二元一次方程組解法兩種方法研究

羅岳昭

【摘要】? 湘教版七年級下冊數學第二章的學習內容為《二元一次方程組》，教材安排為：二元一次方程組的數學概念、二元一次方程組的解題思路、二元一次方程組的實際應用。本文以湘教版教學大綱為出發點，致力于培養初中生良好的消元思維，促進二元一次方程組教學進程良好展開。

【關鍵詞】? 二元一次方程組 解題思路 消元

【中圖分類號】? G633.6? ?? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】? A ? ? 【文章編號】? 1992-7711（2020）05-069-01

引言

二元一次方程組的解題思路，主要分為兩種：代入消元法，加減消元法;在實際初中數學教學過程中，兩種解題思路之間并不存在絕對的教學順序，旨在培養學生良好的數學思維，鍛煉其正確的消元思想，解決實際問題;消元數學思維，有利于培養學生解決問題的能力，成為教學大綱的設立依據。

1.二元一次方程組的數學概念

生活中，某一領域、事物之間，涉及多組未知數，此種現象較為普遍;未知數據之間，存在一定的數量關系;通過列舉數量關系，獲取所需信息。例如，較為經典的數學討論題“雞兔同籠”，給出籠子中的總腳數n、總頭數m，來計算雞、兔的數量;雞兔同籠屬于典型的二元一次方程組解題案例，假設雞數量為a，兔數量為b，方程組為：①a+b=m，②2a+4b=n;解題思路為：利用①關系，簡化②關系，進而求得結果;方法一：2a+4×（m-a）=n，4m-2a=n;由于m，n為已知數，即可求得a值;利用①式關系，求得b值;方法二：2×（m-b）+4b=n，2m+2b=m，求得a、b值。利用兩個未知數的相互關系，實現消元的解題過程，簡化數學關系，求得所需信息，是二元一次方程組的核心數學概念。

2.探索二元一次方程組多種解法

2.1二元一次方程組的教學設計

湘教版七年級下冊數學教學設計，主要內容包含：二元一次方程組、整式乘法、因式分解、平行線與相交線、軸對稱問題、數據分析;在此教學設計中，充分明確了二元一次方程組的核心地位;在二元一次方程組數學知識之前的數學課程，均在為二元一次方程組做鋪墊，培養學生數學邏輯思維，提升學生對二元一次方程組的理解能力;在二元一次方程組之前的數學知識內容為：一元一次不等式組，利用一元一次方程為學生引入二元一次方程組，建立學生良好的數學邏輯性;在七年級上冊，代數式的數學知識，為學生解題二元一次方程組奠定了良好基礎;利用代數數學思想，引入消元數學概念，提升學生對消元的理解能力，促進二元一次方程組教學順利完成。數學知識具有一定邏輯性，數學學習是一種螺旋上升的體驗;合理規劃教學內容，促進初中生獲得優異的數學成績，讓數學教學事半功倍。

2.2二元一次方程組的解題過程

第一，代入消元法，是一種數學思維，用以計算數學問題，屬于高斯消元法的簡化應用;代入消元法的解題思路為：將二元一次方程組中2個未知數，x、y，將x用y表示，或者用x表示y，實現消元，獲取未知數的解;正如雞兔同籠案例中，雞數量為a、兔數量為b，a+b=m，代入消元法的具體表現為：2a+4×（m-a）=n，2×（m-b）+4b=n;通過代入消元，將二元一次方程組簡化為一元一次方程組，降低解題難度，獲取解題答案。

第二，加減消元法，是數學運算的一種方式;將兩個二元一次方程組中，判斷同一個未知數的系數，利用方程式相加、相減方式，實現消元目標，將二元一次方程組簡化成一元一次方程組。

案例1，用代入消元法求解二元一次方程組：①3x+5y=21，②2x-5y=-11.解題過程為：①+②，得出方程式：（3x+5y）+（2x-5y）=21+（-11）;數學化簡得：5x=10，由此可知：x=2;將x=2代入方程式①式中，3×2+5y=21，5y=15，計算得出y=3;求得方程組的解：x=2，y=3.在此案例中，亦可將x=2代入方程式②式中，獲取結果。

案例2，用加減消元法求解二元一次方程組：①2x-5y=7，②2x-3y=-1.解題過程為：②-①，得出方程式：（2x-5y）-（2x-3y）=-1+7;數學化簡得：8y=-8，由此可知：y=-1;將y=-1代入方程式①式中，2x+5=7，計算得出x=1;求得方程組的解：x=1，y=-1.

案例3，選擇適宜的方式求解二元一次方程組：①2x+3y=12，②3x+4y=17.解題過程為：①×3，得出方程式：③6x+9y=36;②×2，得出方程式：④6x+8y=34;計算③-④，得出方程式：（6x+9y）-（6x+8y）=36-34;數學化簡得：y=2;將y=2代入①，獲得x=3;求得方程組的解：x=3，y=2.

第三，通過案例分析可知，加減消元法是通過方程組之間的運算，實現未知數消元的過程，計算其中一個未知數的結果，再求得方程組的解;加減消元法的解題思路為：判斷未知數系數的絕對值，是否能夠實現消元目標;如若系數為相反數，采用方程式相加的解題思路;如若系數相同，采用方程式相減的解題思想;如若系數之間不存在相互關系，將兩邊方程式乘以對方未知數一個系數，讓兩個方程式系數絕對值相等，實現消元過程，求得方程組的解。

第四，代入消元法與加減消元法的計算原理，均是以消元為目的，簡化二元一次方程組的難度系數，實現二元一次方程組的解題過程。在雞兔同籠案例中，利用的是代入消元法;代入消元法的優勢在于，利用兩個未知數相互關系，實現消元過程;加減消元法的數學思維相對強勢，將方程式左右兩端，分別計算，實現消元過程。從數學學習角度來說，兩種消元方式，均在不程度地培養學生良好的數學思維，有助于鍛煉其邏輯思考能力。

結論

綜上所述，二元一次方程組用以解決數學問題，具有良好的應用效能;將數學問題延伸至生活中，有利于提升初中生的生活技能;利用消元數學概念，培養初中生良好的數學思維，鍛煉其邏輯思考能力，有助于核心素質教育的發展。因此，初中數學教師應關注二元一次方程組的教學設計，促進學生獲得好成績。

[ 參? 考? 文? 獻 ]

[1]付依婷.基于歷史發生原理的求解二元一次方程組教學設計[D].閩南師范大學，2018.

[2]楊良畏.關于二元一次方程組解法的教學順序思考[J].中學數學研究（華南師范大學版），2017（22）：32-34.