單位圓盤上凸調和函數的系數條件與擬共性延拓

楊佳霖 張珣 邱鄭宜人

【摘 要】 令 f=h+是定義在單位圓盤Δ上的調和函數， 規范化h（0）=g（0）=h'（0）-1=0，在這篇文章中， 我們通過h和g的冪級數展開系數， 給出了f的象為α（0<α<1）凸的充分條件， 使其在Δ中是擬共形同胚的，而且可以擬共形延拓到復平面。

【關鍵詞】 調和函數;凸;擬共形延拓

一、緒論

設Δ={z：|z|<1}為復平面中的單位圓盤。在單位圓盤Δ中，如果實值函數u和v都是調和的，則稱復值函數f=u+iv是調和函數。顯然，在單位圓盤Δ中，對于任何調和函數f，我們可以規范化f=h+，其中h和g都是解析的。我們稱h和g分別是f的解析部分和共軛解析部分。眾所周知，當且僅當

|h'（z）|>|g'（z）|（z∈Δ） （1.1）

f=h+是局部單葉且保向的。

有關調和函數的更多細節，我們可以查閱參考文獻[8]，[9]和專著[2]。

用H表示單位圓盤上調和函數f=h+保向且滿足規范化條件h（0）

=g（0）=fz（0）-1=0的函數類，則對于f=h+∈H，h和g有以下展開式：

， ? ? ? ? ? ? ?（1.2）

對于α∈[0，1），如果，|z|=r<1。 ? ?（1.3）

則函數f∈H是α階的凸調和函數（見[9]）。我們記CH（α）為α階凸調和函數組成調和函數類。

如果保向同胚函數f：G→f（G）在G上滿足線上絕對連續且，其中，則稱f為K-擬共形映射。

當f是全純的時候，Fait（[4]）通過展開式中的系數，給了f成為星象函數并可以擬共性延拓到整個復平面的一個充分條件。

當f是調和的時候，通過（1.2），Avci 和Zlotkiewicz（[1]）利用系數an，bn給出了f成為星象函數的一個充分條件，Silverman （[10]）給出了當b1=0時，f是單葉的、保向的和星象的充分條件。Jahangiri （[6]）推廣了當b1不一定為0時的相應結果。Hamada等（[5]）給出了使f可以擬共性延拓到整個復平面的一個充分條件。

本文，我們將以（1.2）的形式研究H。利用系數an，bn，我們將給出f為α（0 <α<1）凸的一個充分條件，并證明這個充分條件也能保證f是擬共形同胚并且可以擬共性延拓到整個復平面。

二、α階凸的充分系數條件

在本節中，對于f∈H，我們將證明關于f∈CH（α）以下充分條件。

定理1 如果f=h+具有式（1.2）展開式，且滿足以下條件

，（0≤α）

那么f在單位圓盤Δ內是單葉調和函數，且f∈CH（α）。

證明首先我們證明f是局部單葉的且在單位圓盤△內保向，這是因為

在下文中，我們驗證f是單葉的。如果g（z）=0，則f是解析的，并且其單葉性遵循其凸性（[3]）。如果g（z）≠0，我們現在證明當z1≠z2時，f（z1）≠f（z2）。

對于單位圓盤Δ內的z1≠z2，我們得到z（t）=（1-t）z1+t z2

∈Δ，其中0≤t≤1。因此可以寫成：

（2.1）

并且

（2.2）

另一方面，通過（2.1）

Reh'（z）-|g'（z）|≥Reh'（z）-

≥1--

>1--

≥0。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2.3）

聯合（2.2）和（2.3），我們可以得到f是單葉的。

下面證明f∈CH（α）。根據（1.3），我們只需要證明

=

=Re

其中，z=reiθ，0≤θ<2π，0≤r<1， and 0≤α<1。

不難驗證Rew≥α當且僅當|1-α+w|≥|1+α-w|，因此我們只需證明|A（z）+（1-α）B（z）|-|A（z）-（1+α）B（z）|≥0，

其中A（z）=zh'+ ，。 ? ? ? （2.4）

通過（1.2）中h和g的系列展開，我們得到了

|A（z）+（1-α）B（z）|=

=

= ? ? ?（2.5）

|A（z）-（1+α）B（z）|=

=

= ? ? ? ? ?（2.6）

將（2.5）、（2.6）與條件（2.1）、（2.4）相結合，得到

|A（z）+（1-α）B（z）|-|A（z）-（1+α）B（z）|

≥

≥

證明完畢。

三、調和函數的擬共形和擬共形延拓

在給出結果之前，我們介紹一些與擬共形映射相關的概念。關于擬共性映射的理論，我們參考專著[7]。設f：G→是中域G的保向同胚。若f在G內線上絕對連續且，其中稱為f的復伸張，則我們稱f是G的K-擬共形映射，

在本節中，我們將證明條件（2.1）也可以使成為擬共形并且可以拓到整個復平面。實際上，我們有以下兩個定理：

定理2設f=h+∈H是滿足條件（2.1）的調和函數，則f是單位圓盤Δ上的擬共形映射且：

定理3設f=h+∈H是滿足條件（2.1）的調和函數，映射

（3.1）

是f到整個復平面上的擬共形延拓，使得復伸張μF滿足

定理2的證明若an=bn=0，對于所有的n≥2，則f=是仿射映射。由于f是保向的，所以f=是擬共形映射且。因此，在下文中，假設f不是仿射映射，我們將通過以下兩個斷言來證明該定理。

結論1

由于f不是仿射映射，通過（2.1），易知

令，通過（1.2），對于任意z∈Δ，都有

結論2f在單位圓盤Δ上是絕對連續的。

對于任意z1，z2∈Δ，且z1≠z2，有

≤

≤（1+k）|z1-z2|

這意味著f在單位圓盤Δ上是絕對連續的。

根據定義以及結論1、結論2，我們知道f是單位圓盤Δ上的擬共形映射，且。

定理3的證明可以從[5]中的定理3.6推導出來。在給出定理3的證明之前，我們先介紹[5]中定理3.6的結果。對于正實數的序列{}n=2，3…，用H（）表示滿足條件的形式（1.2）的調和映射集合f=h+且|b1|<1以及。

在[5]中證明了以下定理：

定理A（[5]） 設{}n=2，3…是一個正實數的序列，且

對n≥3，令f=h+∈H（）。如果，此時映射

是f到整個復平面的擬共性延拓，且復伸張μF滿足

定理3的證明根據定理A，為證明定理3，我們只需要驗證（2.1）是否滿足定理A中的條件。

根據（2.1）可以得到a1=1且f是保向的，且我們知道|b1|<1。由（2.1），令=n，有。

對于任意n≥3，且

因此，根據定理A，我們得到（3.1）定義的F是f到復平面的擬共形延拓。又由定理2證明中斷結論1，有，

證明完畢。

【參考文獻】

[1] Y.Avci， E. Zlotkiewicz， On harmonic univalent mappings， Ann. Univ. Mariae Curie Sklodowska Sect.A 44（1990）， 1-7.

[2] P. Duren， Harmonic functions in the plane， Cambridge Univ. Press， Cambridge， 2004.

[3] P. Duren， Univalent functions， Cambridge Univ. Press， Cambridge， 2004.

[4] M. Fait， J. G. Krzyz， J. Zygmunt， Explicit quasiconformal extensions for some classes of univalent functions， Comment. Math. Helv. 51（1976）， 279-285.

[5] H. Hamada， T. Honda， K. H. Shon， Quasiconformal extensions of starlike harmonic mappings in the unit disc， 4（2013）， 1377-1387.

[6] J. M. Jahangiri， Harmonic functions starlike in the unit disk，Journal of Mathematical Analysis and Applications.235（1999）， 470-477.

[7] O. Lehto， K.I.Virtanen， Quasiconformal Mappings in the Plane， 4（2013）， 1377-1387.

[8] J. Clunie， T. Sheil-Small， Harmonic univalent functions， Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I Math.9（1984）， 3-25.

[9] T. Sheil-Small， harmonic mappings， J. London Math.Soc 2（42）（1990）， 237-248.

[10] H. Silverman， Harmonic univalent functions with negative coefficients， J. Math. Anal. Appl. 220（1998）， 283-289.