淺析函數(shù)最值在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用

呂淑君

（甘肅畜牧工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 甘肅武威 733006）

一、預(yù)備知識(shí)

（一）函數(shù)最大值

設(shè)x0是函數(shù)f(x)定義域區(qū)間I上的一點(diǎn)，對(duì)于任意的x∈I，恒有f(x0)≥f(x)成立，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處達(dá)到最大值f(x0)，x0稱為函數(shù)的最大值點(diǎn)。

（二）函數(shù)最小值

設(shè)x0是函數(shù)f(x)定義域區(qū)間I上的一點(diǎn)，對(duì)于任意的x∈I，恒有f(x0)≤f(x)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處達(dá)到最小值f(x0)，x0稱為函數(shù)的最小值點(diǎn)。

二、函數(shù)最值在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用

優(yōu)化是經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心[3]。各種優(yōu)化問題都受到了經(jīng)營者和管理者的重視，如在一定的條件下，如何規(guī)劃生產(chǎn)，才能達(dá)到利潤最大、成本最小等問題[4]。下文用函數(shù)最值來解決經(jīng)濟(jì)優(yōu)化方面的問題。

（一）最大值在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用

1.利潤問題

例1 某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每周可賣出300件。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每漲價(jià)1元，每周少賣出10件；每降價(jià)1元，每周可以多銷售20件以上。已知商品價(jià)格是40元/件，如何獲得最大利潤定價(jià)？

解析：如果每件商品的價(jià)格上漲或下跌x美元，利潤是y美元，y1是價(jià)格上漲時(shí)的利潤，y2是價(jià)格下跌時(shí)的利潤。則：

y1=(60-40+x)(300-10x)

=-10(x2-10x-600)

=-10(x-5)2+6 250

當(dāng)x=5時(shí)，即每件商品價(jià)格上漲5元，這時(shí)的價(jià)格為65元，利潤為6 250元。

y2=(60-40-x)(300+20x)

=-20(x2-5x-300)

=-20(x-2.5)2+6 125

當(dāng)x=2.5時(shí)，即每件商品價(jià)格下跌2.5元，這時(shí)的價(jià)格為57.5元，利潤為6 125元。

綜上所述，當(dāng)價(jià)格為65元時(shí)，可以獲得最大的利潤。

2.稅收問題

例3 設(shè)某種商品的需求函數(shù)為Q(P)=1 200-4P2。（其中，Q為需求量，單位為件，P為銷售價(jià)格，單位為元。）當(dāng)P為何值時(shí)，總收益最大？

解析：總收益函數(shù)R(P)=QP=1 200P-4P3(P＞0)，

令R′(P)=1 200-12P2=0，得P=10。

又∵對(duì)R(P)求二階導(dǎo)數(shù)R″(P)=-12P，

可以推出R″(10)＜0。

∴當(dāng)價(jià)格為10時(shí)，總收益可以達(dá)到最大值R(10)=8 000。

（二）極小值在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用

經(jīng)濟(jì)批量問題

例4 一家工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每年銷售100萬件。每批生產(chǎn)需要額外1 000元準(zhǔn)備金。如果銷售的平均年增長率和最后一批貨物銷售后立即生產(chǎn)下一批（一半的貨物庫存，每單位年費(fèi)是0.05元），分為多少批次生產(chǎn)才能使采購成本和庫存成本最小？

三、結(jié)束語

人們?cè)谌粘Ｉ钪薪?jīng)常會(huì)遇到最大值和最小值問題。本文利用函數(shù)最值的求解，把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后對(duì)問題進(jìn)行定量分析，從而體現(xiàn)函數(shù)最值在實(shí)際問題中的最優(yōu)化。在經(jīng)濟(jì)問題中，從經(jīng)營者和管理者的角度來看，如何使收益最大化、成本最小化，是一個(gè)值得深入研究的問題。