圓錐曲線的切線問題研究

肖翔

【摘 要】 圓錐曲線的切線問題是高中階段學(xué)生學(xué)習(xí)理解圓錐曲線的一個難點，以圓錐曲線的切線性質(zhì)為背景的題目頻頻出現(xiàn)，引起廣大教師和考生的廣泛關(guān)注。如何正確作出切線，計算出切線方程已經(jīng)成為高三學(xué)生應(yīng)考的一個必備知識。

【關(guān)鍵詞】 圓錐曲線;切線

過圓錐曲線上一點作切線，并求其切線方程，是學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐曲線知識的過程中一個頭疼的問題。學(xué)生在代入過程中容易犯錯，同時計算過程也容易出錯。針對圓錐曲線的切線問題，需要總結(jié)出規(guī)律，以便學(xué)生在高考中能輕松應(yīng)對，提高解決圓錐曲線的題型的能力。

一、橢圓的切線問題

過橢圓上一定點作橢圓的切線方程與過橢圓外的一點作橢圓的兩條切線的切線弦。

1.過橢圓上的一點作橢圓的切線

例1：已知點P（x0，y0）是橢圓上的任意一點，求橢圓的切線方程。

解：當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)過點P（x0，y0）的切線方程為y=kx+m，

代入橢圓方程得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2（m2-b2）=0，

∴，即k=-，

，，

，即。

當(dāng)切線的斜率不存在時，過點P（x0，y0）的切線方程同樣滿足上式。

綜上所述，橢圓的切線方程為。

2.過橢圓外一點作橢圓的兩條切線，切點弦直線方程

例2：已知點P（x0，y0）是橢圓外一點，過P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，求過兩切點A，B的直線方程。

解：設(shè)兩切點坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），

則點A，B都在直線上，

∴此直線為切點弦AB所在的直線方程。

【典型例題】過橢圓3x2+4y2=12上的點P（1，）作橢圓的切線，求這條切線方程。

二、雙曲線的切線問題

過雙曲線上一定點作雙曲線的切線方程與過雙曲線外的一點作雙曲線的兩條切線的切線弦。

1.過雙曲線上一定點作雙曲線的切線

例3：已知點P（x0，y0）是雙曲線上的一點，求過這點的切線方程。

解：當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)過點P（x0，y0）的切線方程為y=kx+m，

代入雙曲線方程并化簡整理得a2k2-m2-b2=0，

，

∴，即k=-，則m=-，

，即。

當(dāng)切線的斜率不存在時，過點P（x0，y0）的切線方程同樣滿足上式。

綜上所述，切線方程為。

2.過雙曲線外一點作雙曲線的兩條切線，切點弦直線方程

例4：已知點P（x0，y0）是雙曲線外一點，過P作雙曲線的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，求過兩切點A，B的直線方程。

解：設(shè)兩切點坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），

點A，B都在直線上，

∴此直線為切點弦AB所在的直線方程。

三、拋物線的切線問題

過拋物線上一定點作拋物線的切線方程與過拋物線外的一點作拋物線的兩條切線的切線弦。

1.過拋物線上的一點作拋物線的切線

例5：已知點P（x0，y0）是拋物線y2=2px（p>0） 上的任意一點，求拋物線的切線方程。

解：過拋物線y2=2px（p>0） 上的一點P（x0，y0）的切線方程為：y0y=p（x+x0）

同理可得，

過拋物線y2=-2px（p>0） 上的一點P（x0，y0）的切線方程為：y0y=-p

（x+x0），

過拋物線x2=2py（p>0） 上的一點P（x0，y0）的切線方程為：x0x=p（y+y0），

過拋物線x2=-2py（p>0） 上的一點P（x0，y0）的切線方程為：x0x=-p

（y+y0）。

2.過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點弦直線方程

例6：已知點P（x0，y0）是拋物線y2=2px（p>0）外一點，過P作拋物線的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，求過兩切點A，B的直線方程。

解：設(shè)兩切點坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2）

則點A（x1，y1），B（x2，y2）都在直線y0y=p（x+x0）上，

∴此直線為切點弦AB所在的直線方程。

【參考文獻】

[1]鐘建新，一道圓錐曲線問題的探究[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2010（8）：7-8.

[2]周偉林，圓錐曲線切點線的一個性質(zhì)[J].參考周刊，2007（3）：49-50.