對(duì)一類不等式恒成立問(wèn)題的探討

馮太平

【摘 要】 含絕對(duì)值不等式的處理方式以及含參不等式恒成立問(wèn)題是不等式問(wèn)題中的難點(diǎn)，通過(guò)一個(gè)具體的問(wèn)題產(chǎn)生的錯(cuò)因進(jìn)行剖析，對(duì)這兩類問(wèn)題進(jìn)行解法總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】 絕對(duì)值不等式;含參不等式恒成立;錯(cuò)因分析;兩類絕對(duì)值不等式解法總結(jié)

一、問(wèn)題的提出

在高三一輪復(fù)習(xí)中，備課組老師交流提出了一個(gè)問(wèn)題：

已知實(shí)數(shù)，不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

此題的解法很多，正確的結(jié)果是：或，但按下面的方法求解，結(jié)果卻不對(duì)，為什么？

解：∵且，∴，

進(jìn)而有或。

化簡(jiǎn)整理得：或，

又因?yàn)椋?/p>

所以有或，

依題意 或。

二、錯(cuò)因分析

上述解法主要涉及兩類問(wèn)題的解決方法：

一是含絕對(duì)值不等式的處理方式。或，這是解絕對(duì)值不等式常用的手段。

二是含參不等式恒成立問(wèn)題。將不等式中的參數(shù)分離出來(lái)，將問(wèn)題變?yōu)楹愠闪ⅲɑ蚝愠闪ⅲ鲜鰡?wèn)題等價(jià)于（或）。

分離參數(shù)法是解決不等式恒成立問(wèn)題非常有效的方法，這種方法可以回避分類討論。

上題中的解法主要用到了這兩種解法，看起來(lái)沒(méi)有什么問(wèn)題，但仔細(xì)分析會(huì)發(fā)現(xiàn)其算法是有問(wèn)題的，主要問(wèn)題是變形過(guò)程不等價(jià)。

錯(cuò)誤的本質(zhì)分析如下：

從解集相等的角度來(lái)說(shuō)：與或是等價(jià)的。

不論是正還是負(fù)，上述兩組不等式的解集都是相同的。

但是在去掉絕對(duì)值后，再分離參數(shù)，而后的處理方法本質(zhì)上是要求對(duì)恒成立或?qū)愠闪ⅰ＿@與或?qū)愠闪⑹遣坏葍r(jià)的。這樣處理后是加強(qiáng)了條件，所以得出來(lái)的結(jié)果比實(shí)際結(jié)果范圍小。

對(duì)于這類問(wèn)題，要對(duì)的正負(fù)進(jìn)行討論，其本質(zhì)是：如果不對(duì)的正負(fù)進(jìn)行討論，那么不等式的解集和的解集是有可能有交集的;而當(dāng)為正時(shí)，上述兩不等式是沒(méi)有交集的。當(dāng)它們沒(méi)有交集時(shí)，或?qū)愠闪⒑蛯?duì)恒成立或?qū)愠闪⑹堑葍r(jià)的。解法也就正確了。

三、對(duì)本題解法的修正

解：∵且 ，∴。

①當(dāng)，即時(shí)，，所以有或x-a

對(duì)任意恒成立。

化簡(jiǎn)整理得：或，又因?yàn)椋?/p>

所以有或，

對(duì)任意恒成立。

依題意或。

又因?yàn)椋浴?/p>

②當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)不等式對(duì)任意恒成立。故。

綜上得，或。

四、兩類絕對(duì)值不等式解法總結(jié)

1.對(duì)恒成立。

（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立或?qū)愠闪?duì)恒成立或?qū)愠闪ⅰ?/p>

（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立。

2.對(duì)恒成立對(duì)恒成立對(duì)恒成立且對(duì)恒成立。

【參考文獻(xiàn)】

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