以形助數(shù)，用數(shù)解形
——數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

朱曉勤

(浙江省義烏繡湖中學(xué)教育集團(tuán)城陽校區(qū) 浙江金華 322000)

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)解題中的一種重要思想。數(shù)和形是數(shù)學(xué)的二大支柱，數(shù)離不開形，形離不開數(shù)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)難直觀。”在數(shù)學(xué)解題過程中，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考，就能使抽象思維與形象思維有機(jī)結(jié)合起來，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的，本文將從“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”兩方面探討數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的相關(guān)運(yùn)用。

一、以形助數(shù)

借助幾何圖形或函數(shù)圖像來解決一些復(fù)雜的代數(shù)問題時(shí)，可將抽象的數(shù)學(xué)問題賦予直觀圖形的意義，使解題手段從“單一”走向“靈活”。

（一）利用數(shù)軸

（二）構(gòu)造幾何圖形

（三）利用二次函數(shù)的圖像

已知方程|x2-4x+3|+k=0有3個(gè)根，求k的值。

分析：本題方程的根的個(gè)數(shù)可以理解函數(shù)為y=|x2-4x+3|和函數(shù)y=-k的交點(diǎn)的情況，又圖像很容易得到有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k=-1。

二、用數(shù)解形

在函數(shù)問題的研究中，常常依據(jù)函數(shù)解析式的特征來分析圖像的特征。

（一）一次函數(shù)比例系數(shù)的特征

一次函數(shù)的圖像是一條直線，由一次項(xiàng)得系數(shù)可以知道它與x軸夾角得正切值。初中階段經(jīng)常遇見的夾角是30o，45o，60o，熟悉這三種角度與比例系數(shù)之間的關(guān)系，在解決問題時(shí)就能很快找到突破口。

（二）反比例函數(shù)的比例系數(shù)特征

（三）兩條直線的位置關(guān)系

兩條直線的位置關(guān)系包括：平行、相交、重合。知道函數(shù)解析式，可以通過代數(shù)的方法來研究兩條直線的位置關(guān)系。

例如：直線l1:y1=ax+b，直線l2:y2=cx+d，將y=ax+b和y=cx+b聯(lián)立二元一次方程組，通過這個(gè)方程組解的情況來判斷兩條直線的位置關(guān)系。兩條直線位置關(guān)系的判定式與二元一次方程組有如下聯(lián)系：二元一次方程只有一個(gè)解說明直線相交；二元一次方程有無數(shù)個(gè)解說明直線重合；二元一次方程無解說明直線平行。

數(shù)形結(jié)合思想，就是在解題時(shí)找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)，充分挖掘出數(shù)與形之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)以數(shù)代圖或以圖代數(shù)，有效地相互轉(zhuǎn)化，從而尋找出解題思路，使問題得以解決。