廣義Tanh函數法中Riccati方程和sine-Gordon方程的新解及其新應用

林府標, 張千宏

(貴州財經大學數統學院，貴陽 550025)

1 引言

1.1 Riccati方程(1)的已知顯式解析解

物理或工程等中的數學模型通常可歸結為偏微分方程，這些方程的各種性質，如顯式解析解等，特別是行波解可以很好的描述各種物理現象，如振動、傳播等．但由于非線性偏微分方程的復雜性和多樣性，至今仍有大量的重要方程無法求出顯式解析解，即使已經求出顯式解析解，也各有各的技巧和方法，至今仍沒有一般統一的解析求解方法．

直接構造非線性偏微分方程解析解最有效的方法之一為Tanh 函數法[1–3]，其算法的基本原理基于絕大部分有物理意義的非線性偏微分方程的行波解都可以表示成Tanh 函數的多項式，而廣義的Tanh 函數法[1–3]核心思想是充分利用帶有一個參數b 的Riccati 方程

進行反復計算，將含φ 的所有導數項轉化成關于φ 的代數多項式，因此非線性偏微分方程的精確求解問題就可以轉化成代數多項式方程根的探討問題，從理論上說，求解一個非線性代數方程或方程組總比求解一個非線性偏微分方程相對容易．另外，利用Riccati 方程(1)的一個好處是參數b 的符號可以判斷所得行波解的數量和形狀．

眾所周知Riccati 方程(1)具有三角函數和有理函數類型的顯式解析解[3]．事實上用Matlab 易驗證Riccati 方程(1)更具有表1 中的三角函數和有理函數類型的一般解．

表1: 帶參數b 的Riccati 方程(1)的解，其中c1 ∈R, i2 =?1

另外，文獻[4]給出了Riccati 方程(1)的十二種類型的顯式精確解，為了方便研究和應用，將其結果列于表2．

表2: 帶參數b 的Riccati 方程(1)的解，其中ε=±1, i2 =?1

1.2 Riccati方程(1)的新顯式解析解

為了利用廣義Tanh 函數法結合Matlab 符號運算和吳消元法構造非線性偏微分方程多種形式的新行波解，在文獻[4]的工作基礎上運用試探函數法結合Matlab 計算找到了Riccati 方程(1)的八種類型的新顯式解析解，其結果列于表3．

表3: 帶參數b 的Riccati 方程(1)的新解，其中ε=±1,a1,a2 ∈R

2 Tanh函數法結合Riccati方程的新解求sine-Gordon方程的新行波解

sine-Gordon 方程[5]

不僅具有豐富的物理與幾何背景以及悠久的歷史，而且具有許多有趣的現象，因而成為無窮維動力系統中的一個重要的模型．sine-Gordon 方程(2)最早是從一類實際問題歸結為Gauss 曲率K = ?1 的曲面幾何研究中得到的[5]，可用于描述Josephson 傳輸線中的磁通量子[6]、共振介質中的超短脈沖傳播[7]等．后來發現它在非線性光學、生物物理、離子物理、非線性晶格和超導物理的Josephson 結構等物理領域也有著廣泛的應用[5,8–12]．由于經典sine-Gordon 方程(2)與流體中的淺水波方程有相似的波動性質，所以也稱為非線性波動方程．

目前為構造sine-Gordon 方程的精確解已發展了許多解析求解的方法[5,8–11,13,14]．齊次平衡法也稱擬解法，也是構造非線性偏微分方程行波解的一種有效方法[3,15–17]．為了探求sine-Gordon 方程的行波解，作變換

把(3)代入(2)得約化二階非線性常微分方程為

注意到(3)，進一步假設約化方程(4)的解的表達式為

從而通過計算得

因此，約化方程(4)轉化成

根據Tanh 函數法[1–3]的關鍵思想，v′′與v3需平衡，于是可假設方程(6)的解的表達式為

其中φ 滿足Riccati 方程(1)，并且將其代入(6)得關于φ 的多項式函數方程，令φj(j =0,1,2,3,4)的系數為零得關于d0,d1,b 的非線性代數方程組

利用計算機代數中的吳消元法[18]，結合Matlab 編程計算解得

注意到b < 0，應用表1 至表3 中Riccati 方程(1)的相應解且取得到方程(6)的許多解，其結果列于表4．因此，sine-Gordon 方程(2)的行波解或函數(5)的具體解析表達式為

其中 vj(j =1,2,··· ,12)，見表4．

表4: 方程(6)的解，其中b=?, α >0, ε = ±1, c1,a1,a2 ∈ R

表4: 方程(6)的解，其中b=?, α >0, ε = ±1, c1,a1,a2 ∈ R

v1 =?tanh(√?bξ+c1)v7 = 5?4 cosh(2√?bξ)3+4 sinh(2√?bξ)v2 =?coth(√?bξ+c1)v8 = ?2√√tanh(2 ξ)+coth(?b ?b v3 = ?[tanh(2√2 ξ)?bξ)+iεsech(2√?bξ)]v9 = a1?e2√?bξ a1+e2√?bξ v4 = ?[coth(2√ √?bξ)+ εcsch(2√?bξ)]v10 =a21+a22?a1 cosh(2√a1 sinh(2√ ?bξ)?bξ)+εa2 v5 =?1α?bξ)?1 v6 = 2√2 ξ)+coth(√?b[tanh(√2 ξ)]v11 = tanh(√?b √ ?bξ)+2a1b√2 a1?b tanh(√α[b?√?b tanh(√v12 = ?(a1 sinh(2√?bξ)]?b tanh(√1+√a22?a21)?bξ)+ε√?bξ)a1 cosh(2√?bξ)+a2

另外，運用試探函數法結合Matlab 編程計算發現約化方程(6)有指數函數類型的解因此得sine-Gordon 方程(2)的解或(5)的解析表達式為

下面對約化方程(4)做一些簡化和變換，令變換f = 2ω，這里f 是方程(4)的解，則約化方程(4)重新改寫成

在方程(9)兩邊同時乘以ω′，得

然后積分一次可得

作為變換(10)的特殊情況，令α=?1, c1=0，且在方程(10)中取正號可得

利用分離變量法得方程(11)的一般解和相關恒等式為

特別地，取λ=1，有

類似地，取α=1, c1=1，且在方程(10)中取正號得

類似前一種情況運用分離變量法可得方程(12)的通解和相應恒等式為

特別地，取λ=1，得到

所以，注意到(3)和變換f =2ω，得方程(2)的相應行波解為

注意到在表3 中帶參數b 的Riccati 方程(1)的新解在文獻[4]中沒有給出，sine-Gordon 方程(2)的顯式行波解(7),(8),(13)和(14)在文獻[3,5–11,13,14]中也沒有給出．sine-Gordon 方程(2)的行波解(14)的空間圖像，見圖1(a)所示，而該行波解的u 在ξ?u 平面上的平面圖像，見圖1(b)所示，這里參數λ=1．

圖1: sine-Gordon 方程(2)的行波解(14)，參數λ=1

變換(10),(11)和(12)分別是約化方程(4)的簡化變換形式，而約化方程(4)相應這些變換的顯式解析解分別為(7),(8),(13)和(14)．作為一種應用，它們可以用于求解非線性偏微分方程

假設方程(15)的行波解的表現形式可以寫成

這里ξ =x?αt, aj,α ∈ R(j =0,1,··· ,n)，而ω 滿足變換方程(10)或(11)或(12)，n 為一正整數，可以通過平衡方程(15)的非線性項和最高階導數項得到，而α, a0,a1,··· ,an為待定實參數．將(16)代入(15)并令sinjω, sinjω coskω 或cosjω (j,k = 0,1,···)的系數為零可以得到關于α, a0,a1,··· ,an的代數多項式方程組，利用吳消元法[18]結合Matlab 編程計算，由此可解得待定實參數α, a0,a1,··· ,an．

雖然正余弦函數法或三角函數法[19,20]與Tanh 函數法[3]的關鍵思想基本類似，但對探求一些非線性偏微分方程的精確解，廣義的正余弦函數法或三角函數法(16)往往比Tanh 函數法更簡潔，下面通過探討KdV 方程(17)的新行波解來具體體現．

3 正余弦函數法結合sine-Gordon方程的新解求KdV方程的新行波解

眾所周知，KdV 方程

是非線性數學物理中的一個基本流體模型方程，主要用于描述湍流和不穩定現象，它是1895 年荷蘭數學家Korteweg 和de Vries 研究淺水波運動時提出的一個數學模型，其詳細推導過程可查詢相關文獻[21]．如今不斷發現，相當廣泛的一類描述弱非線性作用下的波動方程，在長波近似和小的且為有限的振幅假定下，都可歸結為KdV 方程(17)，如冷等離子體的磁流體波的運動，非諧振晶格的振動，等離子體的離子聲波，在液、氣兩種混合態的壓力波的運動，在一個管底下部的流體的運動，在低溫下非線性晶格的聲子波包的熱激發，在彈性杠中的縱向色散波的傳播等．

隨著KdV 方程(17)在流體力學、等離子體物理、氣體動力學等領域的重要應用，也是物理學家和數學家感興趣的方程之一[22]．KdV 方程(17)的行波解的探討在研究非線性物理現象中起著重要的作用，新的精確行波解可以幫助人們發現新的現象，尋找更多新的顯式解析解一直是非線性科學研究的主要內容之一．到目前為止，僅發現了KdV 方程(17)一種形式的孤子解．近年來，發展了許多行之有效的構造KdV 方程(17)精確解的方法，如齊次平衡法[23,24]，雙曲函數展開法以及廣義的Tanh 方法[3,25]，直接解法[26]等．

假設 u=v(ξ), ξ =x+ct, c ∈ R 是 KdV 方程 (17)的行波解，于是 KdV 方程 (17)約化為常微分方程 cv′+vv′+ βv′′′= 0，兩邊關于變量 ξ 同時積分一次，并令積分常數為零，可得

注意到變換方程(10)和正余弦函數法(16)的求解思想，v2和v′′需平衡，從而方程(18)的解的表達式可假設為

其中aj(j =0,1,2)為待定實參數，而ω 滿足變換方程(10)．因此，由計算可知

把上式和(9)以及(10)代入(18)，利用Matlab 計算整理得關于cos ω 的三角函數方程

令cosjω(j =0,1,2,3,4)的系數為零，得關于a0,a1, a2和c 的非線性代數方程組

利用吳消元法[18]結合Matlab 計算解得a1=0,和

其中a0和c 見(19)．特別地，利用方程(4)的解(13),(14)和(8)得到KdV 方程(17)的行波解的具體顯式表達式為

注意到約化方程(4)有許多種類型的解(7)，因此，類似地利用(7)可求得KdV 方程(17)的多種形式的新行波解．在文獻[3,22,26]中沒有給出上述KdV 方程(17)的顯式行波解．在KdV 方程(17)中選取色散系數β = 1，其行波解(20)的空間圖像，如圖2(a)所示，而u 在ξ ?u 平面上的平面圖，如圖2(b)所示．

圖2: KdV 方程(17)的行波解(20)，色散系數β =1

4 結論與探討

本文首先利用表3 中Riccati 方程的八類新解析解結合廣義Tanh 函數法給出了一維sine-Gordon 方程的許多新行波解，該方法可用于求解其它某些非線性偏微分方程的新解，例如 Fitzhugh-Nagumo 方程 ut? uxx=u(1 ? u)(u ? a), ? 1 ≤ a ≤ 1．其次，進一步運用一維sine-Gordon 方程的新解、簡化的變換形式(10),(11)和(12)結合廣義正余弦函數法(16)找到了KdV 方程(17)的許多新行波解，類似地該方法可用于求解其它某些非線性偏微分方程的新解，例如BBM 方程ut+ux+uux?uxxt=0．最后，探求Riccati 方程、一維sine-Gordon 方程和KdV 方程(17)的更多新解及其應用值得以后進一步研究和深思．