平余式運算規則
——從平面數到孫子共數的求解

張國平

(福建省南平市福州大學 353416)

在孫子算經中：“今有物不知共數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何”.

那么，由題我們首先轉換成數學思考則是：

假設其共數為y，則y=3x1+2；y=5x2+3；y=7x3+2；由于數之是次數，故x1，x2，x3為整數.

現將上述思考轉換成‘平余式’表達式則為[3，2]；[5，3]；[7，2].則我們要尋求的就是關于平余式的運算規則，但在此，我只給出解題過程，而把平余式的運算規則附在后面.

尋找3N1與5N2+1的最小公倍數?6+2=8.

再由[15，8]與[7，2]運用平余式規則進行如下運算：

尋找15N1+6與7N2的最小公倍數?21+2=23.

即孫子共數 [3，2]；[5，3]；[7，2] 運用平余式規則求解的共數為[105，23]或是y=105x+23的整數值，所以，它的解不是一個數而是一類數.

附：平余式運算規則原始思考如下：

假設平余式[a1，k1]；[a2，k2](其中k1，k2，a1，a2∈Z且a1≠0，a2≠0，a1，a2不可約(互質)).

①若a1=a2，k1=k2(即k1=k2±a1).

則條件組合為復式，其本身就是類解.若a1=a2，k1≠k2(即k1≠k2±a1)則條件組無共數或共數為空.

所以：G=(TN+K1)+m(a1，a2)*N(跳躍數).

故而，當平余式(條件式)運算規則確立后，素數的遞推式也就由此呈現，但里面并不是單一和純粹的.

平余式運算法則：[a，b]相與y=ax+b的整數值

[a，b]= [a，b±a]；

[a，b]±m= [a，b±a] ±m=[a，b±a±m]= [a，b±m]

[a，b]*m= [a，b*m]; [a，b]n= [a，bn];

[a，b]±[a，c]= [a，b]±c= [a，b±c];

平余式運算的逆運算——共數的逆向求解

設平余式[a，b]，[c，d]，[e，f].

假若[a，b][c，d]=[e，f](a與c互質).

現已知：[c，d]，[e，f] (a，c互質)，求[a，b].

解由平余式公式知e=a*c?a=e÷c，a*N=f-b(0≤b