橋架起重機防晃控制非線性系統建模與研究

(江蘇大學 電氣信息工程學院，江蘇 鎮江 212000)

0 引言

近年來，隨著世界貿易的飛速發展與集裝箱貨物運輸方式的逐步優化，在眾多的物流作業中，橋架起重機發揮著越來越重要的作用。與此同時，橋架起重機防晃技術也越來越受到人們的重視，它直接決定了集裝箱的裝卸速度[1]。橋架起重機在吊運過程中貨物不可避免地要出現“擺動”現象，這種現象可能會帶來損壞貨物、傷害地面工作人員等危害。針對橋架起重機系統的這一特征，其建模和控制問題受到了學者們的廣泛關注。

縱觀國內外，并沒有對完整的橋架起重機防晃控制系統(包含電機)進行建模和研究的文獻。文獻[2-4]建立了2D 橋架起重機的數學模型，利用李亞普諾夫穩定理論和模糊邏輯來達到橋架起重機在減小擺動角度和位置精度方面的要求。文獻[5-7]建立了2D 橋架起重機的數學模型，研究了不同的非線性防晃定位控制方法。文獻[8]研究并建立了橋架起重機的線性化數學模型，并提出了相應的控制器。文獻[9-10]采用拉格朗日方程方法建立了橋架起重機的非線性模型，文獻[10]還考慮了摩擦力和空氣阻力對橋架起重機的影響。文獻[11]提出了基于多模型參考切換雙閉環防搖控制方法，建立了橋架起重機防搖系統的數學模型。文獻[12]采用拉格朗日方程方法建立了雙起升雙吊具橋架起重機的2D 動力學模型，并對該雙起升雙吊具橋架起重機的動態數學模型進行了簡化。

但是上述工作建立的模型僅僅是針對吊車或者吊車與控制器，并沒有涉及包含電機部分的完整的橋架起重機防晃控制系統模型，而電機是橋架起重機防晃控制系統的重要組成部分，電機的特性對橋架起重機的位置精度和吊具及負載的擺動擺角大小以及防晃控制有很大的影響。所以上述文獻的成果在一定程度上給研究橋架起重機系統以及防晃控制算法帶來了較大的不準確性。文獻[13]搭建了一個包含電機的三維橋式吊車實驗系統，這個系統能夠一定程度上反映實際橋架起重機非線性系統的動態特性，但是涉及的理論建模研究較少。文獻[14]構建了一個橋吊多電機實時仿真控制平臺，提出了一種實時內核的混合仿真實驗構架，但是基本沒有涉及理論建模。文獻[13-14]涉及理論研究較少，從而無法為橋架起重機防晃控制算法研究提供系統的理論參考。

本文經過理論推導建立了包含電機部分的完整的橋架起重機防晃控制非線性系統的物理模型和數學模型，該模型完整的描述了橋架起重機系統的運動特性。最后，本文分別對電機部分、吊具及負載部分、橋架起重機開環非線性系統以及用PID控制算法控制的橋架起重機閉環控制非線性系統進行Matlab仿真研究，得到的仿真波形與實際認知現象和文獻理論現象相符，證明了模型的正確性和有效性。

1 橋架起重機防晃控制系統數學模型

1.1 橋架起重機系統整體模型

橋架起重機系統主要由電機、運行車(下文中簡稱小車)、吊具及負載組成。本文基于橋架起重機的二維運動，建立橋架起重機控制非線性系統的完整的物理和數學模型，并對其進行仿真研究。

橋架起重機系統整體模型如圖1所示。

圖1 橋架起重機系統整體模型

1.2 橋架起重機結構介紹

橋架起重機是集裝箱船與碼頭前沿之間裝卸集裝箱的主要設備,它由前后兩片門框和拉桿構成的門架和支承在門架上的橋架組成,起重機的運行車輪裝在支腿的下端,大車在地面的軌道上運行,跨越裝卸場地的上空,為裝卸場地裝卸貨物[15]。

圖2 橋架起重機結構

1.3 電機部分

直流電動機是將直流電能轉換為機械能的電動機。因其良好的調速性能而在電力拖動系統中得到廣泛應用。

直流電機的電動勢平衡方程：

(1)

(2)

式中,Ua(t)為施加在電機上的電壓；Ra為電樞回路內部總電阻；ia(t)為電動機電樞電流；eb(t)為感應電動勢；La為電樞回路電感；kb為感應電動勢常數；θm為電動機轉軸轉角。

直流電機的轉矩平衡方程(忽略空載轉矩)：

(3)

τ(t)=kaia(t)

(4)

式中,τ(t)為電機轉軸輸出力矩；Jeff為折合到電動機軸上的總的等效轉動慣量；ka為電動機電流-力矩比例常數；feff為折合到電機軸上的總的等效摩擦系數。

對式(1)～(4)進行Laplace變換得到：

Ua(s)=RaIa(s)+Eb(s)+sLaIa(s)

(5)

Eb(s)=skbΘm(s)

(6)

T(s)=s2JeffΘm(s)+sfeffΘm(s)

(7)

T(s)=kaIa(s)

(8)

由式(5)～(8)化簡可得：

(9)

電動機輸出轉矩和拉力的關系為：

τ(t)=nrF(t)

(10)

式中,n為電動機的減速比；r為電機輸出軸的半徑，F(t)為電機轉動產生的拉力。

對式(10)進行Laplace變換得到：

T(s)=nrF(s)

(11)

1.4 吊具及負載部分

實際工程中的橋架起重機的吊具與負載部分結構較為復雜，為了分析和建模方便，本文中將吊具與負載等效看作一個長度為2L的勻質擺桿，質心在L處。忽略擺體轉軸間的摩擦和擺桿在運動過程中的空氣阻力，且假設擺桿初始時刻靜止。

簡化后可得擺桿的物理模型和受力如圖3所示。

圖3 吊具與負載等效成的擺桿的物理模型和受力

圖3中，M為小車的質量，m為吊具與負載等效成的擺桿的質量。

以地面為參考，將擺體的運動分解為平動和繞質心轉動兩部分，質心加速度等于質心平動加速度和繞質心轉動加速度之和。質心加速度的水平分量為：

(12)

式中,rx為桿質心的水平位移分量；rC為小車的位移；θ為擺桿轉動的角度。

質心加速度的垂直分量為：

(13)

式中,ry為桿質心的豎直位移分量。

擺體運動學方程(平動部分)為：

(14)

(15)

式中,FC->Px為小車對吊具與負載等效成的擺桿的水平方向的作用力；FC->Py為小車對吊具與負載等效成的擺桿的豎直方向的作用力；g為重力加速度。

由式(13)和式(15)可得：

(16)

擺體運動學方程(轉動部分)為：

(17)

式中,Jc為吊具與負載等效成的擺桿繞質心的轉動慣量。

將式(14)和式(16)代入式(17)得：

(18)

勻質桿繞一端轉動時，其轉動慣量為：

J=Jc+mL2

(19)

由式(18)和式(19)可得：

(20)

1.5 小車部分

忽略小車運動時與軌道的摩擦，且假設空氣阻力與車的速度成正比且摩擦系數為μ。可得小車部分簡化的物理模型如圖4所示。

圖4 二維橋架起重機小車的物理模型

圖4中，F為電機轉動產生的對小車的拉力；f為小車運動時與空氣的摩擦力；FP->Cx為吊具與負載等效成的擺桿對小車的水平作用力。

考慮到小車只有水平方向的運動，可寫出小車的運動方程：

(21)

(22)

FP->Cx=FC->Px

(23)

將式(14)、(22)代入式(21)得：

(24)

1.6 PID控制器

當今的閉環自動控制技術都是基于反饋的概念來減少不確定性。反饋理論的要素包括：測量、比較和執行。具體實現方法是被控變量的實際值與期望值比較得到偏差值，用這個偏差值來糾正系統的響應，執行調節控制。在實際工程中，應用最廣泛的調節器控制規律為比例、積分、微分控制，簡稱PID控制。

(25)

式中，u(t)是控制器輸出信號；e(t)是給定輸入信號與系統被控量的偏差，定義為e(t)=r(t)-c(t)；r(t)是給定的輸入信號；c(t)是系統的被控量；KP、KI、KD為比例、積分、微分參數。

PID控制器的結構原理如圖5所示。

圖5 PID控制器結構原理圖

隨著控制理論的發展，PID算法也得到優化和改進，本文采用經典的增量式PID控制算法對系統進行控制。

2 基于Matlab的橋架起重機防晃控制系統模型

由式(8)、(9)、(11)可以得到電機部分的傳遞函數模型如圖6所示。

圖6 電機部分傳遞函數模型

小車與吊具及負載部分的數學模型由式(20)、(24)可以得到如下非線性差分方程組：

-J[θ(k)-2θ(k-1)+θ(k-2)]=

Lm[r(k)-2r(k-1)+r(k-2)]cosθ(k)-mgLsinθ(k)

(26)

(M+m)[r(k)-2r(k-1)+r(k-2)]+

μ[r(k)-r(k-1)]=F-mL[θ(k)-θ(k-1)]2sinθ(k)-

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mL[θ(k)-2θ(k-1)+θ(k-2)]cosθ(k)

(27)

控制算法采用經典的增量式PID控制算法對系統進行控制。該系統為雙閉環控制非線性系統。

綜上，采用增量式PID控制算法建立的非線性橋架起重機防晃控制系統模型如圖7所示。

圖7 橋架起重機防晃控制非線性系統模型框圖

3 仿真結果和分析

將建立的橋架起重機防晃控制非線性系統模型用Matlab進行仿真。

3.1 電機部分Matlab仿真及結果

忽略電機的啟動方式對模型的影響，直接給電機加300V電壓，取feff=0.318，ka=1.33，Jeff=1.9，Ra=0.2，La=0.05，kb=1.4，n=1/30，r=0.1(以上數據單位均為國際單位制)可得到如圖8所示的電動機電樞電流的仿真波形，由于剛啟動時，轉速n=0,電樞回路內部總電阻Ra很小，電機電樞電流在直接加電壓的一瞬間突增至780 A左右，經短暫時間后，電流穩定在49 A左右，符合電機特性。

圖8 電機電樞電流仿真波形

3.2 小車連擺部分的Matlab仿真及結果

由式(26)、(27)可在Matlab中建立小車連擺部分的非線性數學模型，直接給小車連擺部分加300 N的拉力，取L=16，M=500，m=10 000，μ=0.2，g=9.8，J=3.413*105(以上數值單位均為國際單位制)；觀察擺角擺動的仿真波形和小車運動位置的仿真波形如圖9、10所示。

由圖9可以看出，吊具與負載等效成的擺桿的擺角擺動到一定角度后收斂于該角度(非平衡位置)，符合實際物理現象。

圖9 擺角擺動的仿真波形

由圖10可以看出，在恒力的作用下，小車位移一直呈非線性增大，符合實際物理現象。

圖10 小車運動位置的仿真波形

3.3 橋架起重機系統開環Matlab仿真及結果

由電機部分和小車連擺部分的模型可建立起橋架起重機系統開環模型，給電機加300V電壓，其余參數與上文一致，其Matlab仿真結果如圖11、12所示。

圖11為橋架起重機系統開環狀態下角度的仿真波形，可以看出角度在電機啟動的一瞬間迅速增至57°(約1rad)左右，振蕩后角度逐漸減小，符合實際物理現象。

圖11 橋架起重機系統開環仿真角度波形

圖12為橋架起重機系統開環狀態下小車運動位移的仿真波形，可以看出小車在啟動一定時間后開始勻速運動，符合實際的物理現象。

圖12 橋架起重機系統開環仿真位移波形

3.4 橋架起重機防晃控制系統Matlab仿真及結果

圖13 橋架起重機防晃控制系統仿真波形

橋架起重機防晃控制非線性系統仿真模型框圖如上文中圖7所示，對其進行Matlab仿真。取PID position的P=4,I=0,D=80;PID angle的P=320,I=710.8,D=2000;expected position(位置期望)=10，expected angle(角度期望)=0(平衡位置)(以上數值單位均為國際單位制)；得到如圖13所示的仿真波形：上方圖形為吊具與負載等效成的擺桿擺角的擺動曲線，可見擺角在較小(小于5度)的范圍內短暫振蕩后收斂于平衡位置；下方圖形為小車的位置曲線，可見小車位置逐漸趨于期望位置。符合預期要求。

4 結論

本文考慮了電機對橋架起重機非線性系統的影響，建立了完整的橋架起重機防晃控制非線性系統的物理模型和數學模型，并通過Matlab仿真驗證了模型的正確性。該模型全面系統地描述了橋架起重機系統的特性，也具體描述了組成系統的主要部分的特性，具有一般性和實用性，為橋架起重機系統的進一步研究提供了重要的參考，也為非線性系統控制算法的研究奠定了基礎。