二十一歲本科生數(shù)十年來(lái)未解數(shù)學(xué)難題

21歲的本科生，推動(dòng)了幾十年懸而未決的數(shù)學(xué)難題。 他就是麻省理工學(xué)院（MIT）數(shù)學(xué)系的Ashwin Sah，其用手中的筆和草紙，助力拉姆齊數(shù)（Ramsey number）問(wèn)題的解決，而該問(wèn)題這是組合數(shù)學(xué)領(lǐng)域最重要的問(wèn)題之一。

“Ashwin解決的難題是數(shù)學(xué)組合學(xué)的核心問(wèn)題。Ashwin之所以能解出，是因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)了一些新的數(shù)學(xué)方法，而每一次突破成果的出現(xiàn)，都意味著新的數(shù)學(xué)工具即將誕生”，Ashwin的導(dǎo)師——MIT數(shù)學(xué)系華裔助理教授、斯隆獎(jiǎng)得主趙宇飛表示。

什么是拉姆齊數(shù)？

拉姆齊數(shù)主要用于表示完全的無(wú)序是不可能的，即一個(gè)集合的元素?cái)?shù)量達(dá)到特定臨界點(diǎn)后，肯定會(huì)出現(xiàn)預(yù)先定義的某種性質(zhì)或結(jié)構(gòu)。

以拉姆齊數(shù)的經(jīng)典案例鴿籠原理為例，10只鴿子放進(jìn)9個(gè)鴿籠，那么一定有一個(gè)鴿籠放進(jìn)了至少兩只鴿子。

鴿籠原理

同樣的案例還有，要保證一群人中一定有兩個(gè)人的生日是同一天，那么至少需要367個(gè)人。其他例子還有，6個(gè)人中必有3個(gè)人相互認(rèn)識(shí)或相互不認(rèn)識(shí)；一群人里面一定有兩個(gè)人的生日是同一天等。想要的團(tuán)規(guī)模越大，計(jì)算出精確的拉姆齊數(shù)就會(huì)越困難。

20世紀(jì)30年代，Paul Erd s和George Szekeres兩位數(shù)學(xué)家曾研究過(guò)拉姆齊數(shù)的上下界，此后至今該問(wèn)題一直讓數(shù)學(xué)界“一籌莫展”。

匈牙利數(shù)學(xué)家曾這樣描述尋找拉姆齊數(shù)的難度：“想像有隊(duì)外星人軍隊(duì)在地球降落，要求取得R(5，5)的值，否則便會(huì)毀滅地球。在這個(gè)情況，我們應(yīng)該集中所有電腦和數(shù)學(xué)家嘗試去找這個(gè)數(shù)值。若它們要求的是R(6，6)的值，我們可能要嘗試毀滅這隊(duì)外星人了。”

而在2020年5月，Ashwin通過(guò)優(yōu)化前輩的方法，拓寬了拉姆齊數(shù)的研究邊界。其文章主要內(nèi)容是，如果有6個(gè)頂點(diǎn)，它們互相通過(guò)邊來(lái)連接，此外還有15條邊著色，我們可以將每條邊涂成紅色或藍(lán)色。但是不管怎么著色，總會(huì)有3個(gè)頂點(diǎn)之間以同色邊相連，這種現(xiàn)象被稱作團(tuán)（clique），而假設(shè)是5個(gè)頂點(diǎn)，情況就會(huì)發(fā)生變化。基于此，兩種顏色、且團(tuán)的規(guī)模為3的拉姆齊數(shù)為6，也就是說(shuō)要保證團(tuán)的存在，至少得有6個(gè)頂點(diǎn)。他的文章證明，一旦圖達(dá)到特定大小，就必然包含具備對(duì)應(yīng)規(guī)模的團(tuán)。

多位學(xué)者認(rèn)為，Ashwin的證明是當(dāng)前條件下，能達(dá)到的最佳結(jié)果。此前曾研究出該問(wèn)題的最佳上限的加州理工學(xué)院數(shù)學(xué)教授大已·利隆表示，他將這一方法推向邏輯極限，并認(rèn)為雖然是本科生，但他完成的工作足以使他獲得一份教職。

Ashwin Sah 的文章

趙宇飛

談起首次注意到Ashwin，趙宇飛向Ashwin讀大一時(shí)，趙宇飛在MIT教授研究生級(jí)別的數(shù)學(xué)組合課。當(dāng)時(shí)還是大一新生Ashwin跑來(lái)聽他的課，趙宇飛感到很驚訝，同時(shí)也擔(dān)心Ashwin可能還沒(méi)準(zhǔn)備好。但通過(guò)課后交流，發(fā)現(xiàn)Ashwin都能聽懂。除了上趙宇飛的課，他還參加數(shù)學(xué)組合學(xué)的研討課。

在4萬(wàn)多名選手中斬獲銀獎(jiǎng)

Ashwin本人較為深刻的童年經(jīng)歷，是媽媽叫她學(xué)算數(shù)，這位出生于美國(guó)俄勒岡州的零零后，曾于16歲時(shí)斬獲國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（IMO）金牌，18歲時(shí)他又獲得首屆阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽的銀獎(jiǎng)，全球四萬(wàn)多名參賽者，僅有20名選手獲得金銀銅獎(jiǎng)。

習(xí)慣用博客記錄學(xué)生進(jìn)步的趙宇飛曾這樣寫道：“Ashwin已經(jīng)有大量的論文清單”，同時(shí)“我很高興Ashwin將留在MIT攻讀博士學(xué)位。”

與此同時(shí)，趙宇飛還推動(dòng)了Ashwin和他的另一名學(xué)生Mehtaab Sawhney的合作。

Mehtaab Sawhney是Ashwin的小伙伴。Mehtaab也參加了趙宇飛的研究生組合學(xué)課程，因此他倆特別熟，經(jīng)常一起上課和討論。

11歲時(shí)在做題的Ashwin

Ashwin和Mehtaab Sawhney

趙宇飛發(fā)現(xiàn)后，跟他們談話說(shuō)：“你們倆（既然）對(duì)于組合學(xué)都很感興趣，那么可以嘗試一起研究課題”。而他倆的正式合作也從這里開始，合作過(guò)數(shù)十篇論文，并解出很多趙宇飛一直想解的課題，對(duì)此他評(píng)價(jià)稱：“本科生研究傳統(tǒng)由來(lái)已久，但不管是數(shù)量還是質(zhì)量，無(wú)人能及Sah和Mehtaab。”

而基于此前合作成果，Ashwin和Mehtaab Sawhney 于今秋獲得由美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（AMS）、美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)（MAA）和工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（SIAM）共同評(píng)定2021摩根獎(jiǎng)（Morgan Prize），該獎(jiǎng)項(xiàng)主要授予表現(xiàn)出色的美國(guó)、加拿大或墨西哥的數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)生，獎(jiǎng)金為1000美元。而趙宇飛作為導(dǎo)師，其價(jià)值之一便是獲悉學(xué)生背景后，幫他們找到合適課題。

數(shù)學(xué)生的“無(wú)知者無(wú)畏”

趙宇飛的很多學(xué)生和Ashwin一樣，對(duì)組合數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著濃厚興趣，其中包括MIT華人學(xué)生姚遠(yuǎn)、張盛桐和馀鴻勛，他們都是國(guó)際奧數(shù)競(jìng)賽金牌得主。目前，姚遠(yuǎn)和張盛桐已經(jīng)加入趙宇飛的科研團(tuán)隊(duì)，并與MIT博士后姜子麟、博士生Jonathon Tidor一起利用圖論方法，解決了幾何學(xué)中長(zhǎng)期未解決的等角線問(wèn)題。其中，馀鴻勛在趙宇飛的指導(dǎo)下，對(duì)離散幾何課題做出重大突破，并延伸了多項(xiàng)式這一前沿?cái)?shù)學(xué)方法。

數(shù)學(xué)是特別容易出年輕天才的領(lǐng)域，而被評(píng)為MIT優(yōu)秀導(dǎo)師的趙宇飛表示，在跟學(xué)生相處時(shí)，他經(jīng)常受到鼓舞啟發(fā)。因?yàn)橐粋€(gè)從未見過(guò)太多數(shù)學(xué)方法的學(xué)生，一定程度上的“無(wú)知者無(wú)畏”，反而能想出看起來(lái)很奇怪、但其實(shí)非常新的方法。有時(shí)學(xué)生做出的結(jié)果，連數(shù)學(xué)專家都未必能想出來(lái)。

不過(guò)他認(rèn)為，學(xué)數(shù)學(xué)天賦和積累都重要，數(shù)學(xué)需要很強(qiáng)的功底，而不管做什么研究，都是辛苦且漫長(zhǎng)的過(guò)程，一個(gè)數(shù)學(xué)課題有時(shí)整整一月都毫無(wú)進(jìn)展，因此即便有天賦的學(xué)生也會(huì)半途而廢，但再堅(jiān)持一下，可能就會(huì)在某天突然想到新方法。

趙宇飛認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的是思想方法，而不是機(jī)械性地解固定題目。所謂數(shù)學(xué)不是給個(gè)公式就去算題，數(shù)學(xué)是一種分析型的創(chuàng)造性學(xué)科，像 Ashwin做出來(lái)的結(jié)果，是他自己閱讀很多論文后，發(fā)現(xiàn)這是他的興趣點(diǎn)，然后才投入時(shí)間去研究。

在MIT工作的趙宇飛，經(jīng)常接觸到能力很強(qiáng)的中國(guó)留學(xué)生，他很愿意指導(dǎo)中國(guó)留學(xué)生，并希望他們能更主動(dòng)地找他探討問(wèn)題。他認(rèn)為，中國(guó)的教育機(jī)制讓學(xué)生們打下了扎實(shí)基礎(chǔ)，但很多學(xué)生只是被動(dòng)地期待導(dǎo)師來(lái)布置課題，而非積極探索熱愛(ài)的方向，這樣或許可以取得一些短期成績(jī)，但不利于取得重大進(jìn)展。

Ashwin的成果，離不開趙宇飛的指導(dǎo)，未來(lái)在教學(xué)方面他會(huì)把多年研究成果，整理成研究生組合學(xué)課程的教學(xué)材料，并把教學(xué)視頻放在MIT公開課網(wǎng)站上。他還希望能把這一課程寫成一本書，從而給更多從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)接觸組合數(shù)學(xué)的窗口。

提到數(shù)學(xué)畢業(yè)生的出路，趙宇飛表示，數(shù)學(xué)出身的人當(dāng)然可以做含數(shù)學(xué)在內(nèi)的學(xué)科研究，比如去做計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)，數(shù)學(xué)教給他們的思想方法在很多學(xué)科都管用。如果不想留在學(xué)術(shù)界，他們可以去金融公司或者科技公司，這些公司都很重視數(shù)學(xué)好的學(xué)生。