移動無線傳感器網絡中抑制病毒傳播模型

吳三柱，李 鵬，吳三斌

(1.西安石油大學 計算機學院，西安 710065； 2.陜西師范大學 計算機科學學院，西安 710119；3.榆林職業技術學院 管理工程系，陜西 榆林 719100)

0 引言

隨著互聯網的快速發展，網絡安全逐漸成為一個潛在的巨大問題,例如，計算機系統漏洞、蠕蟲攻擊、惡意代碼攻擊等,因此，網絡安全問題日益受到重視[1-3]。

近年來，國內外許多學者致力于研究病毒在網絡中的傳播[4-15],根據病毒傳播的狀態和轉換關系，分別提出SI(Susceptible-Infected)模型[9]、SIS(Susceptible-Infected-Susceptible)模型[10]、SIR(Susceptible-Infected-Removed)模型[11]、SIRS(Susceptible-Infected-Removed-Susceptible)模型[12]、SEIRS(Susceptible-Exposed-Infected-Removed-Susceptible)模型[13]等。文獻[9-10]分別提出了SI模型和SIS模型，網絡中都只有易感節點和感染節點，SI模型中易感節點被感染節點感染病毒后終身處于感染狀態，而SIS模型中易感節點被感染節點感染病毒后可以治愈，治愈后可以再次恢復為易感節點;文獻[11-12]分別研究了SIR模型和SIRS模型，這兩種模型中的網絡都具有三種狀態的節點，即在SI模型和SIS模型的狀態中增加免疫節點,而SIR模型和SIRS模型的最大區別也是被免疫的節點能否再次被感染;文獻[13]研究了SEIRS模型，在SIRS模型的基礎上增加潛伏期狀態，即易感節點被感染后先進入潛伏狀態。這些模型的研究大多基于靜態網絡，即網絡拓撲結構圖不隨時間變化，而現實網絡中節點是移動的且具有一定的生命周期。

因此，迫切需要研究移動無線傳感器網絡中的病毒傳播模型。本文基于以上進展，提出了更加符合現實中病毒傳播的SIRD(Susceptible-Infected-Recovered-Dead)模型，該模型既考慮了病毒節點在移動過程中具有移動和停留狀態，又考慮了網絡中節點因物理器件的損壞或電量的耗盡而不能再發揮作用。

1 網絡模型

假設網絡區域是一個球體表面(因為球體表面無邊界，節點在每個周期內掃過的面積不變)，其半徑為R1，則球體表面積A為：

A=4πR12

(1)

網絡中共有N個節點，節點均勻分布在區域內，則平均密度ρ為：

ρ=N/A

(2)

網絡中節點之間狀態轉換關系如圖1，網絡中共有4種狀態節點，分別為易感節點(Susceptible, S)、感染節點(Infected, I)、免疫節點(Recovered, R)、死亡節點(Dead, D)，分別用S(t)、I(t)、R(t)、D(t)表示在任意t時刻4種節點在網絡區域中的比例。為了維持網絡的正常生命周期，新的節點持續加入，假設新加入的節點為易感節點，加入率為α。要使網絡中存活節點數維持不變，則死亡率也為α，由此可得：

(3)

(4)

由式(3)和(4)可得，在任意時刻t都有：

S(t)+R(t)+I(t)=1

(5)

圖1 節點之間狀態轉換關系Fig. 1 State transition relationships between nodes

為了更好地刻畫網絡區域中感染節點的移動行為，將運動的時間T劃分為多個周期，每個周期由移動時間Tmove和停留時間Tstay(在停留期間感染節點不再感染通信范圍內的節點)兩部分組成，可以劃分為Tnumber個周期，如圖2所示。

圖2 時間T由多個周期組成Fig. 2 Time T consists of multiple periods

按照上述定義，則有：

Tnumber=?T/(Tmove+Tstay)」

(6)

假設感染節點以隨機方向模型[16]為移動方式，其通信半徑為r，移動速度為V，則感染節點在時間T內移動總時間為Ttotal，掃過的面積為SArea。圖3給出一個周期內節點掃過的面積示意圖。

圖3 一個周期內節點掃過的面積Fig. 3 Area swept by nodes in one period

如果T-Tnumber(Tmove+Tstay)

Ttotal=T-TnumberTstay

(7)

如果T-Tnumber(Tmove+Tstay)≥Tmove，則：

Ttotal=Tmove+TnumberTmove

(8)

SArea=πr2Tnumber+2rVTtotal

(9)

一個感染節點在T時間內掃過的區域內有易感節點數CS(t)為：

CS(t)=SAreaρS(t)

(10)

然而，易感節點進入感染節點范圍內并不意味著一定能夠感染，事實上感染節點通過一定概率φ不斷發送探測包來熟知通信范圍內節點網絡拓撲結構，一旦發現易感節點后，感染節點才發送病毒，進而以概率δ成功感染周邊易感節點。假設此過程中感染節點發送探測包所耗費時間忽略不計,則感染節點成功感染易感節點概率σ為：

σ=φδ

(11)

則單位時間內，一個感染節點成功感染易感節點數NS(t)為：

NS(t)=σCS(t)/T

(12)

將式(11)、(10)、(9)、(2)、(1)代入式(12)得：

(13)

令β為：

(14)

則Ns(t)為：

Ns(t)=βS(t)

(15)

2 模型的建立與分析

2.1 模型的建立

根據圖1所示節點之間狀態轉換關系，建立如下SIRD病毒傳播動力學方程：

(16)

2.2 平衡點存在性分析

由式(5)可得在任意時間t總有R(t)=1-S(t)-I(t)，因此只需要求式(16)中S(t)和I(t)，即求下面二維系統模型:

(17)

(18)

(19)

因此，可以得到式(17)的基本再生數R0為：

(20)

定理1 當R0>1時，式(17)不僅有無病平衡解P0，還有地方病平衡解P1；當R0≤1時，式(17)只有無病平衡解P0。

證明 首先證明P0的存在性。

因為0<α<1,0<ε<1,所以S0=α/(α+ε)>0即P0(S0，I0)始終存在。

其次證明P1的存在性。

①當R0>1時，即：

②當R0<1時，即：

αβ/[(α+ε)(α+λ)]<1

③當R0=1時，即：αβ=(α+ε)(α+λ)，P1=P0，因此，式(17)只有唯一的解P1。

證畢。

2.3 系統穩定性分析

2.3.1 局部穩定性分析

為了探討系統(17)在平衡點Px(Sx，Ix)處的穩定性，其中P0、P1∈Px，系統(17)在Px處的Jacobian矩陣為：

(21)

定理2 當R0≤1時，無病平衡解P0是局部漸進穩定的。

證明 將P0(α/(α+ε),0)代入式(21)得到P0處的Jacobian矩陣為：

(22)

J(P0)的特征多項式為：

a2Z2+a1Z+a0=0

(23)

當R0=1時，同樣可得式(17)只有唯一的解P0。同上可得無病平衡解P0是局部漸進穩定的。

定理3 當R0>1時，地方病平衡解P1是局部漸進穩定的。

(24)

J(P0)的特征多項式為：

m2Z2+m1Z+m0=0

(25)

其中m0=αβ-(α+ε)(α+λ)，m1=αβ/(α+λ)，m2=1。

2.3.2 全局穩定性分析

定理4 當R0≤1時，無病平衡解P0是全局漸進穩定的。

證明 當R0≤1時，系統(17)只有無病平衡解P0。由李雅普諾夫(Lyapunov)穩定性理論[18]，構造函數Q(S，I)=I，由于在時間趨于無窮大時，無病平衡保證了S≤S0=α/(α+ε)，則Q函數對時間的全導數為：

I(βα/(α+ε)-λ-α)=

I[αβ-(α+ε)(α+λ)]/(α+ε)=

(α+λ)I[αβ/[(α+ε)(α+λ)]-1]=

(α+λ)I(R0-1)≤0

則根據李雅普諾夫(Lyapunov)穩定性理論，無病平衡解P0是全局漸進穩定的，病毒最終消亡。

定理5 當R0>1時，地方病平衡解P1是全局漸進穩定的。

證明 當R0>1時，確保了地方病平衡解P1的存在性。構造Dulac函數W(S，I)=1/I，令

M=α-βSI-εS-αS

N=βSI-λI-αI

則：

WM=α/I-(ε/I+α/I+β)S

WN=βS-λ-α

則根據Dulac判定定理可知，系統(17)在第一象限無閉軌線，故地方病平衡點P1是全局漸進穩定的，病毒將持續存在。

綜上所述，由定理2～5可知：當R0≤1時，無病平衡解P0是全局漸進穩定的；當R0>1時，地方病平衡解P1是全局漸進穩定的。在病毒傳播中物理意義：1)當控制基本再生數R0≤1時，隨著時間的推移，在某一刻，網絡中的感染節點消亡，即I0=0，易感節點和免疫節點的密度分別為S0、1-S0。此時，網絡中存活的節點只有易感節點和免疫節點且密度維持不變，從而有效地將網絡中的病毒全部查殺；2)當控制基本再生數R0>1時，隨著時間的推移，在某一刻，網絡中的感染節點、易感節點和免疫節點的密度分別變為恒定值I0、S0、1-I0-S0。此時，網絡中存活的感染節點、易感節點和免疫節點密度維持不變，從而有效地控制病毒在網絡中擴散。

3 實驗評估

由上面理論可知：當R0≤1時，無病平衡解P0是全局漸進穩定的，即系統存在無病平衡解且該解是全局穩定的，病毒最終消亡；當R0>1時，地方病平衡解P1是全局漸進穩定的，即系統存在地方病平衡解且該解是全局穩定的，病毒將持續傳播并穩定在一定的比例。為了驗證所得結論的正確性和一致性，本文采用實驗驗證，通過分析各參數與R0關系，進而得出結論。仿真環境使用Matlab軟件，利用控制變量法來實現。在求解過程中，時間復雜度O(f(n))中的f(n)與仿真總時長成正比，故其時間復雜度為O(n)。實驗用到參數設置如表1所示。

表1 仿真參數設置Tab. 1 Simulation parameter setting

3.1 通信半徑r對傳播的影響

由式(14)和(20)可得：

(26)

令R0≤1且將各參數代入式(26)得：

9πr2+10 800r-50 000π≤0

-396.188 1≤r≤14.022 5

故R0≤1，即01，即r>14.022 5。分別取r=5、10、20、30，可得時間與節點密度變化曲線，如圖4和圖5所示。

當r=5、10時，即R0<1，無病平衡解分別為P0(0.5，0)和P0(0.5，0)是全局穩定的，感染節點最終消亡。從圖4和圖5的(a)和(b)可知，r=5、10時，隨著時間的推移，感染節點的密度趨于0，易感節點和免疫節點的密度趨于相等的恒定值，即網絡中的病毒全部查殺完畢，網絡趨于全局穩定狀態。

當r=20、30時，即R0>1，地方病平衡解分別為P1(0.345 4，0.154 6)和P1(0.224 7，0.275 3)是全局穩定的，感染節點將持續感染易感節點并穩定在一定的比例。從圖4和圖5(c)、(d)可知，r=20、30時，隨著時間的推移，感染節點、易感節點和免疫節點的密度分別趨于恒定值，即網絡中的病毒得到有效控制，防止了病毒擴大傳播。

圖4 不同r下I(t)隨時間t變化曲線Fig. 4 I(t) changing with time t under different r

圖5 不同r下S(t)，I(t)，R(t)隨時間t變化曲線Fig. 5 S(t), I(t) and R(t) changing with time t under different r

3.2 移動速度V對傳播的影響

令R0≤1且將各參數代入式(26)得：V≤4.283，所以R0≤1，即01，即V>4.283。分別取V=0.5、2.5、5.0、9.5，可得時間與節點密度變化曲線，如圖6和圖7所示。

圖6 不同V下I(t)隨時間t變化曲線Fig. 6 I(t) changing with time t under different V

當V=0.5、2.5時，即R0<1，無病平衡解分別為P0(0.5，0)和P0(0.5，0)是全局穩定的，感染節點最終消亡。從圖6和圖7的(a)和(b)可知，V=0.5、2.5時，隨著時間的推移，感染節點的密度趨于0，易感節點和免疫節點的密度趨于相等的恒定值，即網絡中的病毒全部查殺完畢，網絡趨于全局穩定狀態。

當V=5.0、9.5時，即R0>1，地方病平衡解分別為P1(0.429 4，0.070 6)和P1(0.227 7，0.272 3)是全局穩定的，感染節點將持續感染易感節點并穩定在一定的比例。從圖6和圖7的(c)和(d)可知，V=5.0、9.5時，隨著時間的推移，感染節點、易感節點和免疫節點的密度分別趨于恒定值，即網絡中的病毒得到有效控制，防止了病毒擴大傳播。

圖7 不同V下S(t)，I(t)，R(t)隨時間t變化曲線Fig. 7 S(t), I(t) and R(t) changing with time t under different V

3.3 節點密度ρ對傳播的影響

由式(14)和式(20)可得：

(27)

令R0≤1且將各參數代入式(27)得：ρ≤0.011 28，所以R0≤1，即0<ρ≤0.011 28；R0>1，即ρ>0.011 28。分別取ρ=0.005、0.010、0.020、0.030，可得時間與節點密度變化曲線，如圖8和圖9所示。

圖8 不同ρ下I(t)隨時間t變化曲線Fig. 8 I(t) changing with time t under different ρ

圖9 不同ρ下S(t)，I(t)，R(t)隨時間t變化曲線Fig. 9 S(t), I(t) and R(t) changing with time t under different ρ

當ρ=0.005、0.01時，即R0<1，無病平衡解分別為P0(0.5，0)和P0(0.5，0)是全局穩定的，感染節點最終消亡。從圖8和圖9的(a)和(b)可知，ρ=0.005、0.01時，隨著時間的推移，感染節點的密度趨于0，易感節點和免疫節點的密度趨于相等的恒定值，即網絡中的病毒全部查殺完畢，網絡趨于全局穩定狀態。

當ρ=0.02、0.03時，即R0>1，地方病平衡解分別為P1(0.282，0.218)和P1(0.188，0.312)是全局穩定的，感染節點將持續感染易感節點并穩定在一定的比例。從圖8和圖9的(c)和(d)可知，ρ=0.02、0.03時，隨著時間的推移，感染節點、易感節點和免疫節點的密度分別趨于恒定值，即網絡中的病毒得到有效控制，防止了病毒擴大傳播。

3.4 易感節點免疫率ε對傳播的影響

令R0≤1且將各參數代入式(26)得：ε≥0.041 2，所以R0≤1，即ε≥0.041 2；R0>1，即ε<0.041 2。分別取ε=0.02、0.03、0.09、0.9，可得時間與節點密度變化曲線，如圖10和圖11所示。

圖10 不同ε下I(t)隨時間t變化曲線Fig. 10 I(t) changing with time t under different ε

圖11 不同ε下S(t)，I(t)，R(t)隨時間t變化曲線Fig. 11 S(t), I(t) and R(t) changing with time t under different ε

當ε=0.09、0.9時，即R0<1，無病平衡解分別為P0(0.526 3，0)和P0(0.1，0)是全局穩定的，感染節點最終消亡。從圖10和圖11的(c)和(d)可知，ε=0.09、0.9時，隨著時間的推移，感染節點、易感節點和免疫節點的密度分別趨于恒定值，即網絡中的病毒得到有效控制，防止了病毒擴大傳播。

當ε=0.02、0.03時，即R0>1，地方病平衡解分別為P1(0.708 2，0.075 1)和P1(0.708 2，0.039 7)是全局穩定的，感染節點將持續感染易感節點并穩定在一定的比例。從圖10和圖11的(a)和(b)可知，ε=0.02、0.03時，隨著時間的推移，感染節點的密度趨于0，易感節點和免疫節點的密度趨于相等的恒定值，即網絡中的病毒全部查殺完畢，網絡趨于全局穩定狀態。

3.5 感染節點病毒查殺率λ對傳播的影響

令R0≤1且將各參數代入式(26)得：λ≥0.041 2，所以R0≤1，即λ≥0.041 2；R0>1，即λ<0.041 2。分別取λ=0.025、0.03、0.09、0.9，可得時間與節點密度變化曲線，如圖12和圖13所示。

圖12 不同λ下I(t)隨時間t變化曲線Fig. 12 I(t) changing with time t under different λ

圖13 不同λ下S(t)，I(t)，R(t)隨時間t變化曲線Fig. 13 S(t), I(t) and R(t) changing with time t under different λ

當λ=0.09、0.9時，即R0<1，無病平衡解分別為P0(0.5，0)和P0(0.5，0)是全局穩定的，感染節點最終消亡。從圖12和圖13的(c)和(d)可知，λ=0.09、0.9時，隨著時間的推移，感染節點、易感節點和免疫節點的密度分別趨于恒定值，即網絡中的病毒得到有效控制，防止了病毒擴大傳播。

當λ=0.025、0.03時，即R0>1，地方病平衡解分別為P1(0.442 6，0.091 8)和P1(0.460 3，0.061)是全局穩定的，感染節點將持續感染易感節點并穩定在一定的比例。從圖12和圖13的(a)和(b)可知，λ=0.025、0.03時，隨著時間的推移，感染節點的密度趨于0，易感節點和免疫節點的密度趨于相等的恒定值，即網絡中的病毒全部查殺完畢，網絡趨于全局穩定狀態。

3.6 加入比例(死亡率)α對傳播的影響

令R0≤1且將各參數代入式(26)得：

2 500πα2+(482π-2 160)α+25π≥0

上面等式恒成立，故0<α<1，所以R0≤1，即0<α<1；R0>1，無解。分別取α=0.1、0.3、0.6、0.9，可得時間與節點密度變化曲線，如圖14和圖15所示。

當α=0.1、0.3、0.6、0.9時，即R0<1，無病平衡解分別為P0(0.5,0)、P0(0.75,0)、P0(0.8571,0)、P0(0.9,0)是全局穩定的，感染節點最終消亡。從圖14和圖15可知，α=0.1、0.3、0.6、0.9時，隨著時間的推移，感染節點的密度都趨于0，易感節點和免疫節點的密度分別趨于恒定值，α值越大感染節點趨于0用時越短，即α的值只要在取值范圍內且其取值越大病毒被查殺的速度越快，網絡中的病毒最終全部查殺完畢，網絡趨于全局穩定狀態。

圖14 不同α下I(t)隨時間t變化曲線Fig. 14 I(t) changing with time t under different α

圖15 不同α下S(t)，I(t)，R(t)隨時間t變化曲線Fig. 15 S(t), I(t) and R(t) changing with time t under different α

當α=0時，無病平衡解為P0(0，0)是全局穩定的，感染節點和易感節點最終消亡，即此時變為SIR模型，如圖16。

圖16 α=0時S(t)，I(t)，R(t) 隨時間t變化曲線Fig. 16 S(t), I(t) and R(t) changing with time t at α=0

以上通過對節點通信半徑、移動速度、密度、易感節點免疫率、感染節點病毒查殺率和節點死亡率等6個參數討論及仿真實驗。綜上可得仿真結果與理論一致，因此本文模型可以很好地對仿真參數控制，進而達到預期效果。

4 結語

針對移動無線傳感器網絡中現有的病毒傳播模型，本文提出了更加符合現實中病毒傳播的SIRD模型。之后基于該模型建立了微分方程組，分析了平衡點存在性和系統穩定性，得出結論，當R0≤1時，系統存在無病平衡解且該解是全局穩定的，病毒最終消亡；當R0>1時，系統存在地方病平衡解且該解是全局穩定的，病毒將持續傳播并穩定在一定的比例。最后基于R0討論了節點通信半徑、移動速度、密度、易感節點免疫率、感染節點病毒查殺率和節點死亡率對移動無線傳感器網絡中病毒傳播的影響，并通過仿真實驗驗證了該模型的正確性和一致性。