖8所示，一個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？（答案：72種）

怎么樣，做起來是不是有種茅塞頓開的感覺呢？其實還是那句古訓“世上無難事，只怕有心人”。學習要善于總結和積累，題做得多了，自然熟能生巧，就能悟出“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”的道理。

筆者為大家提供的染色問題“新”解法，我們親切地稱它為“染色三部曲”，該解法具有很強的普遍性，大多數染色問題都可利用它來解決。通過以上分析解答，相信大家能掌握一些解決染色問題的技巧，通過刷題提高分析推理能力，順暢解決染色問題。