基于期望系統的PID頻域逼近設計

(河海大學 物聯網工程學院，江蘇 常州 213022)

0 引言

PID是過程控制系統中應用最廣的控制器，其類型可分為固定參數PID和自適應PID[1-3]。對于大多數工業控制過程，固定參數PID基本能夠滿足系統的控制性能要求。

在固定參數PID的整定方法中，不論是依賴被控對象的參數模型還是非參數模型(自整定方式)[4-5]，大多集中在頻域進行參數計算，其中最流行的是基于穩定裕度[6-10]或最大敏感度[11]的PID整定方法。由于頻域性能指標與時域性能指標難以形成一個有效的映射關系，按照頻域性能指標設計往往難以保證時域指標(如超調量、調節時間)。

為了獲得期望的時域性能，有學者提出了超調量和調節時間受約束的PID整定方法[12]，但這種方法適用于低階被控對象。還有一類方法將時域性能蘊含在一個期望系統中，通過Macraulin展開技術實現模型逼近，以此來獲得期望的時域響應[13-16]。這類方法在被控對象的脈沖響應[17]或階躍響應[18]條件下，利用系統的輸出數據計算PID參數，因此，很容易形成一種未建模條件下的PID自整定方案。

基于Macraulin展開的模型逼近技術，實質上也是一種頻域逼近技術，這種方法雖然能夠得到很好的低頻逼近特性，但由于沒有考慮到影響系統穩定性的中頻段特性，因此無法確保系統的穩定性和穩定裕度。為此，不少學者提出將極點配置與穩定裕度條件相結合[19-22]的方案。但對于高階或時滯系統，極點位置只能定性地反映系統時域性能，無法與調節時間和超調量建立定量關系。因此，這類方案也只適合于低階系統。

考慮到期望系統具有綜合表達系統性能的優點以及穩定性的重要性，本文將采用期望系統模型來表征設計指標，并采用當前通行的頻域設計方法[6-11]，從頻域逼近和穩定性入手，提出一種新的PID參數整定方法，以獲得時域性能和頻域性能的期望逼近。

1 PID開環頻域逼近設計

由線性系統理論可知，系統開環頻率特性的低頻段決定了閉環系統的穩態特性，中頻段影響著閉環系統的瞬態性能。由于幅值裕度、相角裕度以及最大敏感度這三種頻域指標均處于開環頻率特性的中頻段，因此，為了實現最佳逼近效果，必須考慮同時中頻段和低頻段頻率特性的影響。

圖1 控制系統結構圖

設控制系統如圖1所示。圖中，Gc(s)為PID控制器：

其中:Kp、Ki、Kd分別為比例增益、積分增益和微分增益。

設被控對象Gp(s)的頻率特性模型為：

Gp(jω)=u(ω)+jv(ω)

考慮自衡工業過程，由于Gp(s)不含積分環節，于是有：

(1)

由系統結構圖易知，系統開環傳遞函數為：

G(s)=Gc(s)Gp(s)

相應的頻率特性模型為：

G(jω)=Gc(jω)Gp(jω)=p(ω)+jq(ω)

其中：

(2)

設期望的系統模型為Φ*(s)，其頻率特性模型為：

Φ*(jω)=x(ω)+jy(ω)

若Φ*(s)為無靜差系統，即Φ*(0)=1，則有：

(3)

其等價的期望開環頻率特性為：

式中,

(4)

若能實現期望開環幅相頻率特性逼近，則在理想情況下，在任意頻率ω(ω∈R+)處，有：

但這種條件大多情況下難以滿足。

在開環頻率特性的低頻段，令ω→0。為了避免虛部趨近無窮，上式修改為：

(5)

將式(1)～(4)代入到式(5) 中，即可得到比例增益Kp和積分增益Ki：

(6)

對于大多數工業受控對象：

若期望模型為：

則式(6)可簡化為：

(7)

由式(7)不難發現，比例增益和微分增益與期望系統的模型參數a無關，即：在期望模型相同的情況下，一階純滯后對象(a=0)和二階純滯后對象(a≠0)的比例增益和微分增益完全相同。

在控制系統的頻域設計中，穩定裕度(包括相角裕度和幅值裕度)是兩個重要的性能指標，對系統的穩定性有著重要的意義，同時，系統的穩定裕度也影響著系統的時域動態性能指標。

相角裕度是指系統開環幅值為1時(此處角頻率用ωp表示)，系統相角距-180°的差值；幅值裕度是指系統開環幅相頻率特性在-180°處(此處角頻率用ωg表示)，系統幅值的倒數。當相角裕度大于零且幅值裕度大于1時，系統穩定。

為了確保校正后的系統穩定裕度不低于期望系統，在開環系統的中頻段，要求待校正系統G(ω)的幅值小于或等于期望開環系統G*(ω)的幅值，即：

|Gc(ω)| |Gp(ω)|≤|G* (ω)|,ωp≤ω≤ωg

式中，ωp為G*(ω)在相角裕度處的截止頻率，ωg為G*(ω)在幅值裕度處的穿越頻率。

于是有：

解上式得微分增益Kd的參數范圍：

(8)

這個參數范圍由于滿足了期望穩定裕度的性能要求，因此將其稱之為微分增益Kd的置信區間。

2 仿真研究

2.1 二階時滯對象

選取二階純滯后對象：

(9)

期望閉環傳遞函數與文獻[22]設置完全相同，即：

(10)

由式(10)知，期望的開環傳遞函數為：

期望開環頻率特性G*(ω)在幅值裕度和相角裕度處的特征頻率分別為ωp=0.140 9和ωg=0.546 1。

根據式(7)可得比例增益和積分增益：

(Kp，Ki)=(0.028 5，0.286 8)

考察ωp和ωg及其中間值ω=0.343 5這三處的Kd范圍：首先計算這三個頻率處的幅值|G(ω)|和|G*(ω)|，然后將其代入到式(8)中，得：

Kd([0.070 7 28.78],ωp=0.140 9

Kd([0.060 3 4.801],ω=0.343 5

Kd([0.046 7 1.877],ωg=0.546 1

由上面結果可以看出：

1)Kd范圍隨著取樣頻率的增大而縮小，其區域邊界值也隨著取樣頻率的增大而減小；

2)ωp和ωg兩特征頻率處Kd范圍的交集決定了中頻段Kd的置信區間：Kd∈[0.070 7, 1.877]。

由于Kd置信區間存在近25倍的范圍比，為了研究Kd取值對系統逼近程度的影響，在該區間分別取三個值：區域兩邊界值和區間中值。

表1列出Kd不同值對系統頻域指標的影響。在Kd的置信區間內，Kd取值越小，所得頻域性能越接近期望系統，當Kd取值增大時，相角裕度高于期望的相角裕度，但幅值裕度會小于期望值。

表1 頻域性能

從圖2中的開環幅相頻率曲線可以看出，當Kd增大后，由于微分特性的影響，隨著系統的頻率增大開環幅值快速增大，從而影響了系統的頻域指標。

圖2 時滯系統開環頻率響應

圖3是三個不同微分增益的時域響應對比曲線。時域響應的逼近程度與頻域開環幅相頻率曲線的極為相似，Kd取值越小，對設置值的跟蹤越接近期望系統。當Kd取置信區間下限時，系統階躍響應曲線幾乎與期望系統重合。

圖3 時滯系統閉環時域響應

2.2 非最小相位對象

考察非最小相位對象[22]：

(11)

其期望系統仍采用式(10)所示模型。

由式(7)得：

(Kp，Ki)=(0.131 8，0.286 8)

由式(8)得：

則Kd的置信區間：Kd∈[0.099 7, 1.846]。

表2列出了該區間三個不同Kd值的頻域指標。對于非最小相位對象，Kd對系統性能的影響與純滯后系統十分相似：在置信區間內，Kd取值越小，頻域性能(如圖4)和時域性能(如圖5)指標越接近期望系統。

表2 頻域性能

圖4 非最小相位系統開環頻率響應

圖5 非最小相位系統閉環時域響應

2.3 不同PID對比研究

為了與其它PID整定方法進行比較，選取式(11)所示非最小相位被控對象，時域和頻域性能指標由式(10)所示期望模型確定。

文獻[18]采用模型逼近所得的比例增益Kp和積分增益Ki與本文方法完全相同，而微分增益Kd則處于本文的置信區間內，距置信區間下限非常接近。

文獻[10]按照式(10)所示期望系統的頻域指標設計，比例增益Kp和積分增益Ki也與本文方法十分接近，微分增益Kd雖然也處于本文的置信區間內，但接近于置信區間的上邊界。

文獻[22]提供的方法無法直接對非最小相位對象進行PID參數求解，采用的方案是：先將式(11)非最小相位對象用式(9)所示二階時滯模型近似，然后計算PID參數。

表3給出了式(11)所示非最小相位對象的四種PID的參數值。

表4給出了4種情況下的頻域指標，本文方法與文獻[18]所得穩定裕度幾乎完全相同；文獻[10]的幅值裕度偏低，且穿越頻率偏高；文獻[22]的幅值裕度高于期望值，但相角裕度低于期望值。

表3 PID參數

表4 頻域性能

圖6給出開環幅相頻率曲線的對比圖，可以看出本文與文獻[18]較另外兩種方法逼近期望效果更好。在中低頻段，文獻[10]和文獻[22]所示系統的開環幅相頻率特性曲線明顯偏離了期望曲線。

圖6 開環頻率響應

圖7是4種PID的閉環控制系統階躍響應曲線。由響應曲線可以看出，本文方法在快速性和平穩性方面性能最佳；文獻[18]雖然與本文方法具有非常相近的穩定裕度，但在超調量和調節時間上還是與本文有明顯的差別；文獻[10]由于只考慮了穩定裕度，因而跟蹤性能在4種PID中表現最差。

圖7 4種PID階躍響應曲線

3 實驗測試與分析

3.1 系統建模

當前的控制系統設計方法幾乎都是基于被控對象的數學模型進行參數整定。因此，要獲得控制器參數，首先需要建立被控對象的數學模型。

本文選取的被控對象是一單容水箱的水位控制系統。水箱的液位高度控制系統是過程控制中常見控制系統。進水量通過調節電動閥的開度實現。由于水在管道中的傳輸需要一段時間，因此系統呈現明顯的時滯特性。另外水箱下部的出水量與水位高度平方根有關：

式中，A為放水孔的截面積，a和b分別是與流出和流入速度有關的常量，h為水位高度，u為閥門開度。因此系統又表現出一定的非線性。

由于參數a和b無法測量，本實驗通過開環階躍測試，得到電機控制電壓和水位高度的實驗數據，然后利用Matlab的系統辨識工具箱，將這個非線性時滯系統近似為一階純滯后環節：

該模型的階躍響應與實驗測試數據的逼近程度為87%。被控對象的開環調節時間為739秒。

3.2 期望模型選擇

本文所述系統設計方法，理論上能夠確保待設計系統逼近期望系統的性能。但在仿真驗證時，未考慮物理系統的各種約束條件，如控制量受限、非線性因素等，這些客觀約束條件的存在，會導致系統的實際性能與期望的性能存在一定的差距。因此，期望系統的模型選擇必須慎重。

我們知道，超調量δ%和調節時間ts是時域性能指標中的兩個重要物理量。對于一階系統：

和二階系統：

來講，超調量δ%(0<ξ<1)和調節時間ts分別存在如表5所示對應關系。如果系統存在時滯L，則調節時間再加上L，超調量不變。

表5 時域指標與期望模型的關系

為了研究不同期望模型對實驗系統性能的影響，實驗中的選擇三種期望模型進行系統設計：

考察系統在非線性以及控制量受限的約束條件下，所得實際系統性能與期望系統性能的逼近程度。

由三種期望模型，很容易得到系統的時域期望性能指標(見表6)。

表6 期望的時域性能指標

3.3 實驗分析

表7給出了3種期望模型下的PID比例增益和積分增益參數以及微分增益的置信區間。

表7 不同期望模型的PID參數

根據三組期望模型，在各自的置信區間內，分別取三組PID參數值：

PID1：(Kp,Ki,Kd)=(26.7, 0.11, 24.5)

PID2：(Kp,Ki,Kd)=(39.3, 0.16, 47.1)

PID3：(Kp,Ki,Kd)=(74.4, 0.31, 71.9)

水箱水位的期望高度設定為6厘米，采樣周期為1秒。

圖8～圖10分別是三組PID控制系統的階躍響應曲線。從實驗曲線上看，采用第二個期望模型進行PID參數計算，所得校正后系統與期望系統的逼近程度較高。

圖8 PID1實驗曲線

圖9 PID2實驗曲線

圖10 PID3實驗曲線

表8是三組PID控制系統的時域性能指標。

表8 實驗系統的時域性能指標

從表8可以看出，PID1系統盡管滿足了超調量的要求，但響應速度偏慢；PID3所示系統的超調量和調節時間，均與期望的性能差別較大。

PID3所對應系統的超調量與期望的超調量差距較大，其主要原因：當要求系統響應速度快時，系統需要提供較大的控制作用，但實驗裝置的控制量限制在0～100范圍內，電動調節閥一直處于飽和運行狀態，原有的控制規律不再符合設計要求，從而產生了較大的超調量。

PID3的實驗結果說明：由于受物理條件的限制，期望的響應速度不應該設置太快，否則時域性能指標難以滿足期望的要求。

對比實驗中，只有PID2所示系統與期望的系統十分接近。因此，建議期望模型的響應速度一般選擇為被控對象開環響應的4～5倍為宜。這樣實際系統的性能基本上可以接近期望系統的性能。

4 結束語

為了滿足系統的時域性能指標要求，本文提出了一種PID頻域逼近設計方法。該方法將期望的時域指標轉換為期望的開環模型，通過期望開環低頻特性逼近和中頻段穩定裕度約束，獲得了PID參數及其置信區間。與其它PID設計方法不同的是，本文給出了比例增益和微分增益的定量計算方法，而微分增益給出的是一個置信區間，使得本方法所設計的PID控制器非常靈活，能夠在滿足穩定性的前提下，最大限度地逼近期望性能。仿真對比研究證明了本文方法的有效性。

由于實際物理系統均具有非線性以及控制量受限的約束條件，要在工程應用獲得與期望系統更近的性能時域性能，期望模型的選擇需要依據被控對象的開環響應速度來決定。本文在液位控制實驗中討論了不同期望模型對實際控制性能的影響，建議期望的響應速度以被控對象開環響應速度的4～5倍為宜。